Рон Эглэш об африканских фракталах

Мой рассказ начинается в 1877 году в Германии с математика по имени Георг Кантор. Однажды Кантор решил начертить линию, а затем стереть среднюю треть этой линии, а полученные в результате этого две линии подвергнуть такому же рекурсивному процессу. Так что, он начал делать это с одной линией, затем с двумя, с четырьмя, шестнадцатью и так далее. И если бы он проделал это бесконечное число раз, что возможно в математике, у него бы получилось бесконечное число линий, каждая из которых содержала бы в себе бесконечное число точек. Тогда он понял, что получил множество с числом элементов, большим бесконечности. И это просто взорвало его разум. Буквально. Он даже отправился в санаторий. (Смеются) И из санатория он вернулся убеждённым, что был послан на Землю для открытия теории трансфинитных множеств, потому что величайшим множеством бесконечности был бы тогда Сам Бог. Он был очень религиозным человеком. Он был математиком, выполнявшим миссию.

Подобное проделывали и другие математики. Шведский математик фон Кох решил, что вместо вычитания линий, он будет добавлять их. И так он получил эту красивую кривую. И нет никакой особой причины, почему мы должны начинать только с этой начальной формы; мы можем использовать любую начальную форму на свой вкус. Я перестраиваю это вот так закреплю это где-нибудь – например, вот здесь, ОК - и теперь после повторения, тот вид начальной формы разворачивается в совсем по-другому выглядящую структуру. То есть здесь мы видим свойство самоподобия: это когда часть выглядит как всё целое. Это тот же шаблон во множестве разных масштабов.

Тогда математикам это показалось очень странным, ведь с уменьшением линейки, вы измеряете всё большую и большую длину. И если бы они делали такие повторения бесконечное число раз, так бы и линейка уменьшалась до бесконечности, а длина возрастала до бесконечности. В этом не было видно никакого смысла, поэтому они забросили эти кривые подальше в конец книг по математике. Они сказали, что эти кривые патологические, и мы не собираемся их обсуждать. (Смеются) И так продолжалось ещё сотню лет.

Пока в 1977 году французский математик Бенуа Мандельброт не догадался, что если при работе с компьютерной графикой использовать формы, названные им фракталами, можно получить формы из природы. Так можно получить человеческие лёгкие, акации, папоротники, все эти красивые природные формы. Если вы возьмёте свой большой и указательный пальцы, и посмотрите в месте их сопряжения - давайте, проделайте это сейчас - - расслабьте свою руку, вы увидите изгиб, а затем складку внутри изгиба, потом изгиб внутри складки. Так ведь? Ваше тело покрыто фракталами. И об этом математики говорили как о патологически бесполезных формах? Да они выдыхали эти слова через фрактальные лёгкие. В этом есть большая ирония. Сейчас я покажу вам небольшую естественную рекурсию. Снова, мы только возьмём эти линии и рекурсивно заменим их целой формой. Так получим второе повторение, третье, четвёртое и так далее.

В природе мы видим ту же самоподобную структуру. Природа использует самоорганизующиеся системы. В 80-х годах прошлого века я впервые заметил, что если взглянуть на фотографию с воздуха на африканскую деревню, то можно увидеть фракталы. И я подумал: "Это же изумительно! Интересно, почему так?" И конечно, мне пришлось отправиться в Африку, чтобы расспросить местный народ об этом Так я получил стипендию Фулбрайта просто чтобы путешествовать весь год по Африке, спрашивая людей, зачем они строят фракталы, и это крутая работа, если конечно вы сможете её получить. (Смеются)

В конце концов я добрался до того города, и сделал маленькую фрактальную модель для него, чтобы увидеть, как он будет располагаться и разворачиваться - но когда я добрался туда, то попал во дворец вождя, а мой французский не был очень хорош; я сказал что-то вроде: "Я математик, и мне бы хотелось встать на вашу крышу". Но он оказался классным парнем, и отвёл меня туда, и когда мы говорили о фракталах, он сказал: "О да, да! Мы знали о треугольнике внутри треугольника, мы знаем всё об этом". Оказалось, что королевская эмблема содержит треугольник внутри треугольника внутри треугольника, и что проход через дворец на самом деле спиральный. И пока ты идёшь по проходу, становишься все более вежливым и сговорчивым. Так они отображают социальное деление в геометрическом соотношении; это сознательный узор. Это не бессознательный, как фрактально строятся термитники.

