Benoit Mandelbrot
1,529,527 views • 17:09

Ďakujem veľmi pekne. Prosím ospravedlňte, že sedím: Som veľmi starý. (Smiech) Nuž, téma o ktorej budem rozprávať, je v istom zmysle veľmi špecifická, pretože je veľmi stará. Drsnosť je súčasť ľudského života od nepamäti. Už dávni autori o nej písali. Je veľmi nekontrolovateľná. A v istom zmysle sa zdalo, že je to extrém zložitosti, proste neporiadok, neporiadok, neporiadok. Sú rôzne druhy neporiadku. Takže, úplnou náhodou som sa dostal veľmi dávno k štúdiu tejto formy zložitosti. A na moje hlboké počudovanie, som našiel stopy — veľmi silné stopy, musím povedať — poriadku v tej drsnosti. A dnes by som vám rád prezentoval zopár príkladov toho, čo to predstavuje. Preferujem slovo drsnosť pred slovom nepravidelnosť, pretože nepravidelnosť — pre niekoho, kto mal latinčinu, v mojej dávnej mladosti — znamená opak pravidelnosti. Ale tak to nie je. Pravidelnosť je opakom drsnosti, pretože základný aspekt sveta je veľmi drsný.

Ukážem vám pár objektov. Niektoré z nich sú umelé. Niektoré sú veľmi reálne, v istom zmysle. Toto je ten reálny. Je to karfiol. Ale prečo ukazujem karfiol, veľmi obyčajnú a pradávnu zeleninu? Pretože tak aký je starý a pradávny, je aj veľmi komplikovaný a veľmi jednoduchý zároveň. Ak ho skúsite odvážiť, samozrejme, je ľahké ho odvážiť. A keď ho jete, záleží na váhe. Ale čo keď skúsite zmerať jeho povrch. Nuž, to je veľmi zaujímavé. Ak odrežete ostrým nožom jeden kvietok karfiolu a pozriete sa naň samostatne, vidíte celý karfiol, len menší. A tak ho rozkrojíte znova, znova, znova, znova, znova, znova, znova, znova, znova. A stále dostávate malé karfioly. Zo skúsenosti ľudstva vieme, že sú isté tvary, ktoré majú túto zvláštnu vlastnosť, že každá časť je ako celok, len menšia. A čo s tým ľudstvo spravilo? Veľmi, veľmi málo. (Smiech)

Tak som sa do toho pustil, študoval som tento problém a objavil som niečo dosť prekvapujúce. Že sa dá merať drsnosť číslom, číslom, 2,3, 1,2 a niekedy oveľa viac. Jedného dňa, jeden priateľ, aby ma podpichol, priniesol obrázok a pýta sa, "Aká je drsnosť tejto krivky?" Povedal som, "Nuž, tesne pod 1,5" Bolo to 1.48. Nezabralo to žiadny čas. Už som sa na tieto veci pozeral tak dlho. Tieto čísla sú čísla, ktoré označujú drsnosť týchto povrchov. Rýchlo dodám, že tieto povrchy sú úplne umelé. Vytvoril ich počítač. A jediným vstupom je číslo. A to číslo je drsnosť. Naľavo, som vzal drsnosť prebranú z prírody. Vpravo je vyššia drsnosť. A oko, po nejakej dobe, vie tieto dva pomerne dobre rozlíšiť.

Ľudstvo sa muselo naučiť merať drsnosť. Toto je veľmi drsné, toto je pomerne hladké a toho je úplne hladké. Veľmi málo vecí je hladkých. A potom, ak sa opýtate otázky: aký je povrch karfiolu? Nuž, meriate, meriate a meriate. Vždy, keď sa priblížite, povrch sa zväčšuje, až k veľmi, veľmi malým vzdialenostiam. Aká je dĺžka pobrežia týchto jazier? Čím z bližšej vzdialenosti sa pozeráte, tým je dlhšia. Koncept dĺžky pobrežia, čo sa zdá také prirodzené, pretože sa udáva na veľa miestach, je, vlastne, úplná lož; nič také nie je. Musíte to robiť inak.

