Маркус Дю Сотой: симетрія, загадка реальності

30-го травня 1832 року, було чутно постріл на цілий 13-ий округ в Парижі. (Вогнепальний постріл) Селянин, який йшов на ринок цього ранку побіг туди, звідки долинав звук пострілу, і знайшов юнака, що корчився в агонії на підлозі, очевидно, підстрелений на дуелі. Цього юнака звали Еварист Галуа. В той час він був добре відомим революціонером у Парижі. Галуа доставили в місцеву лікарню, де він помер на наступний день на руках у свого брата. І останні слова, які він сказав своєму брату, були: "Не плач за мною, Альфреде. Мені потрібна уся відвага, яку я можу зібрати, щоб померти у віці 20-ти років".

Насправді, не через революційні справи Галуа став відомим. Але декілька років раніше, коли ще навчався в школі, він фактично розв'язав одну з великих математичних проблем свого часу. І він написав академікам з Парижу, намагаючись пояснити свою теорію. Але академіки не змогли зрозуміти нічого з написаного. (Сміх) Ось, як він писав більшу частину своєї математики.

Тож, в ніч перед тою дуеллю він зрозумів що, можливо, це його останній шанс, щоб спробувати пояснити його великий прорив. Тож він не спав всю ніч, одержимий написанням, намагаючись пояснити свої ідеї. І на світанку, коли він пішов назустріч своїй долі, він залишив цю купу паперів на столі для наступних поколінь. Можливо, той факт, що він не спав всю ніч, займаючись математикою, пояснює те, що він був таким поганим дуелянтом того ранку, і був убитий.

Але в тих документах була нова мова, мова для розуміння одного з найбільш фундаментальних понять науки - а саме, симетрії. Отже, симетрія - це майже мова природи. Вона допомагає нам зрозуміти так багато різних шматочків наукового світу. Наприклад, молекулярну структуру. Які кристали можливі, ми можемо зрозуміти завдяки математиці симетрії.

В мікробіології ви насправді не хочете мати справу з симетричними об'єктами. Тому що вони, як правило, досить неприємні. Вірус свинячого грипу, на даний момент, є симетричним об'єктом. І він використовує ефективність симетрії, щоб мати можливість поширювати себе так добре. Але в більш широкому масштабі біології, насправді, симетрія дуже важлива, оскільки вона безпосередньо передає генетичну інформацію.

Я взяв дві фотографії тут, і зробив їх штучно симетричними. І якщо я запитаю вас, які з них виглядають краще на вашу думку, ви, мабуть, виберете дві нижні. Тому що це важко зробити симетрію. І якщо ви можете зробити себе симетричними, ви посилаєте сигнал, що у вас гарні гени, ви добре росли, і тому ви будете хорошим партнером. Отож симетрія - це мова, яка може допомогти передавати генетичну інформацію.

Симетрія може також допомогти нам пояснити, що відбувається у Великому адронному колайдері в ЦЕРНі. Або що не відбувається у Великому адронному колайдері в ЦЕРНі. Мати можливість робити передбачення про елементарні частинки, які ми можемо побачити там, здається, вони всі є аспектами якоїсь дивної симетричної форми в високовимірному просторі.

І я гадаю, що Галілей підсумував, дуже красиво, потужність математики, що дозволяє зрозуміти науковий світ навколо нас. Він написав: "Всесвіт не можна прочитати, поки ми не вивчили мову і не призвичаїлись до символів, якими він записаний. Він записаний на математичній мові. І букви - це трикутники, кола та інші геометричні фігури, без допомоги яких неможливо людям зрозуміти бодай єдине слово."

Але цікавляться симетрією не тільки вчені. Митці теж полюбляють бавитися із симетрією. Та вони мають дещо більш неоднозначні відносини з нею. Ось що Томас Манн говорить про симетрії в "Чарівній Горі". В нього є персонаж, який описує сніжинку. І той каже, що він "здригнувся від її бездоганної точності, що здавалася загрозливою, неначе таємниця самої сутності смерті".