Это деревня в южной Замбии. Деревня Ба-лла имеет 400 метров в диаметре. Это такое большое кольцо. Кольцо, представляющее границы семьи становится шире и шире, когда вы идёте по направлению к краю, и там вы находите кольцо вождя, которое тоже направлено к краю, а там - семья вождя в этом кольце. Вот небольшая фрактальная модель этого. Вот дом со священным алтарём, а здесь дом домов, семейная граница, с людьми, находящимися там, где должен быть священный алтарь, и вот уже вся деревня как целое - кольцо кольца колец с расширенным семейством вождя здесь, с близким семейством вождя здесь, и здесь есть маленькая деревня, только как эта большая. Теперь вы можете удивиться, как люди могут уместиться в маленькой деревне, подобной большой? Это потому что они люди-духи. Это предки. И конечно же люди-духи имеют маленькую миниатюрную деревню внутри своей деревни, правильно? Так, как и сказал Георг Кантор: рекурсия продолжается вечно.

Это горы Мандара, рядом с нигерийской границей Камеруна, Мокулек. Я видел эту диаграмму, нарисованную французским архитектором, и я подумал: "Ого! Какой прекрасный фрактал!" И я попытался исходя из начальной формы, через повторение развернуть её вот в такое. И в конце получил такую структуру. Посмотрим, вот первое повторение, второе, третье, четвёртое. Теперь, после того, как я сделал симуляцию, я понял, что вся деревня состоит из спиралей, вот как здесь, и здесь эта повторяющаяся линия - самоповторяющаяся линия, которая развёртывается во фрактал. И я заметил, что линия идёт вокруг единственного квадратного здания в деревне.. Так что, когда я пришёл в деревню, я спросил: "Вы можете привести меня к квадратному зданию? Я думаю, там что-то происходит". И они ответили: "Ну, мы можем привести тебя туда, но ты не сможешь войти внутрь, потому что там священный алтарь, где мы ежедневно совершаем жертвоприношения для поддержания ежегодных циклов плодородия полей". И я начал понимать, что эти циклы плодородия были такими же, как рекурсивные циклы в геометрическом алгоритме, их выстраивающем. И рекурсия в некоторых таких деревнях продолжается так до очень маленьких размеров.

Вот деревня Нанкани в Мали. И вы видите, входя в семейные границы - вы заходите внутрь, и здесь тоже горшки в очаге расставлены рекурсивно. Эти калебасы, которые нам показывает Исса, они расставлены рекурсивно. Здесь самый маленький калебас хранит душу женщины. И когда она умирает, у них есть церемония, когда они разбивают эту стопку под названием заланга, и тогда её душа отправляется в вечность. Ещё раз, бесконечность - это важно.

Теперь вы можете задать себе три вопроса. Являются ли такие масштабные шаблоны просто универсальными для всей туземной архитектуры? И вот в чём на самом деле состоит моя оригинальная гипотеза. Когда я впервые увидел эти африканские фракталы, то подумал: "Ух ты, таким образом, каждый коренной народ, не имеющий государственного общества, такого рода иерархии, должен иметь восходящего типа архитектуру". Но выяснилось, что это не так.

Я начал собирать аэрофотографии архитектуры коренной Америки и Южнотихоокеанского региона, но только в Африке были фракталы. И если вы задумаетесь над этим, все эти различные общества использовали различный геометрический дизайн. Так, коренные американцы использовали комбинацию круговой симметрии и четырёхкратной симметрии. Это можно видеть на горшках и корзинах. Это аэрофотография одних из руин Анасази; они круговые при самом большом масштабе, но прямоугольные при малом масштабе, вы видите? Это не один и тот же узор в двух разных масштабах.

Во-вторых, вы можете спросить, "Хорошо, д-р Эглэш, а вы не игнорируете многообразия африканских культур?" И трижды скажу, мой ответ - нет. Для начала, я согласен с чудесной книгой Мудимбе "Изобретение Африки", о том, что Африка - это искусственное изобретение раннего колониализма, а затем и оппозиционных движений. Нет, потому что совместно используемая методика дизайна не обязательно говорит о единстве культуры - и это определённо не заключено в ДНК. И наконец, фракталы самоподобны - так что они подобны себе самим, но не обязательно подобны друг другу - вы можете увидеть совершенно различные виды фракталов. Это общая технология в Африке.

