马库斯•杜•沙托：对称性——现实之谜

在1832年5月30日， 人们听到一声枪响， 枪声穿透了巴黎的第十三区 （枪声） 一个农民，那天早晨正去往市场 朝枪声传来的地方跑了过去， 并发现一名年轻男子正痛得在地上打滚， 显然他在决斗中遭到了枪击。 这个年轻人名叫伊瓦利斯特•伽罗瓦。 他当时在巴黎是一个著名的革命者。 伽罗瓦被送到了当地的医院， 在医院第二天死在了他兄弟的怀中。 他最后对他兄弟说的话是， “阿尔弗雷德不要为我哭泣。 我需要聚集我能聚集的所有勇气 让我在20岁时死去。”

实际上，革命政治并不是 使伽罗瓦著名的原因。 而是几年前，当他还在上学时， 他实际上已经破解了 当时重大数学问题之一。 随后他写信给巴黎的院士， 尝试解释他的理论。 但院士们弄不懂他写的任何东西。 （众笑） 这就是他怎么写大部分数学理论的。

因此，在决斗的前一天晚上，他意识到 这可能是他最后一次机会 来尝试解释他的重大突破了。 所以他彻夜未眠，不停地写东西， 试图解释他的想法。 随着黎明的到来，他准备迎接自己的命运。 他把桌子上的一堆文件留给了下一代。 也许他彻夜研究数学 是他那天早晨受到枪击且被杀的真正原因。

但包含在那些文件中的 是一种新的语言，这种语言能让人们理解 科学的一个最基本的概念， 即对称性。 现今，对称性几乎是大自然的语言。 它有助于我们了解许多 科学世界里不同的小东西。 例如，分子结构。 什么晶体是能让 我们可以通过数学的对称性来了解的？

在微生物学中，你真的不想研究对称的东西。 因为它们一般都比较令人讨厌。 目前的猪流感病毒就是一种结构对称的病毒。 而且它利用对称的功效 来使自己很好的增殖。 但就生物学更大范围的而言，对称性事实上非常重要， 因为它能传递遗传信息。

我带了两张照片到这儿来，并人工的把他们做成了对称的。 如果我问你们觉得哪些更漂亮， 你们可能会被下面的两张吸引住。 因为很难做到对称， 所以如果你可以使自己对称，那么你在传递一种信号 它意味着你得到了好的遗传基因，你有好的教养， 因而你会有一个好的伴侣。 所以，对称性是一种语言，它能有助于传递 遗传信息。

对称性还可以帮助我们解释 欧洲粒子物理研究所大型强子对撞机正发生着什么事情。 或者欧洲粒子物理研究所的大型强子对撞机没有发生什么事情。 为了能够对基本粒子作出预测， 我们可能会在那儿看到的（基本粒子）， 似乎所有的小平面都有某种奇怪的对称形状 当它们在更高维的空间中时。

我认为伽利略很好地概括了 数学的力量： 它让我们对周围的科学世界得以了解。 他写道：“我们无法阅读宇宙， 除非学会它的语言， 且熟悉其写作特点。 它是用数学语言写的。 字母是三角形、圆和其他的几何数字， 没有这些字母就意味着在人力所能及的范围内是不可能 理解任何一个字的。”

不只是科学家们对对称性感兴趣。 艺术家也喜欢摆弄对称性。 他们与对称性有一些更模糊的关系。 这是托马斯•曼在《魔山》中谈到的对称性。 他对雪花有这样的描。 他说，“他因其有完美的精确度而震撼， 发现它死亡的精髓让他想到死亡。”

但艺术家们想要做的是树立对对称性的期望， 然后打破它们。 就这一点我找到了一个很好的例子， 其实是当我拜访我的同事 在日本的黑川纪章教授时发现的。 他带我到日光市的寺庙去。 就在拍好这张照片后，我们走上楼梯， 你们看到的这后面的大门 有八根柱子，都有着漂亮的对称性设计。 其中七个是完全一样的， 而第八个是颠倒过来的。

我就对黑川纪章教授说： “哇，建筑师们肯定要踢自己了， 要是他么发现犯了这么一个错误，把这根柱子弄倒了过来。” 他说，“不，不，不。这是一个特意的设计。” 他还向我提到了这个可爱的引述，引自日本 1 4世纪的《闲置的散文》。 其中，散文家写道：“在一切事物中， 一致性是不可取的。 留下一些不完整的东西会更有趣， 而且一致性给人一种没有发展空间的感觉。” 即使是建造皇宫时， 他们也总是留下一个未完工的地方。

