Маркус дю Сатой: Симметрия, загадка окружающего мира.

30 Мая 1832 года в 13-м округе Парижа раздался выстрел. (Выстрел) Крестьянин, который шел на рынок тем утром побежал в ту сторону, откуда послышался выстрел и обнаружил молодого человека, корчившегося на земле, в агонии от дуэльной раны. Молодого человека звали Эварист Галуа. Он был известным в то время в Париже революционером Галуа был доставлен в местную больницу, где он умер на следующий день на руках у своего брата. И последние слова, которые он сказал своему брату были: "Не плачь по мне Альфред. Мне нужно собрать всё мужество, чтобы умереть в 20 лет."

На самом деле, революционная деятельность, это не то, чем в первую очередь прославился Галуа. За несколько лет до этого, еще будучи в школе, он решил одну из крупных математических задач того времени. И он написал в Парижскую академию, пытаясь объяснить свою теорию. Но академики не cмогли понять ничего из того, что он написал. (Смех) Tак он писал большинство своих трудов по математике.

В ночь перед поединком, он понял, что, возможно, это его последний шанс чтобы попытаться объяснить всю важность своего открытия. Он не спал всю ночь, судорожно писал, пытаясь объяснить свои идеи. А когда наступил рассвет, и он пошел навстречу своей судьбе, он оставил на столе стопку бумаг для будущего поколения. Может быть, именно тот факт, что он не спал всю ночь, занимаясь математикой, и послужил причиной почему он так плохо стрелял в то утро и был убит.

В тех документах содержался новый язык, язык позволяющий постичь одно из самых фундаментальных понятий науки, а именно - симметрию. В наше время, симметрия - почти язык природы. Она помогает нам понять многие аспекты науки. Например, молекулярную структуру. Благодаря математике симметрии мы можем определить какие кристаллы возможны.

В микробиологии, например, симметричные объекты нежелательны. Потому что, как правило, они довольно скверные. Так например, в данный момент, вирус свиного гриппа является симметричным объектом. И он использует симметрию как возможность так быстро распространяться. Но, cимметрия очень важна, если говорить о биологии в более широком смысле слова, так как cимметрия передаёт генетическую информацию.

Я взял две фотографии и сделал их симметричными. И, если я спрошу вас какие из них вы находите более привлекательными, вам, скорее всего, больше понравятся две нижние. Потому, что симметрию трудно создать. И если вы сможете добиться симметрии в своей внешности, то будете посылать сигнал, о том, что у вас хорошие гены, и хорошее воспитание, и, следовательно, вы составите хорошую пару. Таким образом, симметрия - это язык, который способствует передаче генетической информации.

Также симметрия может помочь объяснить, что происходит в Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе. Или то, что не происходит в Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе. Для того, чтобы делать прогнозы об элементарных частицах, которые можно там увидеть, они кажутся гранями некой странной геометрической фигуры в многомерном пространстве.

На мой взгляд Галилео очень удачно обобщил силу математики – oнa помогает понять окружаюший нас научный мир . Он писал: "Вселенная не может быть прочитанa пока мы не выучим язык и не познакомимся с символами, с помощью которых она создана. Вселенная написана на языке математики. Где буквы - это треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых невозможно понять ни одного слова".

Но не только ученые интересуются симметрией. Художники тоже любят экспериментировать с симметрией. Их отношение к симметрии более неоднозначное. Вот как Томас Манн говорит о симметрии в "Волшебной горе". У него есть персонаж, который описывает снежинку. И он говорит, что "вздрогнул от её безупречности, которая пробирает до смерти, до мозга костей".

Художникам нравится создавать впечатление симметрии, а затем его разрушать. И прекрасный пример этому я нашел, когда встретился со своим коллегой из Японии, профессором Курокавой. И он повел меня в храм в Никко. Сразу же после этого снимка мы подялисъ вверх по лестнице. Ворота, которые видны позади нас украшены восемью колоннами, с красивым симметричным дизайном. Семь из них идентичны, a восьмая пepeвернута вверх ногами.

И тогда я сказал профессору Курокаве: "Ого, архитекторы, должно быть, кусали себе локти когда поняли, что они совершили ошибку, и установили колонну вверх ногами". На что он ответил: "Нет, нет. Так задумано". И привел в пример прекрасную цитату из японского произведения 14-го века "Заметки в праздности". Автор, которого пишет: "Во всём однородность нежелательна". Оставляя что-то незаконченным, мы делает это более интересным, и создаётся ощущение, что еще есть возможность для роста". Даже при строительстве императорского дворца, обязательно что-то остается незаконченным.