Ну и наконец, не является ли это просто интуицией? Это не совсем математическое знание. Африканцы же не могли на самом деле использовать знания фрактальной геометрии, ведь так? Она не была открыта до 70-х годов ХХ века. Да, действительно я пришёл к тому, что некоторые африканские фракталы основаны на чистой интуиции. Точно также, прохаживаясь по улицам Дакара я бы спрашивал людей: "В чём алгоритм? По каким правилам это делалось?" и они бы сказали: "Ну, мы просто сделали так, потому что это смотрелось мило, дурачок". (Смеётся) Но иногда это не так. В некоторых случаях, на самом деле могут быть алгоритмы, и очень сложные алгоритмы. Так в скульптуре Мангету вы можете видеть рекурсивную геометрию. В эфиопских крестах вы можете видеть эту чудесную разворачивающуюся форму.

В Анголе народ Чокве рисует линии на песке, и это то, что немецкий математик Эйлер назвал "граф"; сейчас это называется Эйлеров путь, когда при начертании вам нельзя отрывать своё перо от поверхности и вы никогда не можете провести по одной и той же линии дважды. Но они это делали рекурсивно, и они это делали по системе возрастной градации, так что сначала маленькие дети изучали это, потом старшие дети - это, и затем при следующей возрастной инициации вы изучали вот это. И с каждым повторением данного алгоритма, вы изучали повторение мифа. Вы изучали новый уровень знания.

И наконец, по всей Африке вы найдёте такую настольную игру. В Гане она называлась Овари, когда я ей учился; она называлась Манкала здесь, на восточном побережье, Бао - в Кении, и Сого где-то ещё. Итак, вы видите самоорганизующиеся шаблоны, которые самопроизвольно возникают в этой игре. И народ в Гане знал об этих самоорганизующихся шаблонах, и могли использовать их стратегически. Это осознанное знание.

Вот это чудесный фрактал. Куда бы вы не пошли в Сахеле, вы увидите такое заграждение от ветра. Такие заграждения по всему миру картезианские, строго линейные. Но здесь в Африке мы видим нелинейные масштабирующиеся ограды. Я отыскал одного из ребят, кто сооружал такое, этот парень из Мали недалеко от Бамако, и я спросил его: "Как ты делаешь такие фрактальные изгороди? Потому что никто больше так не делает". И его ответ был очень интересным. Он сказал: "Ну, если бы я жил в джунглях, я бы использовал только длинные ряды соломы, потому что это очень быстро и очень дёшево. Это не требует много времени и много соломы". Он сказал: "Но ветер и пыль свободно пройдёт через него. А вот такое заграждение стягивает ряды доверху, так что это реально сдерживает ветер и пыль. Но конечно это занимает много времени, много соломы, чтобы сделать на самом деле плотную ограду". "Теперь" - говорит он, - "мы знаем из опыта, что чем дальше от земли ты поднимаешься, тем сильнее дует ветер". Правильно? Это прямо как анализ стоимости и эффективности. И я замерил длину соломы, построил логарифмический график в двойном масштабе, получил масштабную экспоненту, и она почти полностью совпадала с масштабной экспонентой для соотношения между скоростью ветра и высотой в учебнике для ветряных инженеров. Так что эти ребята правы в своём практическом использовании технологии масштабирования.

Самый комплексный пример алгоритмического подхода к фракталам, из тех что я нашёл, был на самом деле не в геометрии, а в символическом коде, и это было гадание на песке в Бамане. И такая система гадания обнаруживается по всей Африке. Вы можете встретить её и на Восточном Берегу, и на Западном, и часто символы очень хорошо сохранены, так что каждый из этих символов имеет четыре бита - это четырёхбитное бинарное слово - вы рисуете эти линии на песке наугад, а затем считаете их, и если это нечётное число, вы записываете один штрих, а если это чётное число, то записываете два штриха. Они делали это очень быстро, и я не мог понять, откуда же они всё получали - ведь они рисовали наугад только четыре раза - я не мог понять, откуда они берут другие 12 символов. А они не говорили мне как. Они говорили: "Нет, нет, я не могу тебе говорить об этом". И я сказал: "Ну хорошо, я заплачу тебе, ты мог бы быть моим учителем, и я бы приходя каждый день платил тебе". Но они отвечали: "Это не имеет денежной ценности. Это религиозная ценность".