Na čo je to teda dobré, vedieť tieto veci? Nuž, prekvapujúco, je to užitočné mnohými spôsobmi. Na začiatok, umelé krajiny, ktoré som tak trochu vymyslel, sa používajú v kine vlastne stále. Vidíme hory na horizonte. Môžu to byť hory, ale môžu to byť len vzorce, len uletené. Je to vlastne veľmi jednoduché. Bývalo to veľmi časovo náročné, ale dnes je to nič. Pozrite sa na to. To sú skutočné pľúca. Pľúca sú niečo veľmi čudné. Ak vezmete túto vec, veľmi dobre viete, koľko váži. Objem pľúc je veľmi malý. Ale ako je to s povrchom pľúc? Anatómovia sa o tom dosť sporili. Niektorí vravia, že normálne mužské pľúca majú povrch basketbalového ihriska. A iní vravia, nie, piatich ihrísk. Úžasné nezrovnalosti. Prečo to? Lebo, v skutočnosti, povrch pľúc, je niečo veľmi zle definované. Priedušky sa vetvia, vetvia, vetvia. A potom sa prestanú vetviť, nie kvôli nejakému princípu, ale kvôli fyzikálnym okolnostiam, kvôli hlienu, ktorý je v pľúcach. Takýmto spôsobom máte oveľa väčšie pľúca, ktoré sa vetvia a vetvia, až k vzdialenostiam, ktoré sú zhruba rovnaké pre veľryby, pre ľudí a pre malé hlodavce.

Na čo je to všetko dobré? Nuž, prekvapujúco, až udivujúco, anatómovia mali až donedávna veľmi chabé znalosti o štruktúre pľúc. A myslím, že moja matematika, prekvapujúco, veľmi pomohla chirurgom, ktorí študujú choroby pľúc a tiež ochorenia obličiek, všetkých týchto vetviacich sa systémov, pre ktoré nebola žiadna geometria. Inými slovami, ocitol som sa v konštruovaní geometrie, geometrie vecí, ktoré nemali geometriu. Prekvapujúcim aspektom toho je, že veľmi často, pravidlá tejto geometrie sú extrémne krátke. Máte takéto krátke vzorce. Párkrát ich pretočíte. Niekedy opakovane znova, znova, znova. To isté opakovanie. A na koniec dostanete veci ako toto.

Tento oblak je úplne, 100% umelý. Nuž, 99,9. Jediná prirodzená časť je číslo, drsnosť oblaku, ktoré je prevzaté z prírody. Niečo tak komplikované ako oblak, tak nestále, tak premenlivé, by malo mať v pozadí jednoduché pravidlo. Toto jednoduché pravidlo nie je vysvetlením oblakov. Pozorovateľ oblakov to musel vziať do úvahy. Neviem nakoľko pokročilé sú tieto obrázky, sú staré. Bol som súčasťou tejto oblasti, ale potom som obrátil pozornosť na iné fenomény.

Je ďalšia vec, ktorá je pomerne zaujímavá. Jedna z šokujúcich udalostí v histórii matematiky, nedoceňovaná mnohými ľuďmi, sa vyskytla asi pred 130 rokmi, pred 145 rokmi. Matematici začali tvoriť tvary, ktoré neexistovali. Matematici začali chváliť sami seba až do úplne neuveriteľných rozmerov, za to, že človek dokáže vymyslieť veci, ktoré príroda nepoznala. Napríklad, vytvorili veci ako krivku, ktorá vyplní rovinu. Krivka je krivka, rovina je rovina a to nejde dokopy. Nuž, ide. Muž, Peano definoval také krivky a stalo sa to objektom nevídaného záujmu. Bolo to veľmi dôležité, ale hlavne zaujímavé, lebo to bol istý druh zlomu, separácia medzi matematikou vychádzajúcej z reality na jednej strane a novou matematikou, vychádzajúcej z čistej ľudskej mysle. Nuž, veľmi nerád som vtedy pripomenul, že čistá ľudská myseľ vlastne, konečne uvidela, čo bolo k videniu už dlhý čas. Takže teraz niečo predstavím, súbor riek krivky vypĺňajúcej rovinu. A vlastne, je to príbeh sám o sebe. Takže, bolo to v rokoch 1875 až 1925, výnimočné obdobie, v ktorej sa matematici pripravovali uniknúť z tohto sveta. A objekty, ktoré používali ako príklady — keď som bol dieťa a študent — rozchodu medzi matematikou a viditeľnou realitou — tieto objekty, som úplne otočil. Použil som ich na popísanie niektorých aspektov komplexity prírody.

