Benoit Mandelbrot: Fractal và nghệ thuật hỗn độn

Xin cảm ơn! Quí vị thứ lỗi, tôi xin phép được ngồi; Tôi già rồi. (cười) Chủ đề mà tôi muốn bàn luận hôm nay là một chủ đề khá đặc biệt vì nó đã cũ lắm rồi. Hỗn độn là một phần của cuộc sống con người mãi mãi là thế Các tác giả cổ xưa đã từng viết về nó. Thực sự nó rất khó kiểm soát Theo cách hiểu nào đó, dường như nó cực kỳ phức tạp cực kỳ hỗn độn. Nhưng có nhiều dạng hỗn độn. Thực tế, thật may mắn là suốt nhiều năm qua tôi đã tập trung nghiên cứu loại hình phức tạp này. Và tôi đã rất kinh ngạc khi tìm thấy các dấu hiệu những dấu hiệu rõ ràng của trật tự trong sự thô ráp này. Vậy nên hôm nay, tôi muốn cho các bạn thấy một vài ví dụ tiêu biểu. Tôi thích từ "hỗn độn" hơn là từ "bất quy tắc" bời vì "bất quy tắc" đối với một người từng học tiếng Latin trong suốt quãng đời học sinh như tôi có nghĩa đối nghịch với "có quy tắc" Nhưng thực ra không phải thế. Sự quy củ đối ngược với sự hỗn độn do khía cạnh cơ bản của thế giới cực kỳ thô ráp.

Tôi sẽ cho quí vị xem một vài vật thể. Một số trong đó là nhân tạo. Số khác là có thực trong tự nhiên. Đây là một vật thể có thực. Đó là bông súp lơ. Tại sao tôi lại cho quí vị xem bông súp lơ này, một loại rau rất bình thường và có từ xa xưa? Bởi vì có thể nó có từ xa xưa rồi, nhưng nó cực kỳ phức tạp và cũng cực kỳ đơn giản đồng thời cả hai. Quí vị có thể dễ dàng cân nó, dễ dàng ăn nó. Nhưng giả sử quí vị muốn đo diện tích bề mặt của bông súp lơ này. Vâng, rất thú vị. Nếu quí vị dùng một con dao sắc để cắt một trong những bông nhỏ của bông súp lơ lớn và quan sát riêng nó, quí vị sẽ thấy nó hệt như một bông súp lơ thật, nhưng bé hơn. Rồi quí vị lại cắt thêm nữa, nữa, nữa,... cứ thế. Quí vị vẫn thu được những bông súp lơ bé hơn. Bởi vậy kinh nghiệm của con người cho thấy luôn có một số hình dạng có đặc tính đặc biệt này, đoó là mỗi phần đều trông giống như tổng thể chỉ có điều là bé hơn. Vậy, nhân loại đã làm gì với nó? Rất, rất ít thôi. (Cười)

Còn bản thân tôi thì nghiên cứu vấn đề đó và tôi tìm ra một số điều khá lạ lùng. Rằng chúng ta có thể đo sự thô ráp bằng một con số, một con số, 2.3, 1.2 hoặc đôi khi lớn hơn nhiều. Có lần, một anh bạn của tôi, anh ấy muốn chọc tôi, bèn mang tới một bức hình, rồi bảo, "Độ hỗn độn của đường cong này là bao nhiêu?" Tôi đáp: "Chỉ 1.5 thôi." Chính xác là 1.48. Chẳng mất mấy thời gian đâu nhỉ. Tôi đã tìm kiếm những thứ này từ lâu. Vậy nên những số này là những cơn số biểu thị độ hỗn độn của bề mặt. Tôi xin nói là những bề mặt này là hoàn toàn nhân tạo. Chúng được hoàn thiện bằng máy tính. và thông số đầu vào duy nhất là một con số. Và con số đó là độ hỗn độn. Và tiếp tục cái bên trái, tôi đã ghi lại độ hỗn độn từ nhiều cảnh quan, Cái bên phải, tôi lấy độ hỗn độn cao hơn. Bởi vậy mắt người, sau một lúc, không thể nào phân biệt rõ hai cái này nữa.