И наконец, в отчаянии, я сказал: "Хорошо, дайте мне объяснить идеи Георга Кантора в 1877 году". И я начал объяснять, зачем я был там в Африке, и они очень взволновались, когда увидели множество Кантора. И один из них сказал: "Подойди. Я думаю, что могу помочь тебе". И так он провёл меня через ритуал инициации жреца Баманы. Ну конечно, меня интересовала только математика, так что он всё время продолжал трясти своей головой: "Ты знаешь, я учился этому иначе". Но мне пришлось спать, зарывая орех колы рядом с моей кроватью в песок, и дать семь монет семи прокажённым, и так далее. И наконец, он открыл правду значения. Оказывается, это псевдослучайный числовой генератор с использованием детерминированного хаоса. Когда у вас есть четырёхбитный символ, вы составляете его с другим по сторонам. Так чётное плюс нечётное даёт нечётное. Нечётное плюс чётное даёт нечётное. Чётное плюс чётное даёт чётное. Нечётное плюс нечётное даёт чётное. Это сложение по модулю 2, прямо как проверка четности бита в вашем компьютере. Затем вы берёте этот символ, и вводите его снова, так что получается самосоздающееся разнообразие символов. Они на самом деле используют некий детерминированный хаос для этого. Теперь, так как это двоичный код, мы действительно можете применить это в технике - какой же фантастический инструмент для обучения должен быть в африканских технических школах!

И самое интересное, что я нашёл - это часть истории. В 12 веке Уго Санталия привёз нечто от исламских мистиков в Испанию. И там оно вошло в алхимическое сообщество как геомантия: гадание по земле. Эта карта геомантии нарисована для короля Ричарда Второго в 1390 году. Немецкий математик Лейбниц говорил о геомантии в своей диссертации под названием "Де Комбинаториа". И он сказал: "Хорошо, вместо использования одного и двух штрихов, давайте использовать единицу и ноль, и мы сможем считать лишь этими двумя". Ведь так? Единицы и нули, двоичный код. Джордж Буль взял двоичный код Лейбница и создал Булеву алгебру, а Джон фон Нейманн взял Булеву алгебру и создал цифровой компьютер. Так что все эти КПК и ноутбуки - да каждая цифровая микросхема в мире - родом из Африки. Знаю, Брайан Ино говорит, что в Африке нет компьютеров; но я не думаю, что Брайан Ино силён в африканской истории. (Апплодисменты)

Так, давайте в заключение я скажу несколько слов о применении всего этого. Вы можете зайти на наш веб-сайт, Все доступные приложения бесплатны, и просто запускаются в браузере. Кто угодно в мире может использовать их. Расширяющееся Участие Национального Научного Фонда по Компьютерным программам недавно наградила нас грантом для создания программируемой версии таких инструментов дизайна, так что надеемся, что через три года каждый сможет зайти в интернет и сотворить свои собственные симуляции со своими собственными фракталами. В США мы сфокусировались на афро-американских студентах, также как и на коренных индейцах и латиноамериканцах. Мы открыли статистически значимые улучшения у детей при использовании этой программы в математических классах по сравнению с контрольной группой, такую программу не имевшей. Так что, это действительно очень успешное обучение детей, у них есть будущее в математике, а не только в пении и танцах. Мы начали пробную программу в Гане, получив небольшой начальный грант, просто посмотреть, как народ будет проявлять желание работать с нами над этим; и мы были очень взволнованы будущими возможностями для этого.

Мы также работали в дизайне. Я ещё не упомянул её имя, моя коллега Керри в Кении высказала одну чудесную идею использования фрактальной структуры для почтовых адресов в деревнях, построенных по фрактальной структуре, потому что, если вы попробуете применить решётчатую почтовую систему на фрактальной деревне, то она не подойдёт. Бернард Тщуми из Колумбийского Университета применял такой дизайн для музея африканского искусства. Дэвид Хьюз из Государственного Университета Огайо написал учебник по архитектуре центральной Африки, где он задействовал некоторые из тех фрактальных строений.

И наконец, я просто хотел бы отметить саму идею самоорганизации, как мы слышали ранее, это есть в самом мозгу. Это есть и в поисковом движке Гугл. На самом деле, причина, по которой Гугл имела такой успех заключается в том, что они были первыми, кто использовал преимущества свойств самоорганизации в интернете. Это применимо и в экологической устойчивости. Это применимо ко власти, связанной с развитием предпринимательства, этической власти демократии. Но это обнаруживается и в чём-то плохом. Самоорганизация - причина столько скорого распространения ВИЧ. И если вы думаете, что капитализм, который является самоорганизующимся, не несёт разрушительные последствия, то вы ещё не достаточно открыли свои глаза. Так что стоит подумать, как было ранее сказано, о традиционных африканских методах использования самоорганизации. Это здравые алгоритмы. Это способы создания самоорганизации – создания предпринимательства - которые благородны и основаны на равноправии. Так что если мы хотим найти лучший способ делать подобную работу, нам не нужно искать дальше Африки, чтобы найти эти здравые алгоритмы самоорганизации. Спасибо.