Nuž, istý Hausdorff v roku 1919 predstavil číslo, ktoré bolo len matematickým vtipom. A prišiel som na to, že toto číslo je dobrým meradlom drsnosti. Keď som to prvýkrát povedal priateľom matematikom, vraveli, "Nebuď blázon. To je len nejaká blbosť." Nuž, nakoniec, nebola to blbosť. Veľký maliar Hokusai to dobre poznal. Tie veci na zemi sú riasy. Nepoznal tú matematiku, ešte neexistovala. A bol Japonec, teda nemal kontakt so západom. Ale maliarstvo malo po dlhý čas fraktálovú stránku. Mohol by som o tom dlho hovoriť. Eiffelova veža má fraktálový aspekt. A čítal som knihu, ktorú o tej veži napísal pán Eiffel. A bolo to naozaj úžasné, ako tomu rozumel.

Toto je chaos, chaos, chaos, Brownova slučka. Jedného dňa som sa rozhodol, že na polceste mojej kariéry som bol zväzovaný toľkými vecami v mojej práci, rozhodol som sa otestovať sám seba. Dokážem sa len tak pozrieť na niečo, na čo všetci pozerali po dlhý čas a nájsť niečo úplne nové? Nuž, pozrel som sa na tieto veci, zvané Brownov pohyb — iba to chodí dokola. Nejaký čas som sa s tým hral a prinútil som to vrátiť sa na začiatok. Potom som povedal asistentovi, "Nič nevidím. Môžete to nakresliť?" Nakreslil to, čo znamená, že to vyplnil. Povedal: "Nuž, toto z toho vyšlo.." A vravím, "Stačí! Stačí! Stačí! Vidím, je to ostrov." A pekný. Takže Brownov pohyb, ktorý má číslo hrubosti dva, ide dookola. Odmeral som to, 1,33. Znova, znova a znova. Dlhé merania, veľké Brownove pohyby, 1,33. Matematický problém: ako to dokázať? Mojim priateľom to zabralo 20 rokov. Traja z nich mali čiastočné dôkazy. Dali sa dokopy a spolu mali dôkaz. Dostali veľkú (Fieldsovu) medailu za matematiku, jednu z troch medailí, ktoré dostali ľudia dokazujúci veci, ktoré som videl, ale nebol schopný dokázať.

Každý sa ma z času na čas pýta, "Ako to začalo? Čo vás priviedlo k týmto divným témam?" Čo zo mňa spravilo zároveň mechanickýho inžiniera, geografa a matematika a tak ďalej, fyzika? Nuž, vlastne som začal, dosť čudné, študovať ceny na finančnom trhu. A tak, mal som teóriu, napísal som o tom knihy, Prírastky finančných cien. Naľavo vidíte dáta z dlhšieho obdobia. Napravo, hore, vidíte veľmi, veľmi elegantnú teóriu. Bolo to veľmi ľahké a môžete o tom veľmi rýchlo napísať veľa kníh. (Smiech) Sú o tom tisícky kníh. Porovnajte to so skutočnými zmenami ceny. A kde sú skutočné zmeny cien? Nuž, tieto ostatné čiary obsahujú niektoré reálne zmeny cien a pár mojich podvrhov. Takže idea bola, že sa musí dať — ako sa to povie — modelovať cenové variácie. A celkom to fungovalo pred 50 rokmi. 50 rokov si ma ľudia doberali, lebo oni to vedeli oveľa oveľa ľahšie. Ale potom ma začali počúvať. (Smiech) Tieto dve krivky sú priemery. Standard & Poor, modrá. A červená je Standard & Poor, bez piatich najväčších nepravidelností. Nepravidelnosti sú otrava. A preto sú v mnohých štúdiách cien, vylučované. "Nuž, Božie zásahy. A zostane vám tá trocha nezmyslov. Božie zásahy." Na tomto obrázku päť Božích zásahov je tak dôležitých ako všetko ostatné. Inými slovami, nie sú to tie Božie zásahy, ktoré by sme mali odložiť. To je podstata, ten problém. Ak zvládnete tie, zvládnete ceny. A ak ich nezvládnete, môžete zvládnuť ten šum ako len chcete, ale bude to jedno. Nuž, tu sú k tomu krivky.