Але що художники люблять робити, це створювати очікування симетрії, а потім руйнувати їх. І прекрасний приклад цьому я знайшов, насправді, коли відвідав свого колегу в Японії, професора Курокаву. І він повів мене до храмів у Нікко. І якраз після цього знімку ми піднімалися сходами. І портик, який ви бачите позаду, має вісім колон, з красивими симетричним дизайном на них. Сім з них однаковісінькі, а восьма перевернута догори дригом.

І я сказав професору Курокаві "Ого, архітектори, мабуть, кусали лікті, коли зрозуміли, що зробили помилку, і поставили це догори дригом." А він сказав: "Ні, ні, ні. Вони так зробили навмисне." І він процитував мені цю прекрасну цитату з японських "Нарисів з бездіяльності" 14-го століття. У якій, есеїст написав: "У всьому одноманітність небажана. Якщо залишати щось незакінченим, це робить його цікавим, і дає відчуття, що є можливості для зростання. Навіть при будівництві імператорського палацу, вони завжди залишають одне місце незавершеним".

Але якби мені довелося обирати одну будівлю у світі, щоб бути вигнаним на безлюдний острів, щоб прожити в ній решту мого життя, оскільки я фанат симетрії, то обрав би Альгамбру в Гренаді. Це палац, присвячений симетрії. Нещодавно я взяв свою родину - ми здійснюємо такі поїздки для математичних фанатів, які полюбляє моя родина. Це мій син Теймер. Ви можете бачити, що він дійсно задоволений математичною поїздкою до Альгамбри. Але я хотів спробувати збагатити його. Я думаю, однією з проблем шкільної математики є те, що вона не розглядає, як математика вбудована у світ, в якому ми живемо. Отже, я захотів відкрити його очі на те, якою кількістю симетрії пронизано Альгамбру.

Це можна побачити відразу, тільки-но ви увійдете, дзеркальну симетрію у воді. Але стіни - ось де відбуваються найцікавіші речі. Мавританські художники були позбавлені можливості малювати одухотворені речі. Тож вони досліджували більш геометричне мистецтво. Отож що таке симетрія? Альгамбра якимось чином задає ці всі питання. Що таке симетрія? Якщо розглянути дві із цих стін, чи мають вони однакові симетрії? Чи можемо ми сказати, що вони виявили всі симетрії в Альгамбрі?

І це саме Галуа створив мову, що надала можливість відповісти на деякі з цих запитань. Для Галуа, симетрія - на відміну від Томаса Манна, для якого вона означала щось нерухоме і смертельне - для Галуа, симетрія була найбільше пов'язана з рухом. Що ви можете зробити з симетричним об'єктом, перемістити його деяким чином, щоб він виглядав так само, як і до переміщення? Я би описав це як рухи у магічних трюках. Що ви можете зробити з чим-небудь? Заплющіть очі. Я зроблю щось, покладу його назад. Виглядає так само, як було спочатку.

Так, наприклад, стіни в Альгамбрі, я можу взяти всі ці плитки, і зафіксувати їх в жовтій точці, повернути їх на 90 градусів, покласти їх назад, і вони ідеально впишуться на ці місця. І якщо ви відкриєте очі знову, то не дізнаєтесь, що вони були переміщені. Але це рух, який справді характеризує симетрію усередині Альгамбри. Та також важливо створити мову, щоб описати це. І сила математики часто полягає в тому, щоб змінити одну річ на іншу, змінити геометрію на мову.

Так що я збираюся вас провести, можливо, підштовхнути вас трішечки математично - отож наберіться хоробрості - підштовхну вас зовсім трохи для розуміння, як ця мова працює, що дозволить нам вловити, що таке симетрія. Отже, візьмімо ці два симетричні об'єкти тут. Візьмімо перекручену шестикутну морську зірку. Що я можу зробити із зіркою, щоб вона виглядала так само? Що ж, я повернув її на одну шосту оберту, і вона виглядає так само, як до того, як я почав. Я міг би повернути її на третину оберту, або на півоберту - повертаю її на місце - або на дві третіх оберта. І п'ята симетрія, я можу повернути її на п'ять шостих оберта. І ті речі, які я можу зробити із симетричним об'єктом які роблять його схожим на себе до початку.

