Άρθουρ Μπέντζαμιν
6,182,696 views • 6:24

Γιατί λοιπόν μαθαίνουμε μαθηματικά; Ουσιαστικά, για τρεις λόγους: υπολογισμό, εφαρμογή και τέλος, και δυστυχώς λιγότερο συγκριτικά με το χρόνο που του δίνουμε, έμπνευση.

Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των μοτίβων και τα μελετάμε για να μάθουμε πώς να σκεφτόμαστε λογικά, κριτικά και δημιουργικά, αλλά πολλά από τα μαθηματικά που μάθαμε στο σχολείο δεν έχουν αποτελεσματικά κίνητρα και όταν οι μαθητές μας ρωτούν, «Γιατί το μαθαίνουμε αυτό;» στη συνέχεια ακούνε συχνά ότι θα τα χρειαστούν σε κάποιο επόμενο μάθημα μαθηματικών ή σ' ένα μελλοντικό διαγώνισμα. Αλλά δεν θα ήταν υπέροχο αν πού και πού κάναμε μαθηματικά απλά και μόνο επειδή ήταν διασκεδαστικό ή όμορφο ή επειδή διέγειρε το μυαλό; Τώρα, ξέρω ότι πολλοί άνθρωποι δεν είχαν την ευκαιρία να δουν πώς μπορεί να συμβεί αυτό, οπότε επιτρέψτε μου να σας δώσω ένα γρήγορο παράδειγμα με την αγαπημένη μου συλλογή αριθμών, την ακολουθία Φιμπονάτσι. (Χειροκρότημα)

Ναι! Έχω ήδη θαυμαστές του Φιμπονάτσι εδώ. Αυτό είναι υπέροχο.

Τώρα, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να ερμηνευτούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Από τη σκοπιά του υπολογισμού, είναι τόσο εύκολοι στην κατανόηση όσο το ένα συν ένα, που κάνουν δύο. Μετά ένα συν δύο κάνουν τρία, δύο συν τρία κάνουν πέντε, τρία συν πέντε κάνουν οκτώ, και ούτω καθεξής. Μάλιστα, το πρόσωπο που λέμε Φιμπονάτσι στην πραγματικότητα ονομαζόταν Λεονάρντο της Πίζας και αυτοί οι αριθμοί εμφανίζονται στο βιβλίο του «Το βιβλίο του Άβακος», που δίδαξε στον Δυτικό κόσμο τις μεθόδους της αριθμητικής που χρησιμοποιούμε σήμερα. Όσον αφορά τις εφαρμογές, η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στη φύση εκπληκτικά συχνά. Ο αριθμός των πετάλων σε ένα λουλούδι συνήθως είναι μία ακολουθία Φιμπονάτσι ή ο αριθμός των σπειρών σε ένα ηλιοτρόπιο ή έναν ανανά τείνει να είναι και αυτός μία ακολουθία Φιμπονάτσι.

Πράγματι, υπάρχουν πολλές περισσότερες εφαρμογές των ακολουθιών Φιμπονάτσι, αλλά αυτό που με εμπνέει περισσότερο σε αυτήν είναι τα υπέροχα αριθμητικά μοτίβα που εμφανίζονται. Επιτρέψτε μου να σας δείξω ένα από τα αγαπημένα μου. Ας υποθέσουμε ότι σας αρέσει να υψώνετε αριθμούς στο τετράγωνο, και ειλικρινά, σε ποιον δεν αρέσει; (Γέλια)

Ας δούμε τα τετράγωνα των πρώτων αριθμών της ακολουθίας Φιμπονάτσι. Έτσι, ένα στο τετράγωνο κάνει ένα, δύο στο τετράγωνο κάνει τέσσερα, τρία στο τετράγωνο κάνει εννέα, πέντε στο τετράγωνο κάνει 25, και ούτω καθεξής. Τώρα, δεν αποτελεί έκπληξη ότι όταν προσθέσετε συνεχόμενους αριθμούς Φιμπονάτσι, θα έχετε τον επόμενο αριθμό Φιμπονάτσι. Σωστά; Έτσι δημιουργήθηκαν. Αλλά δεν θα περιμένατε κάτι ιδιαίτερο να συμβεί όταν προσθέσετε τα τετράγωνα μαζί. Αλλά για κοιτάξτε αυτό. Ένα συν ένα μας δίνει δύο και ένα συν τέσσερα μας δίνει πέντε. Και τέσσερα συν εννέα κάνει 13, εννέα συν 25 κάνει 34 και ναι, το μοτίβο συνεχίζεται.

