Jeff Dekofsky
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在1920年時期, 德國數學家大衛‧希爾伯特 設計了一個聞名的思考實驗 向世人展示要了解「無限」的概念 究竟有多麼困難。 試想一間擁有無限多間客房的旅館 和一名非常努力工作的夜班經理。 有一晚,這間旅館的房間均已客滿 入住了無限名房客。 一個男人走進了旅館, 想要入住 與其拒絕他, 這名夜班經理決定為他騰出一間空房。 怎麼做呢? 很簡單,經理先將原先入住1號房的客人 安置至2號房 將原先入住2號房的客人安置至3號房, 依此類推。 n號房間原有的客人 皆安置到n+1號房間。 由於旅館內有無限多個房間, 每一位既有的房客都能夠搬到新的房間, 於是新的客人便得以入住1號房。 這個過程可不斷重複, 只要新房客的數目是有限可數的。 假如一輛遊覽車駛進旅館 車上下來了40人都想入住 那麼每一位既有的房客 只要從原先入住的n號房 搬到n+40號房 就能將前40間房都空出來給新客人。 但假如有一輛無限大的遊覽車 載滿了無限多名的乘客 停進旅館要入住 「可數無限」便成了關鍵。 這輛載滿無限多名乘客的無限大遊覽車 起初讓夜班經理相當苦惱 幸好他後來還是找到了 能夠安頓每個新房客的方法。 他將原先入住1號房的客人 安置於2號房; 再將2號房的客人 安置於4號房; 將3號房的客人 安置於6號房; 依此類推。 每一位既有的房客都從原先入住的n號房 搬到2n號房 便只有無限間數的雙號房會有人住 如此一來,旅館中 無限多間的單號房都是空的了 而無限大的遊覽車上所乘載的無限多名乘客 便可入住 這不僅是皆大歡喜的結果 旅館的生意也越發興隆了。 不過實際上,旅館的生意 其實和先前相比沒有任何變化 每一晚都賺進無限可數的利潤。 這間不可思議的旅館名氣越來越響亮 人們從各地蜂擁而至 有一晚,意想不到的事發生了 夜班經理向外頭一看 發現有無限多輛大巴士 正在旅館前大排長龍 每輛巴士上都載滿了無限可數的乘客。 他該怎麼辦呢? 如果他無法為這些人安排房間 旅館便將損失 無限大的一筆收入 他也一定會丟了飯碗。 還好,他還記得 大約在西元前300年時 歐幾里得證明了一件事: 質數是無限的。 於是為了達成這項看似不可能的任務 找到無限多的床位 給乘坐在無限多輛巴士上的 的無限多名疲憊旅客 夜班經理將每一位既有房客 都安置在第一個質數,2, 再依該房客原本入住的房間號碼次方的房間號碼。 於是,原本入住7號房的客人 就會改住(2的7次方)號房 也就是第128號房。 接著,夜班經理將無限多輛巴士中 第一輛巴士上的所有乘客 都安排在下一個質數3 再依每一名乘客在巴士上的座號次方 所對應的房號。 如此一來,第一輛巴士上坐在7號座位的客人 便會入住(3的7次方)號房 也就是2187號房。 第一輛巴士上的客人皆經此安排。 第二輛巴士上的客人 所各自入住的房號則是下一個質數5的座號次方 下一輛巴士,7的次方 依序排列: 11的次方、 13的次方、 17的次方等等。 由於這些數字 只有1和數字本身的自然數次方 為其公因數 就不會有重複的房號產生。 所有的客人便遵循這從質數發展出來的 獨特房間安排方式 各自散開進入他們的房間。 如此一來,夜班經理便能將 每一輛巴士上的每一位客人都安置妥當。 雖然會因此有許多空房產生 例如6號房 因為6不是任何一個質數的次方 還好,夜班經理的老闆們並沒有很會算數學 他也因此保住了他的工作。 這位夜班經理所想出的策略之所以可行 是因為當這間無限旅館 雖然從後勤上來講像是一場噩夢 卻也只處理無限的最低層級 也就是可數的無限, 像是自然數 1、2、3、4, 等等。 另一名數學家康托爾稱這種程度的無限為「阿列夫零」。 旅館的房號和巴士上的座號 皆使用自然數。 假如我們今天所面對的是更高等的無限 例如實數的程度, 此類架構之下的策略 便不再可行 因為我們將無法 有系統的包含每一個數字。 實數無限旅館將會有 負數房號在地下樓層、 和幾分之幾的房號 於是住在1/2號房的人便總會懷疑 自己的房間大小不如1號房 平方根號的房號,像是(2的開根號)號房 以及數學常數Pi號房, 入住此房的客人也許會期待被招待點心 有哪一個有自尊心的夜班經理 會想在這裡工作 即便薪水是無限高? 但在希爾伯特的無限旅館 住房率總是百分之百 卻總還是有空房可供入住 這名勤奮並可能過於好客的夜班經理 所面對的各種狀況 可以提醒我們 理解「無限」這樣的概念 對人類相對有限的頭腦來說 是多大的困難。 或許在好好睡一頓覺後, 你會有辦法解開這些難題。 但老實說,你可能會在半夜兩點時 被通知要換房間。