Дэн Мейер: Пора пересмотреть обучение математике

Постарайтесь, пожалуйста, вспомнить момент, когда вам что-то очень понравилось – фильм, диск, песня или книга – и вы от всей души порекомендовали эту вещь близкому и любимому человеку, с интересом и нетерпеливо ожидали его реакцию, а потом оказалось, что вещь ему совершенно не понравилась. В качестве введения скажу, что в точности в таком состоянии я находился каждый рабочий день в течение последних шести лет. Я преподаю математику в старших классах школы. Я продаю клиенту продукт которые ему не нужен, но который он обязан купить по закону. То есть игра проиграна заранее.

Приведу одно полезное наблюдение про школьников, полезное наблюдение про каждого из вас. Если я дам вам выпускной тест по алгебре, то смело могу сказать, что не более, чем 25% из вас пройдут его. Оба факта характеризуют не столько вас или моих школьников, сколько предмет, который мы сегодня в США называем школьной математикой.

Для начала хочу разбить математику на две категории. Одна – вычисления. Этот аспект вы все забыли. Например, разложение на множители квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом выше единицы. Этот аспект, кстати, совсем нетрудно выучить заново, при условии, что у вас есть серьёзные навыки математических рассуждений. Мы называем такое умение приложением математических процессов к окружающему миру. Этому трудно научить. Мы бы хотели, чтобы школьники сохранили в себе именно это умение, даже если они не будут заниматься математикой в дальнейшем. Однако метод преподавания предмета в США практически гарантирует, что именно это умение они сохранить и не смогут. Я собираюсь рассказать, почему это так, почему это – настоящее бедствие для общества, что мы можем сделать, и, в заключение, почему нынешнее время – замечательное для учителя математики.

Начнём с пяти симптомов неправильного обучения математическим рассуждениям на уроках. Первый симптом – отсутствие инициативы. Школьники не хотят что-либо делать сами. Как только я заканчиваю лекционную часть, так сразу человек пять поднимают руки и просят заново всё разъяснить в индивидуальном порядке. Школьникам не хватает настойчивости. Они не стараются запоминать: одни и те же понятия приходится объяснять спустя три месяца заново. Устойчивая неприязнь к текстовым задачам характеризует 99% моих школьников. Оставшийся один процент, как правило, судорожно ищет готовую формулу, подходящую в данной ситуации. И это действует действительно удручающе.

Дэвид Милч, создатель [исторического] телесериала Deadwood и других прекрасных шоу, хорошо описал подобную ситуацию. Он заклялся создавать актуальные драматические шоу, потому что убедился, что когда мозги зрителя забиты ежедневным четырехчасовым просмотром, например, комедийного шоу «Два с половиной человека», – никого не хочу обидеть, – его извилины настолько деформируются, что он ждёт лишь задачки попроще. Он назвал это «нетерпимость к нерешённости». Человек становится нетерпим ко всему, что не имеет быстрого решения. Он ожидает повсюду смехотворные полу-проблемы, которые можно уложить в 22 минуты комедийного шоу, включая рекламу и запись смеха. Скажу вам то, что вы и так знаете: ни одна достойная решения задача не бывает такой простой. Меня это сильно беспокоит, потому что когда я выйду на пенсию, мои школьники будут управлять страной. Обучая их таким методом, я подрываю своё будущее и своё благоденствие. я подрываю своё будущее и своё благоденствие. Заявляю, что наши учебники, в особенности широко распространённые, обучают умению рассуждать математически и терпеливо решать задачи методом, который равносилен тому, чтобы посмотреть комедию «Два с половиной человека», а потом пойти спать.

(Смех)

Нет, серьёзно! Вот пример из учебника физики, с равным успехом применимый и к математике. Заметим прежде всего, что здесь ровно три числа, и каждое из них, в конце концов, появится где-нибудь в формуле, которую школьник затем посчитает. Я верю в реальную жизнь. Спросите себя, решали ли вы когда-либо задачу, действительно достойную решения, где у вас заранее была бы вся нужная информация, где у вас не было бы избытка информации, которую придется откинуть, где у вас не было бы недостатка информации, и ее не надо было бы добыть. Уверен, что вы согласитесь: задачи, действительно стоящие решения, выглядят не так. Авторы учебника, я думаю, прекрасно знают, что это подрезает крылья школьникам. Потому что, посмотрите, вот задачи для подготовки. А когда наступает время делать контрольные, то предлагаются вот такие задачи, где просто цифры изменены и контекст слегка подправлен. А если школьник ещё не узнал клише, с которого списана эта задача, то тут же услужливое указание, к какой именно задаче надо вернуться, чтобы найти нужную формулу. В буквальном смысле слова можно успешно сдать раздел, не зная физики вообще, а просто зная, как расшифровать учебник. Позор!