Тепер, для Галуа, була насправді шоста симетрія. Чи може хтось придумати, що ще я можу зробити з цим, щоб воно залишилось таким, як і до початку? Я не можу перевертати його, оскільки я дещо спотворив зірочку, чи не так? Вона не має дзеркальної симетрії. Але що я міг би зробити, це просто залишити її так, як є, підняти її, і покласти на місце. І для Галуа це була неначе нульова симетрія. Насправді винахід цього числа нуль був дуже сучасним поняттям, VII століття нашої ери, індійці. Здається, дивакуватим говорити ні про що. І це та сама ідея. Це симетричне - тож все має симетрію, якщо ви просто залишити його, як є.

Таким чином, цей об'єкт має шість симетрій. А як щодо трикутника? Ну, я можу повернути на третину оберту за годинниковою стрілкою або на третину оберту проти годинникової стрілки. Але також цей об'єкт має деякі дзеркальні симетрії. Я можу відображати його відносно прямої, що проходить через X, або відносно прямої, що проходить через Y, або відносно прямої, що проходить через Z. П'ять симетрії і також, звичайно, нульова симетрія, коли я просто візьму його і залишу, як є. Таким чином, обидва ці об'єкти мають шість симетрій. Далі, я переконаний, що математика - це не спорт для глядачів, і вам доведеться зайнятися трохи математикою для того, щоб дійсно зрозуміти її.

Таке от маленьке питання до вас. І я збираюся дати приз в кінці мого виступу людині, яка найбільш наблизиться до відповіді. Кубик Рубика. Скільки симетрій має кубик Рубика? Як багато речей можна зробити з цим об'єктом і поставити його назад так, щоб він і далі виглядав як куб? Домовилися? Отож я хочу, щоб ви подумали над цією задачєю поки ми продовжуватимемо, і підрахували, скільки там симетрій. І буде приз для людини, яка підійде найближче в кінці.

Але давайте повернемося до симетрії, які в мене є для цих двох об'єктів. Що Галуа зрозумів: справа не просто в окремо взятих симетріях, а в тому, як вони взаємодіють між собою, що справді характеризує симетричність об'єкта. Якщо я зроблю один магічного трюк, потім інший, то результатом комбінації буде третій магічний трюк. І тут ми бачимо, що Галуа починає розвивати мову, щоб побачити суть невидимих речей, типу абстрактних ідей симетрії, що лежать в основі цього фізичного об'єкта. Наприклад, що якщо я поверну зірку на одну шосту оберта, а потім на одну третю?

Тож я дам їм імена. Великими літерами, A, B, C, D, E, F, імена поворотів. B, наприклад, повертає маленьку жовту точку на точку В на зірочці. І так далі. Отож, що буде, якщо я виконаю B, який є одною шостою оберту, потім C, який є третиною оберту? Добре, зробімо це. Шоста частина оберту, потім третина, результуючий ефект - ніби я щойно повернув її на пів-оберта за один раз. Таким чином, маленька табличка тут записує, як працює алгебра цих симетрій. Після виконання одного після іншого, відповідь - це поворот D, на півоберта. Що буде, якби я це зробив в іншому порядку? Чи була б різниця? Погляньмо. Зробімо третину оберту, а потім одну шосту. Звичайно, тут не має різниці. Так само виходить півоберту.

І є деяка симетрія в тому, як симетрії взаємодіють між собою. Але це зовсім інше, ніж симетрії трикутника. Погляньмо, що станеться, якщо ми виконаємо дві симетрії з трикутником, одну за одною. Зробімо поворот на третину оберту проти годинникової стрілки, і відобразимо симетрично відносно прямої X. Що ж, сукупний ефект такий, ніби я щойно зробив відображення відносно прямої Z з початкової зірочки. Тепер, зробімо це в іншому порядку. Зробімо спершу відображення відносно прямої Х, а після того поворот на третину оберту проти годинникової стрілки. Сукупний ефект: трикутник опиняється в якомусь зовсім іншому положенні. Неначе його відображено симетрично відносно прямої Y.