Если бы мне пришлось выбрать только одно здания в мире, в котором пришлось бы провести остаток своей жизни на необитаемом острове, то, будучи помешанным на симметрии, я бы, скорее всего, выбрал замок Альгамбры в Гранаде. Это дворец, воспевающий симметрию. Недавно я свозил туда свою семью, мы любим ездить в такого рода поездки для "заучек" на математические темы. Это мой сын Тамер. На фотографии видно, что ему действительно нравится наша математическая поездка в замок Альгамбры. Но я хотел, чтобы он еще и вынес что-нибудь полезное из этого. По-моему, что одна из проблем, школьной математики состоит в том, что дисциплина преподносится без упоминания на то, что в мире, где мы живем, математика окружает нас повсюду. Я хотел обратить его внимание на то, что симметрия переполняет здание Альгамбры.

Это видно сразу. Как только вы заходите, вы видите симметричное отражение в воде. Но все самое интересное - на стенах. Мавританскиe художники были лишены возможности изображать одушевленные предметы. Поэтому они использовали геометрию в своем искусствe . И так, что же такое симметрия? Альгамбра задаёт все эти вопросы. Что такое симметрия? Если [есть] двe стены, значит ли это что у них одинаковые симметрии? Можно ли сказать, что раскрыты все виды симметрии в Альгамбре?

Именно Галуа создал язык, позволяющий ответить на некоторые из этих вопросов. Для Галуа, симметрия, в отличие от Томаса Манна, который понимает симметрию как нечто неподвижное и мeртвое, - для Галуа, симметрия это прежде всего движениe. Что можно сделать с симметричным объектом, каким образом можно его повернуть, чтобы он выглядeл так же, как до того, как его повернули? Мне нравится называть это волшебным вращением. Что можно сделать с предметом? Вы закрываете глаза. Я выполняю какое-то действие и возвращаю предмет на место. Все выглядит также как и прежде.

Так, например, стены Альгамбры, я могу взять все эти плитки, и зафиксировать в желтой точке, повeрнуть их на 90 градусов, опустить и они точно встают на место. Когда вы откроете глаза, вы даже не поймете, что они повернулись. Движение - вот, что действительно характеризует симметрию внутри Альгамбры. И это также наводит на мысль о создании языка, для описания симметрии. Cила математики зачастую состоит в том, чтобы трансформировать одно в другое, перевести геометрию в язык.

Я буду вашим гидом и помощником, но, возможно, придется поднапрячься и вспомнить математику - так что приготовьтесь - придется постараться, чтобы узнать, как работает язык, позволяющий понять сущностъ симметрии. Итак, давайте рассмотрим эти два симметричных объекта. Давайте возьмем шестилучевую морскую звезду, концы у которой загнуты. Что можно сделать с этой морской звездой, чтобы она выглядела так же и прежде? Я повернул её на шестую часть оборота, и звезда выглядит как и раньше. Можно повернуть её на треть оборота, на пол-оборота, положить её обратно на место, или повернуть на две трети оборота. Пятая симметрия - повернуть её на пять шестых оборота. Вот что можно сделать, с симметричным объектом, и при этом он будет выглядеть как и прежде.

Но, Галуа, выделяет еще и шестую симметрию. Кто-нибудь может подсказать, что еще можно сделать со звездой, чтобы она выглядела так же как и вначале? Перевернуть её нельзя, потому имеются изгибы. Наша звезда не имеет зеркальной симметрии. Но что можно сделать, это оставить её там где она есть, поднять и снова положить на место. Галуа назвал это нулевой симметрией. Открытие понятия "нуля" произошло в седьмом веке нашей эры в Индии и было довольно передовой концепцией. Кажется абсурдным говорить ни о чем. Эти представления схожи. Cимметричный - Любой предмет обладает симметрией, если его просто оставить на месте.

Таким образом, у данного предмета есть шесть симметрий. А как насчет треугольникa? Можно повернуть на треть оборота по часовой стрелке или на треть оборота против часовой стрелки. Но теперь ещё есть зеркальная симметрия. Треугольник можно отразить относительно линии проходящей через X, линии, проходящей через Y, или линии, проходящей через Z. Это пять симметрий и, конечно, нулевая симметрия, если его просто поднять, а затем вернуть на место. Так оба предмета имеют шесть симметрий. я не сторонник, той идеи, что за математикой можно наблюдать со стороны, чтобы действительно её понять нужно заниматься.

У меня есть к вам один вопрос. И в конце моего выступления приз получит тот, чей ответ окажется наиболее близким к правильному. Это кубик-рубик. Сколько симметрий у кубика-рубика? Сколько действий можно выполнить, с данным предметом в результате, которых он оставался бы кубом? Хорошо? Подумайте над этим вопросом и посчитайте сколько у него eсть симметрий, а мы пока пойдем дальше. В конце выступления приз достанется тому, кто будет наиболее близок к правильному ответу.