В области математики я могу описать проблему конкретнее. Вот действительно интересная задачка – мне она нравится. Задача определения крутизны склона, на примере подъёмника для лыжников. Здесь скрыты четыре слоя, и мне интересно, кто из вас сможет распознать эти четыре слоя и увидеть, в частности, как перемешанное представление всех слоёв сразу развивает у школьников нетерпеливость при решении задач. Сейчас я их выделю. Вот – иллюстративный слой. Вот – слой математической структуры: сетка, измерение, значки, точки, оси и тому подобные дела. Маленькие шаги веду вас к вопросу: какая секция подъемника самая крутая?

Надеюсь, вам всё ясно. Искренне надеюсь, что вы понимаете, как этот метод, начав с очевидного вопроса и очевидного ответа, рисует прямую и гладкую тропинку от одного к другому, и создаёт у школьника впечатление, что тот блестяще преодолел небольшие овраги на пути. Больше здесь ничего нет. Моё предложение: все элементы представить раздельно, строить слои вместе со школьниками, и добиться главного: научить их терпеливому решению задач.

Вот я начинаю с визуального слоя, и тут же задаю вопрос: Где секция с наибольшей крутизной? Отсюда возникает диалог, потому что визуальный слой построен так, что допускает два ответа. Вот тут начинаются споры, друзья спорят с друзьями, парами, начианают писать, и т.д. Очень скоро класс заметит, насколько неудобно ссылаться на лыжника в левом нижнем углу или лыжника чуть выше середины. И осознает, что намного лучше иметь значки A, B, C, D: так будет значительно легче ссылаться на лыжников. Потом, когда класс начинёт определять, что такое крутизна, выяснится, что хорошо бы иметь измерения, дабы свести проблему к одному конкретному толкованию. И только на этом этапе мы вводим математические структуры. Математика обслуживает диалог, а не диалог обслуживает математику. Отмечу, что уже к этому моменту 9 из 10 классов готовы понять всю проблематику склонов и крутизны. Но, если нужно, можно всем классом разработать пошаговый алгоритм.

Сравнение двух подходов ясно даёт понять, какой из них обучает терпеливому решению задач, умению рассуждать математически. Мне это ясно из моей практики. Предоставлю слово Эйнштейну. В этом деле, думаю, он – заслуженный авторитет. Он говорил о необычайной важности умения формулировать задачи. Тем не менее, моя практика показывает, что здесь, в США, мы просто даём задачи школьникам, мы не привлекаем их к формулировке.

В 90% случаев я трачу свои пять часов в неделю подготовительной работы на то, чтобы переработать достаточно очевидные элементы задач из учебника, типа этой, с тем, чтобы они научили рассуждать математически, научили терпеливому решению задач. Сейчас покажу, что из этого получается. Эта задача про бак воды мне нравится. Вопрос: Сколько времени надо для наполнения его водой? Начнём по порядку: избавимся от промежуточных шагов. Класс сам создаст их и сформулирует. Класс сам создаст их и сформулирует. Затем отметим, что будет нужна вся написанная информация, то есть отсутствует отвлекающий фактор. А потому мы и это скроем: школьникам самим придётся решать, что важно для решения задачи: Высота? Размер? Цвет крана? Что тут важно? Слишком уж редко этот вопрос встречается в курсе математики. Итак, у нас остался только бак с водой. Сколько времени надо для наполнения его водой?

Вот и всё! Сейчас 21-й век и людям нравится обсуждать реальный мир в реальном его представлении, а не посредством схем или графического искусства, чем часто страдают учебники. А потому мы просто идём и снимаем реальный мир. Итак, сейчас у нас появился настоящий бак. Сколько времени надо для наполнения его водой? А ещё лучше – снять на видео, как бак наполняется водой, медленно, мучительно медленно, сводя с ума. мучительно медленно, сводя с ума. Школьники смотрят на часы, закатывают глаза от нетерпения, и на каком-то этапе у них возникает вопрос: «Да сколько же времени надо для наполнения его водой?» (Смех) Теперь можете быть спокойны: наживка на крючке.