Con người đã học cách đo độ hỗn độn. Cái này rất nhám, cái này hơi mịn, còn cái này mịn hoàn toàn. Có rất ít thứ mịn hoàn toàn. Và nếu quí vị muốn hỏi, thế bề mặt của bông súp lơ thì sao? Quí vị cứ đo và đo. Mỗi lần quí vị tiến đến gần hơn thì nó càng lớn hơn, cuống tới những khoảng cách rất, rất nhỏ. Chiều dài của bờ hồ này là bao nhiêu? Quí vị càng đo gần, thì càng thu được chiều dài lớn hơn. Khái niệm về chiều dài đường bờ biển có vẻ khá tự nhiên bởi vì nó được xem xét trong nhiều trường hợp, thực ra, điều đó hoàn toàn sai lầm; không hề có chuyện đó. Quí vị phải làm khác.

Biết những thứ này thì được gì nhỉ? Khá lạ lùng là nó có nhiều ứng dụng. Chúng ta hãy bắt đầu với cảnh quan nhân tạo, là thứ mà tôi đã phát minh ra, và ngày nay luôn được sử dụng trong điện ảnh. Chúng ta thấy núi non ở xa xa. Chúng có thể là núi, nhưng cũng có thể là Giờ thì rất dễ. Trước đây người ta mất rất nhiều thời gian để làm ra, nhưng ngày nay chỉ mất vài phút. Quí vị quan sát nhé. Đây là lá phổi thật. Phổi là một thứ khá kỳ lạ. Nếu quí vị lấy cái này, quí vị biết rõ là nó rất nhẹ. Dung lượng của lá phổi cũng rất nhỏ. Nhưng diện tích bề mặt của nó thì sao? Các nhà giải phẫu học đã tranh cãi rất nhiều về điều đó. Một số người cho rằng lá phổi bình thường của nam giới có diện tích bằng diện tích bề mặt bên trong của một quả bóng rổ. Còn nhiều người lại bảo, không, phải bằng 5 quả. Tranh cãi kịch liệt. Tại sao lại thế? Bởi vì, thực ra, diện tích của lá phổi là thứ rất khó xác định. Phế quản cứ phân nhánh mãi. Rồi chúng nhừng phân nhánh, không phải vì nguyên lý gì cả, mà bởi vì lý do sinh học, nước nhầy trong phổi. Và vấn đề là cái cách mà bạn có được một lá phổi to hơn, nhưng nếu nó cứ phân nhánh, phân nhánh, tới một khoảng bằng con cá voi, với một người trưởng thành và với một loài gặm nhấm.

Điều đó có lợi gì? Ngạc nhiên thay là các nhà giải phẫu đã hiểu sai về cấu trúc của lá phổi, cho tới mãi gần đây. Và tôi nghĩ rằng toán học của tôi, thật lạ là đã giúp ích rất nhiều cho các bác sĩ ngoại khoa nghiên cứu về các chứng bệnh về phổi cũng như các chứng bệnh về thận, nói chung mọi cơ quan nội tạng có cấu trúc phân nhánh, mà không theo dạng hình học nào. Rồi tôi tìm ra cho mình, hay nói cách khác ây duựng nên một loại hình học, một loại hình học của những vật thể không hình dạng. Và một khía cạnh kỳ thú của nó là những quy tắc của hình học này thường là rất ngắn. Quí vị dựng hình lên. rồi căn chỉnh vài lần Đôi khi lặp đi lặp lại. Tiếp tục lặp lại như thế. Và cuối cùng bạn thu được thứ như thế này.