Στην πραγματικότητα, δείτε άλλο ένα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εξετάσετε την πρόσθεση των τετραγώνων των πρώτων αριθμών Φιμπονάτσι. Ας δούμε τι έχουμε εκεί. Έτσι, ένα συν ένα συν τέσσερα κάνει έξι. Προσθέσετε εννέα σε αυτό και έχουμε 15. Προσθέστε 25, έχουμε 40. Προσθέστε 64, έχουμε 104. Τώρα κοιτάξτε αυτούς τους αριθμούς. Αυτοί δεν είναι αριθμοί Φιμπονάτσι, αλλά αν τους κοιτάξετε προσεκτικά, θα δείτε τους αριθμούς Φιμπονάτσι που κρύβονται μέσα τους.

Το βλέπετε; Θα σας το δείξω. Το έξι είναι δύο φορές το τρία, το 15 είναι τρεις φορές το πέντε, το 40 είναι πέντε φορές το οκτώ, δύο, τρία, πέντε, οκτώ, ποιον εκτιμούμε;

(Γέλια)

Τον Φιμπονάτσι! Φυσικά.

Τώρα, όσο διασκεδαστική κι αν είναι η ανακάλυψη αυτών των μοτίβων, είναι ακόμη πιο ικανοποιητική η κατανόηση του γιατί είναι αληθή. Ας δούμε αυτή την τελευταία εξίσωση. Γιατί πρέπει τα τετράγωνα του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ είναι συνολικά οκτώ επί 13; Θα σας δείξω σχεδιάζοντας μια απλή εικόνα. Θα αρχίσουμε με ένα τετράγωνο ένα επί ένα και δίπλα σε αυτό βάζουμε ακόμη ένα τετράγωνο ένα επί ένα. Μαζί, σχηματίζουν ένα ορθογώνιο ένα επί δύο. Κάτω από αυτό, θα βάλω ένα τετράγωνο δύο επί δύο και δίπλα του ένα τετράγωνο τρία επί τρία, κάτω από αυτό, ένα τετράγωνο πέντε επί πέντε και στη συνέχεια ένα τετράγωνο οχτώ επί οχτώ, δημιουργώντας ένα γιγαντιαίο ορθογώνιο, σωστά;

Τώρα, επιτρέψτε μου να σας θέσω ένα απλό ερώτημα: Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου; Λοιπόν, από τη μία πλευρά, είναι το άθροισμα από τα εμβαδά των τετραγώνων μέσα σ' αυτό, σωστά; Ακριβώς όπως το δημιουργήσαμε. Είναι ένα στο τετράγωνο συν ένα στο τετράγωνο συν δύο στο τετράγωνο συν τρία στο τετράγωνο συν πέντε στο τετράγωνο συν οκτώ στο τετράγωνο. Σωστά; Αυτό είναι το εμβαδόν. Από την άλλη πλευρά, επειδή είναι ένα ορθογώνιο, το εμβαδόν είναι ίσο με το ύψος επί τη βάση και το ύψος είναι σαφώς οκτώ και η βάση είναι πέντε συν οκτώ, ο οποίος είναι ο επόμενος αριθμός Φιμπονάτσι, το 13. Σωστά; Έτσι, το εμβαδόν είναι επίσης οκτώ φορές το 13. Αφού έχουμε υπολογίσει σωστά το εμβαδόν με δύο διαφορετικούς τρόπους, πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός και γι' αυτό το λόγο τα τετράγωνα του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ είναι συνολικά οκτώ επί 13.

Τώρα, αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία, θα παράγουμε ορθογώνια της μορφής 13 επί 21, 21 επί 34 και ούτω καθεξής.

Τώρα κοιτάξτε αυτό. Εάν διαιρέσετε το 13 με το οκτώ, θα έχετε το 1,625. Και εάν διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό με το μικρότερο αριθμό, τότε αυτά τα ποσοστά πάνε όλο και πιο κοντά περίπου στο 1,618, γνωστό σε πολλούς ως η Χρυσή Τομή, ένας αριθμός που έχει συναρπάσει τους μαθηματικούς, τους επιστήμονες και τους καλλιτέχνες για αιώνες.

Τώρα, σας τα δείχνω όλα αυτά επειδή, όπως και τόσα πολλά στα μαθηματικά, υπάρχει μια όμορφη πλευρά σε αυτό που φοβάμαι ότι δεν της δίνουν επαρκή προσοχή στα σχολεία μας. Ξοδεύουμε πολύ χρόνο μαθαίνοντας για τον υπολογισμό, αλλά ας μην ξεχνάμε την εφαρμογή, συμπεριλαμβανομένων, ενδεχομένως, την πιο σημαντική εφαρμογή απ' όλες, να μαθαίνουμε πώς να σκεφτόμαστε.

Αν μπορούσα να το συνοψίσω σε μια φράση, θα ήταν η εξής: Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς η επίλυση ως προς το x, είναι και η κατανόηση του γιατί. (Λογοπαίγνιο)

Σας ευχαριστώ πολύ.

(Χειροκρότημα)