Benoa Mandelbrot: Fraktali i umetnost hrapavosti

Mnogo vam hvala. Oprostite što sedim, ja sam jako star. (Smeh) Znači, tema o kojoj ću razgovarati je u izvesnom smislu dosta neobična jer je vrlo stara. Hrapavost je deo ljudskog života, i tako će biti za sva vremena. Još su drevni pisci pisali o tome. Nju je uglavnom nemoguće kontrolisati. I u izvesnom smislu, čini se da je krajnje složena, samo zbrka i nered. Postoji mnogo različitih vidova nereda. Zapravo, zahvaljujući potpuno srećnom slučaju, pre nekoliko godina sam se uključio u izučavanje ovog vida kompleksnosti. Na moje kranje čuđenje, pronašao sam tragove – veoma snažne tragove, moram reći – reda u toj hrapavosti. Stoga ću danas da vam predstavim nekoliko primera onoga što to predstavlja. Više mi se sviđa reč hrapavost od nepravilnosti, jer nepravilnost – za nekoga ko je učio latinski u dalekoj mladosti – znači nešto što je suprotno pravilnosti. Ali nije. Pravilnost je suprotnost hrapavosti jer je osnovni aspekt sveta veoma hrapav.

Dopustite mi da vam pokažem nekoliko predmeta. Neki od njih su veštački. Neki su stvarni, u izvesnom smislu. Recimo, ovaj je pravi. Ovo je karfiol. Ali zašto pokazujem karfiol, jedno jako obično i drevno povrće? Zbog toga što, koliko god da je staro i drevno, ono je veoma komplikovano i veoma jednostavno u isto vreme. Ako pokušate da mu izmerite težinu, naravno, to je jako jednostavno. A kada ga jedete, težina je bitna. No, pretpostavite da pokušate da izmerite njegovu površinu. Da, to je jako zanimljivo. Ako oštrim nožem odsečete jedan od njegovih cvetova i pogledate ga odvojeno, pomislićete na celi karfiol, samo manji. I onda nastavite da režete, dalje, dalje, dalje, dalje, dalje, dalje, dalje, dalje. I stalno dobijate male karfiole. Iskustvo čovečanstva pokazuje da oduvek postoje oblici koji poseduju ovakav poseban kvalitet, gde svaki deo izgleda kao celina, samo manja. A šta je čovečanstvo učinilo sa time? Veoma, veoma malo. (Smeh)

Ono što sam ja zapravo učinio je da sam proučavao ovaj problem i otkrio nešto sasvim iznenađujuće. Otkrio sam da je moguće izmeriti hrapavost nekim brojem, brojem, 2.3, 1.2, a ponekad i nekim većim. Jedan dan, moj prijatelj je, kako bi me zavitlavao, doneo sliku i rekao „Kolika je hrapavost ove obline?“ Odgovorio sam, „Pa, nešto manja od 1.5.“ Bila je 1.48. Znači, uopšte nije bilo potrebno mnogo vremena za to, jer sam toliko dugo posmatrao te stvari. Znači, ovi brojevi su brojevi koji označavaju hrapavost ovih površina. Želim da što pre kažem da su ove površine potpuno veštačke. Napravljene su kompjuterski. I jedini unos je broj. A taj broj je hrapavost. I tako sam na levoj strani uzeo hrapavost preuzetu iz mnogih pejzaža. Na desnoj strani, uzeo sam malo više hrapavosti. I tako oko, nakon nekog vremena, može jako dobro napraviti razliku između jednoga i drugoga.

Čovečanstvo mora da nauči o merenju hrapavosti. Ovo je hrapavo, ovo je donekle glatko, a ovo je savršeno glatko Izuzetno malo toga je izuzetno glatko. Pokušajte onda da upitate: kolika je površina karfiola? Možete meriti i meriti i meriti. Svaki put kada se približite on postane još veći, čak i do najmanjih razmaka. Kolika je dužina obale ovih jezera? Što bliže merite, biće sve duža. Koncept dužine obale, koja se čini tako prirodnom jer se u mnogim slučajevima uzima zdravo za gotovo, zapravo je potpuna obmana; ne postoji ništa takvo. Morate da pokušate na drugačiji način.