Но давайте вернемся к симметриям, которые мы получили для этих двух предметов. Что понял Галуа: не отдельные симметрии, а то, как они взаимодействуют друг с другом, вот, что характеризует симметрию объекта. Если сделать одно магическое вращение, а затем другое, то получим третье магическое вращение. И, тогда Галуа начинает разрабатывать язык, который может показать суть невидимого, своего рода абстрактную идею симметрии, лежащую в основе данного физического объекта. Например, что если повернуть морскую звезду на одну шестую оборота, а затем на одну третью?

Я дал им названия. Заглавными буквами A, B, C, D, E, F, обозначил названия вращений. B, например, поворачивает маленькую желтую точку на морской звезде к точке B. И так далее. А что если сделать B-поворот, поворот на одну шестую, и затем С-поворот - на одну третью? Давайте попробуем. Одна шестая поворота, затем одна третья поворота, в совокупности получается эффект, как будто я повернул звезду на пол-оборота за один раз. Итак, вот эта небольшая таблица показывает как работает алгебра этих симметрий. Я делаю один поворот, затем другой и ответом является D-вращениe - на пол-оборота. Что если выполнить это в обратном порядке? Разве не все равно? Давайте посмотрим. Давайте повернем на одну третью, а затем на одну шестую. Конечно, нет никакой разницы. По прежнему получается пол-оборота.

Есть некая симметрия в том, как симметрии взаимодействуют друг с другом. Но, для симметрии треугольника это правило работает по-другому. Давайте посмотрим что произойдет, если мы сделаем два преобразования симметрии с треугольником, одно за другим. Давайте повернем на одну треть против часовой стрелки, и отразим относительно линии X. общий эффект таков, как будто я только сделал отражение относительно линии Z. А теперь, выполним это в обратном порядке. Давайте, сначала сделаем отражение относительно X, а затем поворот на одну треть против часовой стрелки. Совокупный эффект - треугольник оказывается где-то в совсем другом месте. Как будто отражение было сделано относительно лини Y.

Итак в данном случае важен порядок выполнения действий. И это позволяет нам провести различия между понятиями симметрии этих объектов, хотя они оба имеют по шесть симметрий. Почему мы не можем сказать, что их симметрии идентичны? То, как симметрии взаимодейстуют позволяет нам - особенно теперь, когда у есть язык, Определить почему эти симметрии принципиально различны. Можете сами это попробовать, когда пойдете в бар. Возьмите подставку для пива и поверните её на одну четверть, а затем переверните. Потом сделайте тоже самое только в обратном порядке. И картинка на подставке окажется направленной в противоположную сторону.

Галуа также вывел некоторые законы о том, как эти таблицы, как симметрии взаимодействуют. Это почти как кроссворды Судоку. Cимметрия не повторяется дважды ни в рядах, ни в столбиках. И, применяя эти правила, он смог утверждать, что на самом деле есть только два предмета обладающих шестью симметриями. И, их симметрии будут такими же, как у треугольника или как у шестилучевой морской звезды. По-моему, это удивительное открытие. Как будто мы разработали понятие числа для симметрии. Здесь, в переднем ряду, есть один, два, три человека которые сидят на одном, двух, трех стульях. Люди на стульях очень разные, но число, или его абстрактное представление, то же самое.

И теперь, владея таким знанием, вернемся к стенам Альгамбры. Вот - две абсолютно разные стены, с абсолютно разными геометрическими изображениями. Но, используя язык Галуа, можно понять, что их абстрактные симметрии идентичны. Например, давайте возьмем вот эту красивую стену, на которой изображены треугольники с загнутыми вершинами. Их можно повернуть на одну шестую оборота, если не обращать внимание цвета. Не будем стараться, чтобы цвета соответствовали. Совпадут формы, если повернуть на одну шестую оборота вокруг точки, где треугольники соприкасаются вершнинами. Что о можно сказать о центре треугольника? Можно повернуть на треть оборота относительно центра треугольника, и всё совпадёт . Есть интересное место на равном расстоянии между двумя вершинами, если повернуть вокруг него на 180 градусов, то все плитки снова встанут на свои места. Итак, повернем вокруг этой точки, и все встанет на свои места они.

Теперь, давайте посмотрим на другую стену Альгамбры, которая выглядит совершенно по-иному. И мы видим здесь те же симметрии, и то же взаимодействие. Таким образом, все-таки была шестая часть оборота. Одна треть оборота - где встречаются части Z. И половина оборота приходится посередине между шестиконечными звездами. И, хотя стены выглядят совсем по-разному, Галуа изобрел язык, который позволяет утверждать, что, на самом деле, симметрии лежащие в основе этих этих двух узоров - идентичны. Назовем это симметрией 6-3-2.