Тепер грає роль, в якому порядку ви виконуєте операції. І це дає нам змогу розрізняти, чому симетрії цих об'єктів -- вони обоє мають шість симетрій. Так чому б нам не сказати, що вони мають ті ж самі симетрії? Але спосіб, яким симетрії взаємодіють, дозволяє нам - у нас тепер є мова, щоб розрізняти, чому ці симетрії фунаментально різні. І ви можете спробувати зробити це, коли підете в бар потім. Візьміть підставку для пива, і поверніть її на чверть оберту, а потім переверніть її. А потім зробіть це в іншому порядку, І картина буде дивитись в протилежному напрямку.

Тепер Галуа розробив деякі закони того, як ці таблиці, як симетрії взаємодіють. Це майже як таблички Судоку. Ви не побачите будь-якої симетрії двічі у будь-якому рядку або стовпці. І, скориставшись цими правилами, він отримав змогу сказати, що насправді є лише два об'єкти з шістьма симетріями. І вони будуть такими ж, як симетрії трикутника або симетрії шестикутної зірки. Я думаю, що це дивовижний результат. Це майже як поняття числа, розробленого для симетрії. На передніх рядах тут, я бачу одного, двох, трьох людей, що сидять у одному, двох, трьох кріслах. Люди у кріслах дуже різні, однак число, абстрактна ідея числа, одна і та ж.

І ми можемо побачити це зараз: повернемося до стін в Альгамбрі. Ось тут дві дуже різні стіни, дуже різні геометричні зображення. Але, використовуючи мову Галуа, ми розуміємо, що сутнісні абстрактні симетрії цих речей фактично ті ж самі. Наприклад, візьмімо цю красиву стіну з трикутниками з невеликими спотвореннями. Ви можете повернути їх на одну шосту оберту, якщо не враховувати кольорів. Ми не співставляємо кольори. Але фігури сходяться, якщо я поверну на одну шосту оберту навколо точки, де всі трикутники стикаються. А як щодо центру трикутника? Я можу повернути на третину оберту навколо центру трикутника, і все сходиться. І тут є цікаве місце посередині сторони, де можна обернути на 180 градусів. І всі плитки сходяться знов. Тож поверніть посередині ребра, і всі вони співпадуть.

Тепер, перейдімо до дуже по-іншому виглядаючої стіни Альгамбри. І ми знайдемо ту ж симетрію тут, і ту ж взаємодію. Отже, це була одна шоста оберту. Третина оберту, де Z-подібні шматки стикаються. І половина оберту, на півдорозі між шестикутними зірками. І хоча ці стіни виглядають зовсім по-різному, Галуа розробив мову, щоб стверджувати, що фактично суть симетрій, що лежать в їх основі, точно та сама. І це симетрія, яку ми називаємо 6-3-2.

Ось ще один приклад в Альгамбрі. Це стіна, стеля та підлога. Всі вони виглядають зовсім по-різному. Але ця мова дозволяє нам стверджувати, що вони являють собою представлення того ж самого симетричного абстрактного об'єкту, який ми називаємо 4-4-2. Нічого спільного з футболом, але через те, що є два місця, де можна обертати на чверть оберту, і одне - на півоберту.

Але потужність цієї мови ще більша, тому що Галуа може сказати, "Чи мавританські художники виявили всі можливі симетрії на стінах Альгамбри?" І виявляється, що вони майже це зробили. Ви можете довести, використовуючи мову Галуа, що насправді існують лише 17 різних симетрій, які ви можете втілити на стінах Альгамбри. І вони, якщо ви спробуєте зробити інакщою 18-ту стіну, то вона змушена буде мати ті ж симетрії, що й одна з цих 17.