Kakva je korist znati sve ove stvari? Hm, dovoljno iznenađujuće, korisno je na mnogo načina. Za početak, veštački pejzaži koje sam na neki način izmislio, koriste se u kinematografiji sve vreme. Vidimo planine u daljini. Mogle bi biti planine, ali bi mogle biti i formule, samo sklepane. U današnje vreme je to jako jednostavno učiniti. Nekada je za to bilo potrebno mnogo vremena, ali sada je to sitnica. Pogledajte. Ovo su prava pluća. Pluća su nešto jako čudno. Ako ih uzmete, znate jako dobro da je njihova težina mala. Zapremina pluća je veoma mala. Ali kolika je površina pluća? Anatomi su se mnogo svađali oko toga. Neki kažu da pluća normalnog muškarca imaju površinu unutrašnjosti košarkaškog igrališta. A oni drugi kažu – ne, pet košarkaških igrališta. Ogromna razlika u mišljenju. Zbog čega? Zato što je, zapravo, površina pluća nešto što je jako loše definisano. Bronhije se razgranavaju, razgranavaju, razgranavaju. I onda prestanu da se granaju, ne zbog bilo kog posebnog principa, već zbog fizičkih okolnosti, sluzi koja se nalazi u plućima. Znači, ono što se dešava jeste da na taj način imate mnogo veća pluća, ali ako se razgranavaju i razgranavaju, sve do rastojanja koja su gotovo jednaka kod kita, čoveka ili malog glodara.

Ali, kakva je korist od toga? Pa, dovoljno iznenađujuće, dovoljno začuđujuće, je da su anatomi imali jako bledu ideju o strukturi pluća sve donedavno. A ja mislim da je moja matematika, sasvim začuđujuće, bila od velike pomoći hirurzima koji izučavaju bolesti pluća kao i bolesti bubrega, sve te sisteme koji se razgranjavaju, za koje nije postojala nikakva geometrija. I tako sam se našao kako, drugim rečima, konstruišem geometriju, geometriju stvari koje nemaju geometriju. A iznenađujući aspekt toga je da su veoma često pravila ove geometrije izuzetno kratka. Imate formule toliko dugačke. I onda ih izvršite nekoliko puta. Ponekad to ponovite više puta. Isto ponavljanje. I na kraju dobijete nešto poput toga.

Ovaj oblak je potpuno, stoprocentno veštački. Pa dobro, 99.9. A jedini deo koji je prirodan je broj, hrapavost oblaka, koji je preuzet iz prirode. Iza nečega tako komplikovanog poput oblaka, tako nestalnog, tako promenljivog, bi trebalo postojati jednostavno pravilo. Ali to jednostavno pravilo nije objašnjenje za oblake. Posmatrač oblaka mora to uzeti u obzir. Nisam siguran koliko su unapređene ove slike, jer su stare. Mnogo sam se bavio njima, . ali onda sam preusmerio pažnju ne druge fenomene.

Ovde imamo još jednu stvar koja je dosta zanimljiva. Jedan od dramatičnih događaja u istoriji matematike, a koji veliki broj ljudi uopšte ne ceni, desio se pre nekih 130, 145 godina. Matematičari su počeli da stvaraju oblike koji nisu postojali. Matematičari su počeli sa hvalospevima samim sebi do te mere gde je potpuno neverovatno da čovek može izumeti stvari koje sama priroda nije poznavala. A posebno da može izumeti stvari poput krive koja ispunjava ravan Kriva je kriva, ravan je ravan, i jedno sa drugim se ne meša. Ali, ipak se mešaju. Čovek po imenu Peano je definisao takve krive, koje su postale predmet neverovatnog interesovanja. To je bilo jako bitno, ali uglavnom zanimljivo zbog izvesnog prekida, razdvajanja između matematike koja proizilazi iz realnosti, s jedne strane i nove matematike koja dolazi iz čistog uma čoveka. Bilo mi je jako žao što sam morao ukazati da je čisti um čoveka zapravo konačno video ono što se moglo videti već dugo vremena. I tako sam ovde uveo nešto novo, niz reka krive koja ispunjava ravan. Ali, to je priča sama za sebe. Dakle, između 1875. i 1925., u to neverovatno doba matematika se pripremala da se odvoji od sveta. A predmete koji su korišćeni kao primeri, u vreme kada sam ja bio dete i student, primeri prekida između matematike i vidljive realnosti – te predmete sam potpuno preokrenuo. Koristio sam ih kako bih opisao neke od aspekata složenosti prirode.