但如果我必须选择这世界上的一个建筑， 将其扔到一个荒岛上，且我要在那里度过余生， 作为一个对对称性痴迷的人，我可能会选择在格拉纳达的阿尔罕布拉。 这是一座歌颂对称性的宫殿。 最近，我带我的家人—— 我们进行这种并没有学术气息的数学旅行，我的家人都很喜欢。 这是我的儿子塔梅尔。你们可以看到 他真的很喜欢我们在阿尔罕布拉的数学之旅。 但我想尝试使他变得充实。 我认为学校教的数学存在的一个问题就是 它没有关注数学是如何被运用于 我们所处的这个世界。 所以，我想开拓他的眼界，让他知道 阿尔罕布拉运用着多少对称性。

你们已经看到了。你一走进去， 水中有反射的对称。 但是，所有令人兴奋的事情发生在墙壁上。 人们否认摩尔艺术家能够 用灵魂来绘画。 因此，他们探索出一种更加几何化的艺术。 那么什么是对称性？ 阿尔罕布拉以某种方式提出了所有这些问题。 什么是对称性？当[那儿]有两面墙时， 他们有相同的对称性吗？ 我们可以说他们是否发现了 阿尔罕布拉所有的对称性吗？

是伽罗瓦研制出了一种语言 能够回答一些这样的问题。 对伽罗瓦来说，对称性，不同于托马斯曼所说的 对称性是一些静态的和死一般的东西。 对伽罗瓦来说，所有的对称性都是关于运动的。 你能对一个对称性的物体做些什么？ 用某种方法移动它，让它看起来 跟你移动它之前一样？ 我喜欢把这形容为神奇的假动作。 你对一些东西可以做些什么？闭上你的眼睛。 我动下它，再把它放回到原处。 它看起来和动之前一样。

那么，例如，阿尔罕布拉的墙壁。 我可以把所有的这些瓦片拿起来，把他们放在这个黄色的地方， 并把它们旋转九十度， 再把他们都放回去，它们非常吻合。 如果你再睁开你的眼睛，你不会知道它们被移动过。 但正是运动才使对称性 在阿尔罕布拉具有特色。 但也要创造一种语言来描绘它。 数学的力量往往 把一样东西变成另一样，把几何变成语言。

因此，我将带你经历，可能强加一些数学的东西给你们， 所以撑住自己， 强加一些数学的知识让你们了解这种语言是怎么运作的， 这让我们能够捕捉到什么是对称性。 那让我们把这两个对称物放到这儿。 拿这个扭曲了的六角海星来说。 我怎么做能让这个海星看起来和原来一样呢？ 嗯，我把它旋转了六分之一圈， 它看起来仍然跟我动过之前一样。 我可以把它旋转三分之一圈， 或者半圈， 或将它恢复到原图，或旋转三分之二圈。 第五种对称，我可以把它旋转六分之五圈。 这些就是我能对对称物所做的， 可以让它看起来跟我动它们之前一样。

对伽罗瓦来说，实际上还有第六种对称。 大家能想到其它什么办法 可以让它跟我动它之前一样？ 我不能翻转它，因为我已经把它扭曲了一些，是吧？ 这样它没有反射对称了。 但我可以做的就是把它放在原处， 把它拿起来再把它放下。 对伽罗瓦来说，这就像是第零个对称。 其实，数字零的发明 是一个非常现代化的概念，它是公元七世纪印度人发明的。 什么都没有谈论看起来很疯狂。 这是同样的概念。这是对称的—— 所以一切事物都有对称性，把它放在拿起它的地方。

所以这个物体有六种对称。 那三角形呢？ 嗯，我可以把它顺时针旋转三分之一圈 或逆时针旋转三分之一圈。 但现在有反射对称。 。我可以在X轴上翻转它， 或在Y轴上， 或在Z轴上。 五种对称，当然还有第零个对称， 我把它拿起来，放回原处。 因此，这些物体都有六种对称。 现在，我十分相信数学不是旁观者的运动， 你必须做一些数学运算 才能真正理解它。

这儿有个小问题问问你们。 我将在讲座结束后给一个奖品 给那个给出的答案最接近的人。 魔方。 一个魔方有多少种对称？ 有多少种方法可以在动了这个物体， 且把它放下后它仍然看起来像一个立方体？ 好吗？我希望随着讲座的继续，你们可以考虑下这个问题， 数数它有多少种对称。 会有一个奖品在讲座结束后那个给出的答案最接近的人。