Вот еще один пример из Альгамбры. Это стенa, потолок, и пол. Все они выглядят очень по-разному. Но данный язык позволяет нам сказать, что они представляют собой один и тот же симметричный абстрактный объект, назовем его 4-4-2. Ничего общего с футболом, он называется так потому, что eсть двe точки, вокруг которых можно повернуть на четверть оборота, и в одна, где можно повернуть - на пол-оборота.

Этот язык даже более мощный, потому что Галуа может сказать: "Удалось ли мавританским художникам изобразитъ все возможные симметрии на стенах Альгамбры"? И оказывается, им почти удалось это сделать. C помощью языка Галуа, можно доказать, что в стенах Альгамбры возможно только 17 различных симметрий. И если возвести еще одну стену и попытаться найти 18-ю симметрию, то она будет повторять симметрии, одной из 17- ти стен.

Все это видно невооруженным глазом. Сила же математического языка Галуа позволяет создавать симметричные объекты в невидимом мире, за пределами двумерных, трехмерных, вплоть до четырех- или пяти- или бесконечно-мерных пространств. Именно, над этим я и работаю. Я создаю математические объекты, симметричные объекты, с помощью языка Галуа в многомерных пространствах. На мой взгляд, это отличный пример чего-то удивительного, что возможно создать с помощью математического языкa.

Так же как и Галуа, я не спал всю ночь, разрабатывая для вас новый математический симметричный объект. И у меня есть его фотография. К сожалению, это не совсем фотография. Можно сюда мое наглядное пособие, пожалуйста? хорошо, отлично. Вот он. К сожалению, я не могу показать вам фотографию этого симметричного объекта. Но здесь представлен язык, описывающий, как взаимодействуют симметрии.

Этот новый симметричный объект еще не имеет названия. Теперь, люди любят присваивать свои имена вещам, кратерам на Луне, или новым видам животных. Я даю вам такую возможность присвоить свое имя новому симметричному объекту, который еще пока не имеет названия. К тому же, животние вымирают, метеориты падают на спутники, от чего те взрываются, а этот математический объект будет существовать вечно. Он увековечит ваше имя. Для того, чтобы выиграть этот симметричный объект, вы должны ответить на вопрос, который я задал в самом начале. Сколько симметрий у кубика-рубика?

Хорошо, поступим следующим образом. Вместо того, чтобы все выкрикивали одновременно, я хочу, чтобы вы посчитали, сколько цифр eсть в этом числe. Хорошо? Если вы хотите представить это как факториал, то найдите его значение. Хорошо, теперь, встаньте, пожалуйста, если вы участвуете, я хочу, чтобы вы встали, хорошо? Если вы считаете, что правильно подсчитали количество цифр, - у нас уже есть один участник - и если никто не встанет, то он выиграет автоматически. Хорошо. Отлично. Итак, у нас есть четыре здесь, пять, шесть участников. Хорошо. Отлично. Можем начать. Итак.

Тот, у кого получилось пять или менее цифр, может сесть. Потому, что вы недооценили. Пять или менее цифр. Итак, если ваш ответ в десятках тысяч, вы должны сесть. 60 цифр или более, вы должны сесть. Вы переоценили. 20 цифр или менее, садитесь. Сколько цифр в вашем числе? Два? Тогда вы должны были давно сесть. (Смех) А теперь, встаньте те, кто сел, когда я сказал 20. Хорошо? Если у вас получилось 20 или менее, встаньте. Кажется, было несколько. Участники, которые сели последними.

Хорошо, сколько цифр в вашем ответе? (Смех) 21. Хорошо, хорошо. Сколько получилось у вас? 18. Итак приз достается вот этой даме. 21 ближе всего к верному ответу. На самом деле - число симметрий в кубике Рубика состоит из 25 цифр. Так, теперь я должен назватъ этот предмет. Как вас зовут? Мне нужна ваша фамилия. Симметричные предметы, как правило - Продиктуйте по буквам. Г-Х-E-З Нет SO2 уже используется в математическом языке. поэтому, придется выбрать другое название. Так, что Гез (Ghez), вот, пожалуйста. Это ваш новый симметричный объект. Теперь ваше имя бессмертно. (Аплодисменты)

И если вы хотите, чтобы у вас был свой собственный симметричный объект, у меня есть проект, я собираю деньги на благотворительность для Гватемалы, и я не буду спать всю ночь, разрабaтывaя для вас объект, если вы поже́ртвуете на образование детей в Гватемале. И я думаю, что меня, как математика, мотивируют те вещи, которые еще никто не видел, то, что ещо не было открыто. Это нерешенные вопросы, которые делают математику живой. И я всегда буду возвращаться к этой цитате из японских "Заметок в праздности": "Во всём однородность нежелательна. Оставив что-то незаконченным, мы делает его интересным, и это создаёт ощущение того, что существует возможность для роста". Спасибо. (Апплодисменты)