Čovek po imenu Hausdorf je 1919. godine uveo broj koji je bio samo matematička šala. A ja sam otkrio da je taj broj dobra mera hrapavosti. Kada sam ga prvi put saopštio mojim prijateljima matematičarima rekli su, "Ne budi lud. To je tek nešto (blesavo)". No, zapravo, uopšte nije bilo blesavo. Čuveni slikar Hokusai je to jako dobro znao. Ovo su alge. On nije bio upoznat sa matematikom; u to vreme još nije postojala. A on je bio Japanac bez ikakvog kontakta sa zapadnim svetom. No, njegove su slike odavno imale odliku fraktala. Mogao bih nadugo govoriti o ovome. Ajfelov toranj ima fraktalni aspekt. A pročitao sam i knjigu koju je g-din Ajfel napisao o svom tornju. I, zaista, bilo je zapanjujuće koliko mnogo je on razumeo.

To je zbrka, zbrka, zbrka, Braunovo kretanje. Jednog dana, na pola svoja karijere, toliko toga me je usporavalo u mom poslu, i odlučio sam da se podvrgnem testu. Da li bih mogao gledati u nešto što svi posmatraju već jako dugo vremena i pronaći nešto dramatično novo? I tako sam gledao u ove stvari koje se nazivaju Braunovim kretanjem – i tako u krug. Neko vreme sam se igrao sa tim i vratio je na početak. Govorio sam svome asistentu „Ništa ne vidim. Možeš li ti to naslikati?“ I on je naslikao, što znači da je sve stavio unutra. Rekao je: „Hm, ovo je izašlo....“ A ja sam rekao „Stani! Stani! Stani! Vidim ga, to je ostrvo." Zapanjujuće. Znači, Braunovo kretanje, koja ima hrapavost broja dva, se okreće. Izmerio sam ga, 1.33. Opet, i opet, i opet. Duga merenja, velika Braunova kretanja, 1.33. Matematički problem: kako ga dokazati? Mojim prijateljima je trebalo 20 godina. Trojica njih su imali nepotpune dokaze. Oni su se sastali i tek zajedno su imali dokaz. Tako su dobili veliku medalju u matematici, jednu od tri priznanja koja pojedinci primaju za dokazivanje stvari koje sam video ali nisam bio u stanju da dokažem.

I sada me svi pre ili kasnije pitaju „Kako je to sve počelo? Šta te je navelo na taj čudni posao?“ Šta me je navelo da istovremeno budem mehanički inženjer, geograf i matematičar, i tako dalje, fizičar? Hm, zapravo sam počeo izučavati cene na berzi. I tako sam imao ovu teoriju, i pisao sam knjige o tome. Rast finansijskih cena. Na levoj strani vidite podatke prikupljane tokom dugo vremena. Na desnoj, na vrhu, vidite teoriju koja je veoma, veoma u modi. Bilo je jako jednostavno i jako brzo možete napisati mnogo knjiga o tome. (Smeh) Postoji na hiljade knjiga o tome. Sada uporedite to sa stvarnim uvećanjem cena i gde su prava uvećanja cena? Ove druge linije uključuju neka realna uvećanja cena, i neka lažna, koja sam ja uneo. Znači, ideja je bila da je moguće – kako biste to rekli? – napraviti model varijacije cena. I to je išlo jako dobro pre 50 godina. Pedeset godina ljudi su me na neki način omalovažavali jer su oni to mogli uraditi na mnogo, mnogo jednostavniji način. Ali da vam kažem, ovoga puta, ljudi su me slušali. (Smeh) Ove dve krive su prosečne vrednosti. S&P (agencija za kreditne rejtinge), plave boje. A crvena je S&P, iz koje je pet najvećih diskontinuiteta izdvojeno. No, diskontinuiteti su smetnja. U mnogim studijama cena, oni se ostavljaju po strani. "Pa, više sile. I imate malo besmislenost koje je ostalo. Više sile." Na ovoj slici pet takvih sila su podjednako važne kao i sve ostalo. Drugim rečima, nije viša sila to što bismo trebali staviti po strani. To je suština, problem. Ako ovladate njima, ovladali ste cenom. Ako ne ovladate njima, možete ovladati nad ovo malo šuma koliko god želite, no to nije važno. Evo, ovde su krive koje to pokazuju.