Đám mây đã hoàn thành. 100% nhân tạo. À, 99.9% Và phần duy nhất tự nhiên chính là con số, độ hỗn độn của đám mây, được lấy từ tự nhiên. Có thứ cũng phức tạp như đám mây, cũng không chắc, dễ thay đổi, thì cần có một quy tắc đơn giản. Qui tắc đơn giản này không phải là giải thích đám mây. Hình dạng của đám mây phải cân nhắc đến nó. Tôi không biết bức hình này tiên tiến tới mức nào, chúng cũ rồi. Tôi đã tham gia nhiều vào đó, nhưng sau lại chuyển sang để ý tới những hiện tượng khác.

Đây là một thứ thú vị không kém. Một trong những sự kiện gây choáng váng nhất Trong lịch sử toán học, và không được nhiều người đánh giá cao xảy ra cách đây khoảng 130 năm, 145 năm. Các nhà toán học bắt đầu tạo ra các hình dạng không tồn tại. Các nhà toán học tự tán dương tới mức kinh hoàng rằng con người có thể tạo ra những thứ mà tự nhiên không hề biết. Đặc biệt, nó có thể phát minh ra những thứ, chẳng hạn như đường cong lấp đầy mặt phẳng. Đường cong là đường cong, mà mặt phẳng là mặt phẳng, hai thứ chả liên quan gì tới nhau cả. Nhưng hóa ra chúng có liên quan. Một người tên là Peano đaã định nghĩa đường con đó, và nó trở thành một vật thể được ưa thích tốt đỉnh. Nó quan trọng, nhưng thú vị nhất bởi vì một vết rạn nứt, ôột khoảng cách giữa toán học đến từ thực tế và toán học mới là sản phẩm thuần túy của trí óc con người. Tôi rất tiếc phải chỉ ra rằng trí óc của con người thuần túy thực tế là, từ trước bao lâu nay đã nhìn thấy những gì phải thấy Và do đó tôi có mặt ở đây để giới thiệu một số thứ, một tập hợp các con sông và đường cong lấp đầy mặt phẳng. Và, bản thân nó là một câu chuyện. Thời kỳ hoàng kim khoảng từ năm 1875 tới 1925, toán học chuẩn bị tạo nên một cú đột phá . Và những vật thể được dùng làm thí dụ khi tôi còn là một thiếu niên và là sinh viên, thời kỳ rạn nứt giữa toán học và hiện thực khả quan những vật thể này, Tôi biến đổi chúng hoàn toàn. Tôi dùng chúng để mô tả một số khía cạnh của sự phức tạp trong tự nhiên.

Năm 1919, một người tên là Haudorff đã giới thiệu một con số toán học vui. Và tôi phát hiện ra là con số này là số đo hoàn hảo cho độ hỗn độn. Khi tôi lần đầu tiên kể cho bạn bè toán học của mình, họ bảo, "Đừng ngớ ngẩn thế. Đó chỉ là thứ vớ vẩn thôi." Thật sự tôi chẳng ngớ ngẩn chút nào. Họa sĩ vĩ đại Hokusai biết điều này rất rõ. Thứ trên mặt đất là tảo. Ông không hề biết đến loại toán học này; lúc đó nó chưa ra đời. Và ông là một người Nhật không hề có mối liên hệ nào với phương Tây. Nhưng từ lâu hội họa đã mang tính chất phân dạng (fractal). Có thể nói là rất lâu đời. Tháp Eiffel cũng có khía cạnh phân dạng. Và tôi đọc cuốn sách mà Ngài Eiffel viết về tháp của ông. Chắc hẳn mọi người sẽ rất ngạc nhiên về những kiến thức đáng kinh ngạc của ông về vấn đề này.