Teraz sa dostávam k hlavnej veci, čo je množina, ktorá nesie moje meno. Svojim spôsobom je to príbeh môjho života. Svoju mladosť som strávil počas nemeckej okupácie Francúzska. A keďže som si myslel, že možno neprežijem deň alebo týždeň, mal som veľké sny. A po vojne, som znova uvidel strýka. Strýko bol slávny matematik a povedal mi, "Pozri, je taký problém, ktorý som nedokázal vyriešiť pred 25 rokmi, a ktorý nikto nevie vyriešiť. Toto je konštrukcia pánov (Gaston) Julia a (Pierre) Fatou. Ak by si našiel niečo nové, hocičo, postavíš si na tom kariéru." Veľmi jednoduché. Tak som sa na to pozrel a ako tisíce ľudí, ktorí to skúšali predtým, nič som nenašiel.

A potom prišiel počítač. Rozhodol som sa použiť počítač, nie na nové problémy v matematike — ako tieto čáry-máry, to je nový problém — ale na staré problémy. A prešiel som od toho, čo voláme reálne čísla, ktoré sú body na priamke, na imaginárne, komplexné čísla, ktoré sú bodmi na rovine, a to sa malo skúsiť. A vyšiel z toho tento tvar. Tento tvar má výnimočnú zložitosť. Rovnica je skrytá tu, z sa rovná z na druhú plus c. Je to také jednoduché, suché. Je to tak nezaujímavé. Otočíte kľukou raz, dvakrát, dvakrát a začnú sa divy. Vypadne z toho toto. Nechcem to vysvetľovať. Vyjde toto. Vyjde toto. Tvary, ktoré sú tak zložité, tak harmonické a také krásne. Toto z toho vychádza opakovane, znova, znova, znova. A to bol jeden z mojich veľkých objavov, objaviť, že tieto ostrovy boli také isté, ako celá tá veľká vec, viac-menej. A potom dostanete všade tieto výnimočné barokové ozdoby. To všetko z tohto malého vzorca, ktorý má, povedzme, päť symbolov. A potom tento. Farba bola pridaná z dvoch dôvodov. Po prvé, lebo tieto tvary sú také zložité, že by z čísel nešlo nič pochopiť. A ak ich nakreslíte, musíte si vybrať nejaký systém. A tak mojim princípom bolo vždy prezentovať tvary rôznym zafarbením, lebo niektoré zafarbenia zdôrazňujú niečo a iné zas to alebo ono. Je to také zložité.

(Smiech)

V roku 1990 som bol v Cambridge, vo Veľkej Británii, prebrať cenu od univerzity. A o tri dni neskôr pilot prelietal krajinou a našiel túto vec. Odkiaľ sa to tam vzalo? Samozrejme, mimozemšťania. (Smiech) Nuž, noviny v Cambridge uverejnili článok o tomto "náleze" a na ďalší deň dostali 5000 listov od ľudí, čo vraveli, "Ale to je proste veľká Mandelbrotova množina."

Nuž, na záver. Tento tvar vzišiel z čistej matematiky. Bezodné divy prýštia z jednoduchých pravidiel, ktoré sa opakujú bez konca.

Ďakujem veľmi pekne.

(Potlesk)