С этого момента задача становится по-настоящему интересной для меня: ведь работая в школе совсем недавно и не имея нужного стажа, я занимаюсь с наиболее отстающими школьниками. Многие из них не станут вообще говорить о математике, просто оттого, что кто-то в классе знает лучше, знает формулу, знает как её применить, так что нет смысла вообще говорить об этом. Но тут – все в равных условиях, игра переведена в плоскость интуиции. Поскольку каждый из детей когда-то что-то наполнял водой, я могу расшевелить их отвечать на вопрос, сколько времени для этого надо. Даже детей, которые боятся вести диалог и которые боятся математики – и их удаётся включить в разговор. На доске мы записываем имена, напротив каждого – сказанную мысль, и на этом этапе дети уже включаются в полную силу. Тогда мы следуем процессу, который я описал. Замечательно, – и это одна из прелестей процесса – что для того, чтобы узнать ответ, мы не заглядываем в конец Книги для Учителя Вместо этого мы заканчиваем просмотр видео. (Смех) На самом деле это страшновато. Страшновато потому, что теория безотказно работает на странице ответов в конце Книги для Учителя, и это прекрасно, но если теория не совпадает с практикой, то говорить об источниках ошибки – страшновато. Диалоговая часть процесса – очень полезная, наверное, самая полезная.

Хочу сообщить, что удовольствие от предмета увеличилось, притом, что школьники изначально были подвержены всем недугам нетерпеливости, о которых шла речь. Если этим детям, после одного семестра занятий, написать на доске нечто совершенно новое и необычное, написать на доске нечто совершенно новое и необычное, они способны вести осмысленный разговор на 3-4 минуты дольше, чем в начале года – и притом, это для них – удовольствие. Они больше не чураются текстовых задач, потому что для них теперь это нечто иное. Они больше не боятся математики, потому что мы постепенно переопределили само понятие математики. Всё это доставляет им удовольствие.

В беседах с учителями математики я призываю их применять мультимедиа – ведь это несёт в класс реальную жизнь в цвете и с высоким разрешением, дабы стимулировать у школьников интуицию с учётом, что условия тогда для всех равные, дабы они научились задавать как можно более короткие вопросы, дабы эти вопросы возникали по ходу обсуждения, дабы дать школьникам возможность создать задачу – ведь так сказал Эйнштейн, – и, наконец, поменьше помогать, потому что учебник помогает, но не так: он освобождает школьников от обязанности терпеливо решать задачи и учиться рассуждать математически. Помогать поменьше.

Почему же сейчас потрясающее время быть учителем математики? Да потому, что сейчас средства для создания высококачественного курса математики лежат у нас в нагрудном кармане. Они общедоступны и достаточно дёшевы. И инструменты для их распространения, бесплатно, через открытую лицензию дёшевы как никогда и тоже общедоступны. Не так давно я опубликовал в своем блоге видеоматериалы, и за две недели набралось 6000 просмотров. Мне приходят письма от учителей из стран, в которых я никогда не был, со словами: «Здорово! У нас в классе тоже удался прекрасный диалог. Да, кстати! Вот как я усовершенствовал ваш материал.» и это – здорово! Недавно я опубликовал в своем блоге вот такую задачу. В какую кассу лучше встать в магазине самообслуживания: в ту, куда стоит одна тележка с 19 покупками, или в ту, куда стоят 4 тележки с числом покупок 3, 5, 2 и 1 ? Связанные с этим элементы линейного моделирования были полезны в классе. Дело кончилось тем, что пару недель спустя я выступил в телепрограмме Good Morning America. Вот уж чего не ожидал…

Из всего этого я могу лишь сделать вывод, что многие, и не только школьники, изголодались по таким вещам. Математика объясняет очень многое в реальном мире. Математика даёт нам язык для выражения интуиции. Я призываю каждого, каков бы ни был ваш статус в области образования – студент, учитель, родитель, администратор…, неважно: добьёмся более высокого качества курса математики. Нам нужно больше тех, кто может терпеливо решать задачи. Благодарю за внимание.