Sada ću preći na poslednju stvar, a to je niz od kog je sačinjeno moje ime. Na neki način, to je priča mog života. Svoje doba adolescencije sam proveo tokom nemačke okupacije Francuske. I s obzirom da sam mislio kako bih mogao nestati kroz dan ili nedelju, imao sam velike snove. I nakon rata sam ponovo video svog strica. Moj stric je bio jako istaknut matematičar i rekao mi je „Pazi, ima jedan problem koji nisam mogao rešiti pre 25 godina, i koji niko ne može da reši. To je konstrukcija čoveka po imenu (Gaston) Julia i (Pierre) Fatou. Ako bi uspeo da nađeš nešto novo, bilo šta, napravićeš karijeru“. Veoma jednostavno. I tako sam počeo tražiti, i kao i hiljade onih koji su pokušali pre mene, nisam ništa našao.

A onda se pojavio kompjuter. I ja sam odlučio da primenim kompjuter, ne na nove matematičke probleme – poput ovog mrdanja ovde, to je novi problem – već na stare probleme. I krenuo sam od onoga što se zove realni brojevi, koji predstavljaju tačke na liniji, ka imaginarnim, složenim brojevima, koji su tačke na ravni, i to je ono što treba da se tu uradi. I dobio sam ovaj oblik. Ovaj oblik je neverovatno komplikovan. Ovde je skrivena jednačina, z ide u z na kvadrat, plus c. Jako je jednostavno, jako suvo. I tako nezanimljivo. Okrenite ovaj kotur jednom, drugi put, još jednom, i izaći će čudo. Mislim, ovo će izaći. Ne želim da objašnjavam ove stvari. Pojavljuje se ovo. I ovo. Oblici koji su tako komplikovani, takvog sklada i lepote. Ovo izlazi ponovo, iznova i iznova. I to je bilo jedno od mojih glavnih otkrića da su ova ostrva ista kao i cela velika stvar, manje ili više. A onda imate ove neobične barokne dekoracije posvuda. I sve to iz ove male formule, koja se sastoji od koliko god, nekih pet simbola. A potom ova. Boja je dodana iz dva razloga. Najpre zbog toga što su ovi oblici previše komplikovani da bi iko mogao videti bilo kakav smisao u brojevima. A ako ih unosite u grafikon, morate odabrati neki sistem. A moj princip je oduvek bio da predstavim oblike različitim bojama, zato što neke boje naglašavaju ovo, a neke druge ovo ili ono. Tako je komplikovano.

(Smeh)

1990. godine sam bio u Kembridžu, u Ujedinjenom Kraljevstvu kako bih primio nagradu univerziteta. I tri dana nakon toga, jedan pilot je leteo iznad pejzaža i otkrio ovo. Odakle se ovo pojavilo? Očigledno, od vanzemaljaca. (Smeh) Tako su novine u Kembridžu objavile članak o „otkriću“ i sledeći dan primile 5.000 pisama od čitalaca koji su rekli „Ali to je naprosto veoma veliki Mandelbrotov set“.

Dopustite mi da završim. Ovaj oblik ovde je nastao kao vežba u čistoj matematici. Beskrajna čuda izviru iz jednostavnih pravila, koja se beskrajno ponavljaju.

Hvala vam mnogo.

Aplauz.