Đó là một vòng lặp Brown cực kỳ phức tạp. Một ngày nọ tôi quyết định rằng nửa sự nghiệp của mình tôi đã bị trói buộc bởi nhiều thứ trong công việc, tôi quyết định thử sức mình. Liệu tôi có thể chỉ nhìn những thứ mà mọi người đã mất bao thời gian tìm kiếm rồi đột nhiên khám phá được cái mới? Tôi quan sát cái này thứ được gọi là Chuyển động Brown - chỉ quay vòng tròn. Tôi chơi với nó một lúc, và tôi làm cho nó trở về như ban đầu. Rồi tôi nói với trợ lý của mình. "Tôi chả thấy gì cả. Anh vẽ lại được không?" Rồi anh ta vẽ lại, có nghĩa là anh cho tất cả vào, rồi bảo "Cái này tuôn ra..." Rồi tôi nói: "Ngừng! Ngừng lại! Tôi thấy rồi, đó là một hòn đảo." Thật kinh ngạc. Vậy chuyển động Brown với một độ hỗn độn 2, là chuyển động quay vòng. Tôi tính được 1.33 Và cứ thế mãi. số đo dài, chuyển động Brown lớn, 1.33 Một vấn đề toán học nảy sinh: làm sao để chứng minh? Các bạn tôi phải mất 20 năm. 3 người trong số họ có những luận cứ chưa hoàn chỉnh. Họ cùng hợp tác, và cùng chứng minh. và họ đã nhận giải thưởng Field trong toán học. một trong ba huy chương tôi biết mà con người có thể nhận được khi chứng minh được các giả thiết mà không hề có thể chứng minh chúng.

Giờ mọi người hỏi tôi về chỗ này chỗ kia, "Nó bắt đầu như thế nào vậy?" Điều gì đã khiến anh dấn vào công việc lạ lùng này vậy?" Điều gì khiến tôi trở thành một kỹ sư cơ khí, đồng thời là nhà địa lý và là nhà toàn học, nhà vật lý? Thực ra tôi bắt đầu khá lạ lùng nghiên cứu về giá cả thị trường chứng khoán. Và lúc đó tôi có lý thuyết này, và tôi viết sách về nó, Sự gia tăng giá cả tài chính. Để quí vị xem dữ liệu trong một thời gian dài. Bên phải, phía trên, quý vị sẽ thấy một lý thuyết rất rất thời thượng. Nó rất dễ, và quí vị có thể viết nhanh vô số sách về nó. (Cười) Có hàng ngàn cuốn sách viết về lý thuyết này. Gơờ hãy so sánh với sự gia tăng giá cả thực tế, và đâu là sự gia tăng giá cả thực tế? Những dòng này bao gồm những gia tăng giá cả thực tế và một số giả mạo mà tôi thực hiện. Mấu chốt là người ta phải có thể - nói thế nào nhỉ? - mô hình hóa được sự biến đổi về giá. Và cách đây 50 năm, nó đã vận hành rất tốt. Trong 50 năm đó mọi người kiểu như phủ nhận tôi bởi họ có thể làm dễ hơn rất, rất nhiều. Nhưng ở điểm này, mọi người phải lắng nghe tôi. (Cười) hai đường cong này là đường trung bình. Standard & Poor là đường màu xanh. Còn đường màu đỏ là của Standard & Poor's từ đó có 5 điểm gián đoạn lớn được chỉ ra. Các điểm gián đoạn này sẽ gây nhiều bất lợi. Do đó trong nhiều nghiên cứu về giá, người ta bỏ qua nó. "Các yếu tố khách quan. Và bạn Trong bức hình này năm yếu tố khách quan quan trọng hơn cả. Nói cách khác, chúng ta không chỉ bỏ qua yếu tố bên ngoài Rất đơn giản Nếu bạn điều khiển được nó thì bạn sẽ khống chế được giá. Và nếu bạn không điều khiển được, thì bạn cũng có thể khống chế được một phần bất lợi nào đó nhưng điều đó không quan trọng. Đây là đường cong biểu thị điều đó.