Але це речі, які ми можемо бачити. А сила математичної мови Галуа, в тому, що вона також дозволяє створювати симетричні об'єкти в невидимому світі, поза двовимірним, тривимірним простором, далі у чотирьох-, чи п'яти-, чи нескінченновимірному просторі. І ось, де я працюю. Я створюю математичні об'єкти, симетричні об'єкти, використовуючи мову Галуа, в просторах дуже великої розмірності. Тому, гадаю, це чудовий приклад невидимих речей, які дозволяє створювати сила математичної мови.

Так що, як і Галуа, я не спав минулої ночі, створюючи новий математичний симетричний об'єкт для вас. І я маю його зображення тут. Ну, на жаль, це не зовсім зображення. Подайте мені сюди мою дошку. Чудово. Дякую. Ну ось. На жаль, я не можу показати вам зображення цього симетричного об'єкта. Але ось тут мова, яка описує як симетрії взаємодіють.

Цей новий симетричний об'єкт ще не має назви. Та люди люблять давати речам імена, кратерам на місяці, або новим видам тварин. Тому я збираюся дати вам шанс поставити ваше ім'я на новий симетричний об'єкт, який ще не був названий раніше. І тільки поміркуйте - види вимирають, в луни влучають метеорити і вони вибухають - але цей математичний об'єкт житиме вічно. Він зробить вас безсмертними. Для того щоб виграти цей симетричний об'єкт, що вам треба зробити, так це відповісти на запитання, яке я ставив перед вами на самому початку. Скільки симетрій має кубик Рубика?

Гаразд, я збираюся упорядкувати вас. Замість того, щоб ви всі кричали, я хочу, щоб ви порахували, скільки цифр має ваше число. Домовилися? Якщо ви отримали його в якості факторіалу, то маєте розкрити факторіал. Гаразд, тепер, якщо ви хочете грати, то встаньте, добре? Якщо ви вважаєте, що маєте оцінку кількості цифр, чудово - в нас вже є один учасник тут - якщо ви всі сидітимете, то він виграє автоматично. Гаразд. Дуже добре. Тож он там у нас чотири, п'ять, шість. Чудово. Дуже добре. Цього вистачить для початку. Гаразд.

Учасники з числом, що має не більше, ніж п'ять цифр, сідайте. Тому що ви недооцінили. П'ять чи менше цифр. Тобто, якщо ви в межах десятків тисяч, вам слід сісти. Якщо у вас 60 або більше цифр, ви повинні сісти. Ви переоцінили. 20 цифр або менше, сідайте. Скільки цифр у вашому числі? Дві? Вам слід було сісти раніше. (Сміх) Давайте розглянемо інших, які сіли на 20, підніміться знову. Гаразд? Якщо я сказав вам 20 або менше, встаньте. Тому що. Я думаю, що тут було кілька. Люди, які щойно сіли.

Гаразд, скільки цифр у вашому числі? (Сміється) 21. Що ж, чудово. Скільки цифр у вашому? 18. Отже приз переходить до цієї пані тут. 21 найближче. Воно насправді - число симетрій в кубика Рубика має 25 цифр. Так що тепер я повинен назвати цей об'єкт. Отже, як вас звати? Мені потрібне ваше прізвище. Симетричні об'єкти в цілому - Прочитайте по буквах для мене. G-H-E-Z Ні SO2 вже було використане, власне, у математичній мові. Тому не можна так назвати. Отож, Ґез, вітаю. Це ваш новий симетричний об'єкт. Тепер ви безсмертні. (Оплески)

І якщо ви хочете свій власний симетричний об'єкт, то у мене є проект, збір коштів на благодійність у Ґватемалі, в якому я не сплю всю ніч і розробляю для вас об'єкт за пожертву на цю благодійність, щоб допомогти дітям отримати освіту, в Ґватемалі. І я думаю, що заводить мене, як математика, це ті речі, які не видно, те, що ми не виявили. Це все питання, ще без відповіді, які роблять математику живим предметом. І я завжди буду повертатися до цієї цитати з японських "Нарисів з бездіяльності": "У всьому одноманітність небажана. Якщо залишати щось незакінченим, це робить його цікавим, і дає відчуття, що є можливості для зростання." Дякую. (Оплески)