让我们回到这两个物体的对称性上。 伽罗瓦意识到这不仅仅是个体的对称性， 而是个体之间如何相互作用 才真正赋予了一个物体具有对称性的特点。 如果我做一个神奇的假动作，然后再做一个， 两个合并起来就是第三个神奇的假动作。 这里我们了解到伽罗瓦开始开发 一种语言来研究 看不见的东西所具有的内在含义，以及 物理物体中存在的对称性的抽象的概念。 例如，如果我把海星旋转 六分之一圈， 然后再转三分之一圈会，结果会怎样？

所以我给它们取了名字。大写的字母A、B、C、D、E、F， 这些名字旋转的代号。 例如B，旋转小黄点， 它位于海星上的B处，诸如此类。 那么，如果我旋转B，转六分之一圈， 其次是C，转三分之一圈？ 嗯，让我们开始。六分之一圈， 接着是三分之一圈， 合并后的效果就像我刚刚把它一次旋转了半圈一样。 那这个小表格记载着 这些对称的代数是怎么运作的。 我将一个接一个的旋转，结果就是 D旋转了半圈。 如果我按其他顺序旋转呢？会有什么不同吗？ 让我们来看看。让我们先旋转三分之一圈，然后旋转六分之一圈。 当然，没有什么差别。 结果仍然是半圈。

某种对称方式是通过相互作用得到的。 但这与三角形的对称性是完全不同的。 让我们看看如果对三角形 一个接一个的进行两个对称旋转会怎样。 让我们逆时针旋转三分之一圈， 然后在X轴上翻转。 嗯，合并后的效果就像我刚刚以Z轴翻转 开始一样。 现在，让我们按不同的顺序来一次。 我们先在X轴上翻转， 然后逆时针旋转三分之一圈。 合并后的效果是三角形停的地方完全不同。 就像是在Y轴上翻转了一样。

现在看来这与你操作它的顺序有关。 这使我们能够区分 为什么这些物体的对称性 都有六个。那么，为什么我们不能说 它们有相同的对称性呢？ 但对称相互作用的方式 使我们——我们现在已经有一种语言 来区分为什么这些对称在根本上是不同的。 你也可以尝试一下，当你去酒吧时，以后去的时候。 拿一个啤酒垫，把它旋转四分之一圈， 然后翻转它。然后再按其它顺序做， 酒垫上的图将是朝反方向面对你的。

伽罗瓦为这些表格以及对称性如何相互作用研究出了一些定律。 这像一个小数独表。 你看不到任何重复的对称 出现在任何一栏或一行中。 通过运用那些定律，他可以说 事实上只有两个物体 有六个对称。 而且这六个对称将和三角形的对称, 或六角海星的对称是一样的。 我觉得这是一个惊人的发展。 它几乎是为了对称而研制的数的概念。 在这前面，我请一、二、三个人 坐在一、二、三把椅子上。 坐在椅子上的人都不一样， 但是数字，数字的抽象的观念，都是一样的。

现在我们可以看到这个：我们回到阿尔罕布拉的墙壁。 这有两面很不一样的墙壁， 很不相同的几何图片。 但是，利用伽罗瓦的语言， 我们可以知道这些东西含有的抽象的对称 实际上是相同的。 例如，让我们把这面漂亮的墙 和三角形稍微扭曲一下。 你可以把它们旋转六分之一圈， 如果忽略他们的颜色。我们不是在匹配颜色。 但在匹配形状，如果我把他们旋转六分之一圈， 围绕着所有三角形交汇的一点旋转。 三角形的中心会怎么样？我可以 围绕着三角形的中心把他们旋转三分之一圈， 那么一切就都匹配上了。 这儿有个有趣的地方，沿着边的一半 我可以把它旋转180度。 那么所有的瓦片又重新匹配了。 所以，沿着边的一半旋转，那么他们都能匹配上。

现在，让我们移动阿尔罕布拉的一面外观非常不一样的墙。 我们在这儿发现同样的对称性和同样的相互作用。 那么是转了六分之一转。转了三分之一圈时第Z片交汇。 旋转半圈时离六角星交汇还有一半。 尽管这些墙壁看起来非常不同， 伽罗瓦研制出一种语言说， 其实这些东西所具有的对称性是完全相同的。 这个对称性我们称之为6-3-2。