Còn bây giờ, tôi sẽ đưa ra thứ cuối cùng, là một tập hợp được đặt theo tên tôi. Có thể nói nó là câu chuyện của cuộc đời tôi. Tôi đã bỏ cả tuổi trẻ suốt thời Đức chiếm đóng trên đất Pháp. Và vì tôi nghĩ là tôi có thể biến mất trong vòng một ngày hay một tuần, tôi đã có những ước mơ lớn lao. Sau chiến tranh, tôi gặp lại một người chú. Chú tôi là một nhà toán học lỗi lạc và ông bảo tôi, "Cháu nhìn xem, có một vấn đề mà suốt 25 năm nay chú không giải quyết được, và cũng không ai giải quyết được. Đó là một công trình của một người tên là [Gaston] Julia và [Pierre] Fatou. nếu có thể cháu hãy tìm một điều gì đó mới mẻ, bất cứ điều gì, thì cháu sẽ tạo dựng được sự nghiệp của mình." Rất đơn giản. và vì thế tôi quan sát, và giống như hàng ngàn người từng cố thử sức trước tôi, tôi chẳng tìm ra gì cả.

Nhưng rồi máy tính xuất hiện. và tôi quyết định thực hiện trên máy tính, không phải với các vấn đề mới trong toán học -- giống như cái lúc lắc này, đó là một vấn đề mới -- nhưng chỉ mới với những vấn đề cũ. Và tôi bắt đầu từ cái gọi là số thực, là các điểm thẳng hàng, cho tới số ảo, số phức, là các điểm nằm trên một mặt phẳng, là thứ mà người ta phải làm ở đây. Vậy là hình dạng này ra đời. Hình dạng này là một thứ phức tạp chưa từng thấy. Phương trình ẩn ở kia, z -> z bình phương, cộng với c. Thật đơn giản gọn nhẹ. Nhưng cũng chẳng thú vị gì lắm. Rồi bạn xoay hình này, một lần, hai lần. hai lần, điều kỳ diệu sẽ xảy ra. Ý tôi là thu được cái này. Tôi không muốn giải thích những thứ này. Được cái này. Có hình thù phức tạp như thế này, rất đẹp và hài hòa. Nó hiện ra lặp đi lặp lại, liên tục như thế. Và đây là một trong những khám phá chính của tôi để tìm ra rằng những hòn đảo này cũng hệt như thế hệt như tổng thể lớn, nó có thể lớn hơn hoặc bé hơn. Và sau đó bạn thu được cái này những họa tiết trang trí tuyệt đẹp kiểu Baroque hiện ra khắp nơi. Tất cả đều từ thể thức bé này mà ra, là thứ có 5 biểu tượng. Rồi còn cái này. Màu sắc được thêm vào vì hai lý do. Trước hết, là do hình dạng của chúng quá phức tạp, nên người ta không thể hình dung về các con số được. Nếu quí vị biểu thị nó bằng hình ảnh, quí vị phải có nguyên tắc. Và nguyên tắc của tôi là phải luôn biểu thị các hình dạng khác nhau bằng màu sắc khác nhau, bởi vì một số màu nhấn mạnh điều đó, còn với cái này cái kia thì không. Rất phức tạp.

(Cười)

Năm 1990, tôi đến Cambridge, Anh để nhận một giải thưởng của trường Đại học này. Và ba ngày sau, một phi công bay qua một vùng nọ và đã tìm thấy cái này. Nó từ đâu ra? Dĩ nhiên là từ ngoài hành tinh. (Cười) Tờ báo ở Cambridge đã đăng một bài báo về "khám phá" này và ngay ngày hôm sau, họ nhận được 5000 lá thư từ độc giả nói rằng, "Đó chỉ là một tập hợp Mandelbrot cực lớn thôi mà."

Tôi sẽ cho quí vị xem tấm hình cuối cùng. Tấm hình này mới có gần đây nó nằm ngoài các bài tập của toán học thuần túy. Dòng suối tuyệt đẹp không đáy với qui luật đơn giản lặp lại liên tục không ngừng.

Xin cảm ơn quý vị.

(Vỗ tay)