另一个阿尔罕布拉的例子。 这是一面墙、天花板和地板。 它们都看起来都非常不一样。但是，这种语言让我们可以说 它们是相同的对称的抽象物体， 我们称之为4-4-2。这与足球毫无关系， 而是因为他们都有两个你可以旋转 四分之一圈和二分之一圈的地方。

现在，这种语言的力量更加强大， 因为伽罗瓦可能会说， “摩尔艺术家发现了阿尔罕布拉墙上所有可能对称的 地方了吗？” 结果是他们几乎都发现了。 你可以用伽罗瓦的语言来证明， 实际上只有17种 可以在阿尔罕布拉的墙上得到的不同的对称。 而且他们，如果你尝试研制出第18面不同的墙壁， 这面墙肯定与17种对称中的一种对称是相同的。

但这些都是我们可以看到的。 而伽罗瓦的数学语言的力量 也让我们能 在看不见的世界里创造对称的物体， 超越二维、三维， 全都向四维或五维或无穷维空间发展。 而这正是我在研究的东西。我创建 数学对象和对称物体， 通过运用伽罗瓦的语言 在非常高维的空间里创建。 因此，我认为这是个对于看不见的东西的很好的例子，， 数学语言的力量让你可以创建出来。

因此，像伽罗瓦一样，我昨晚彻夜未眠 为你们建立了一个新的数学对称物。 我这儿有一张它的照片。 但是，可惜的是它不是一张真正的照片。我可以把我的图板 放在这边吗？很好，非常好。 这儿。可惜的是我无法向你们展示 这个对称物的照片。 但这儿有语言能描绘 其对称性怎么相互作用的。

现在这个新的对称物 还没有名字。 就像人们给东西命名一样， 给月球上的陨石坑命名， 或给动物新品种命名一样。 所以我想给你们机会来给新的对称物命名， 以前没有给它取过名字。 而且这个东西——物种会逐渐消失， 月球可能会被陨石撞击并发生爆炸—— 但是这个数学物体将长存于世。 它将使你不朽。 为了赢得这个对称物， 你所要做的就是回答我在一开始问的问题。 一个魔方有多少种对称呢？

好吧，我来给你们整理一下。 而不是大家都喊出来，我想让你们数数有多少位数字 在那个答案里。好吗？ 如果你得出的结果是一个阶乘，那么你要扩大它的阶乘。 好了，现在如果你想参与， 我希望你能站起来，好吗？ 如果你认为你已经估计出了它有多少位数字， 好的——我们在这儿已经有了一位竞争者—— 如果你们都继续坐着，那么他就自动赢了。 好的。很好。我们已经有四位、五位、六位。 很好。太好了。让我们继续。好了。

你们中有人的答案是等于或少于五位数的，那你得坐下了。 因为你们估计少了。 五位数或更少的。那么，如果你的答案是几万的话，你得坐下。 六十或六十多位数的，你必须坐下。 你估计得多了。 二十位数或二十位以下的，坐下。 你的答案是几位数？ 两个？那你早就该坐下了。 （众笑） 让我们再来问问其他人，谁估计的是二十位的，请再次站起来，好吗？ 如果我告诉你是二十位或二十位以下，请站起来。 因为这一个。我想应该有一些人。 谁是最后一个做下去的。

好的，你的答案是多少位数？ （笑） 21。好的，很好。你的是多少位？ 18。那么是这位女士赢了。 21是最接近的。 实际上，魔方对称种数的答案 有25位数字。 那么现在我需要给这个物体命名。 嗯，你叫什么名字？ 我需要你的姓氏。对称的物体一般—— 为我拼写一下。 G-H-E-Z 不，SO2已经用过了，其实， 在数学语言里。你不能用那个名字。 Ghez，就是这个名字啦。这是你的新的对称物。 你现在是不朽的了。 （鼓掌）

而且，如果你想用你自己的对称物， 我有一个项目，是为在瓜地马拉的慈善筹钱的， 我可以熬夜为你发明一个物体， 让你可以为慈善捐款来帮助瓜地马拉的孩子们，让他们能接受教育。 我认为，作为一个数学家， 给我动力的是那些看不到的东西，是我们还未发现的东西。 它们都是悬而未决的问题，这使数学成为一个鲜活的主题。 我常常想起引自日本《闲置的散文》中的这句话： “在一切事物中，一致性是不可取的。 留下一些不完整的东西会更有趣， 一致性并且给人一种没有发展空间的感觉。”谢谢。 （鼓掌）