Конрад Вольфрам: Как учить детей настоящей математике с помощью компьютеров

У нас большие проблемы с математическим образованием. По существу, никто не доволен. Те, кто изучает математику, считают, что она никак не связана с реальной жизнью, неинтересна и трудна для изучения. Те, кто пытается взять их на работу, считают, что их знаний недостаточно. Правительства понимают, что это большая проблема для экономики, но не представляют, как это исправить. Учителя тоже растеряны. И это при том, что математика еще более важна для мира сегодня, чем когда либо еще. Итак, с одной стороны мы видим падение интереса к математике в образовании, и с другой стороны, мы живем в более математическом мире, более количественном мире, чем когда либо.

В чем же проблема, почему вдруг открылась такая пропасть, и что можно сделать, чтобы это исправить? На самом деле, я думаю, что ответ находится у нас перед носом. Используйте компьютеры. Я думаю, что правильное использование компьютеров - это волшебное средство чтобы заставить работать математическое образование. Чтобы объяснить это, позвольте мне немного поговорить о том, что такое математика в реальном мире, и что такое математика в образовании. Видите ли, в реальном мире математикой занимаются не обязательно математики. Ею занимаются геологи, инженеры, биологи. Самые разные люди выполняют расчеты и моделирование. На самом деле, это очень популярно. Но в образовании все выглядит иначе -- безликие задачи, множество вычислений, по большей части вручную. Многие вещи выглядят совсем не сложно в реальном мире пока вас не заставляют их учить. Еще одно: математика иногда выглядит как математика -- как, например, здесь -- а иногда совсем наоборот -- как здесь: "Я пьян?" И вот вы получаете численный ответ, который вам и нужен в современном мире. Вы не могли себе и представить такое несколько лет назад. Но сегодня вы можете все рассчитать -- к сожалению, мой вес немного больше, чем здесь, но -- рассчитать все, что будет происходить.

Давайте взглянем немного со стороны и спросим: почему мы учим людей математике? Зачем преподавать математику? И в особенности, почему мы учим их математике вообще? Почему это такая важная часть образования, что мы сделали ее обязательной? Я думаю, здесь три причины: технические профессии настолько критичны для развития наших экономик, что я называю ежедневним выживанием. Чтобы существовать в сегодняшнем мире, надо уметь обращаться с количественными параметрами гораздо лучше, чем несколько лет назад. Рассчитать свой ипотечный кредит, скептически относиться к правительственной статистике и другие подобные вещи. И в-третьих, я бы назвал это тренировкой логического мышления. Многие годы мы потратили множество усилий, чтобы научиться мыслить логически; это часть нашей человеческой натуры. Очень важно научиться этому. И математика - это отличный способ этого добиться.

Давайте зададим другой вопрос. Что такое математика? Что мы имеем в виду, когда говорим, что мы занимаемся математикой или учим людей математике? Грубо говоря, это четыре шага, начинающихся с правильной постановки вопроса. О чем мы хотим спросить? Что мы пытаемся узнать? И это та часть, где мы чаще всего ошибаемся в реальном мире, среди всех, которые относятся к математике. Люди задают неправильные вопросы, и, надо же, они получают неправильные ответы, именно поэтому, если не по другим причинам. Следующий шаг - это взять эту задачу и из жизненной задачи сделать ее математической задачей. И это второй шаг. Когда вы это сделали, приступаем к шагу вычислений. Получаем из этого некий ответ в математической форме. И, конечно же, математика здесь очень сильна. И, наконец, возвращаемся с этим ответом в реальный мир. Ответили ли мы на вопрос? И конечно же надо проверить ответ - это очень важный шаг. И вот здесь мы видим очень странную вещь. В математическом образовании мы тратим около 80 процентов времени на то, чтобы научить людей делать третий шаг - вручную. При том, что это именно тот шаг, который компьютеры могут делать намного лучше, чем люди, даже после многих лет тренировки. Вместо этого, лучше бы мы использовали компьютеры для выполнения этого третьего шага, и дали бы студентам возможность потратить больше усилий чтобы научиться делать шаги один, два и четыре -- выяснение задач, постановка задач; и дали бы возможность учителю научить их делать именно это.

Посмотрите, важная вещь: математика - это не вычисления. Математика гораздо шире, чем просто вычисления. Теперь понятно, как оказалось, что все так перемешалось за сотни лет. Был только один способ делать вычисления и это было вручную. Но за последние несколько десятилетий все полностью изменилось. Произошла самая большая трансформация этого древнего предмета, какую только можно себе представить -- благодаря компьютерам. Вычисления часто становились ограничивающим фактором, слишком часто. Теперь, можно сказать, математика освободилась от вычислений. Но это освобождение еще не дошло до системы образования. Я представляю себе вычисления как внутренний механизм математики. Что-то вроде рутинной работы. Это нечто, что вы меньше всего хотели бы делать сами и хотели бы поручить делать машинам. Это средство, ведущее к цели, а вовсе не сама цель. Автоматизация позволяет нам иметь этот механизм. Компьютеры позволяют нам это. И ни в коем случае, это такая уж маленькая проблема. Я тут прикинул, только сегодня по всему миру мы тратим около 106 человеческих жизней на то, чтобы научить людей считать вручную. Это огромное количество человеческих усилий. Так что лучше быть абсолютно уверенными, и, кстати, большинство людей даже не любят заниматься счетом. Итак, лучше быть абсолютно уверенными, что мы знаем, зачем мы это делаем, что у этого есть какая-то реальная цель.

Я думаю, мы должны поручить компьютерам все вычисления и делать их вручную только тогда, когда это имеет смысл. Я думаю, бывают такие ситуации. Например: вычисления в уме. Я до сих пор часто делаю это, в основном для приблизительных оценок. Люди спрашивают: верно ли то-то и то-то? И я говорю: дайте-ка прикинуть... Это по прежнему быстрее и практичнее. Вот это, я думаю, как раз тот случай, когда надо учить людей считать вручную. И еще бывают некоторые концептуальные вещи в которых помогает ручной счет, но их довольно мало. Я часто спрашиваю о древнегреческом языке и как это связано с математикой. Смотрите, что мы делаем: мы заставляем людей учить математику. Это же важный предмет. Я предлагаю, если люди интересуются вычислениями вручную или какими-то другими вещами в любой сфере, даже причудами- они должны делать это. Это абсолютно правильно, когда люди занимаются тем, что им интересно. Я когда-то интересовался древнегреческим, но я не думаю, что мы должны заставлять всех поголовно изучать древнегреческий. Не думаю, что это оправдано. Я делаю разницу между тем, что мы заставляем людей делать, между общепринятыми вещами и тем, чем они могут заниматься ради собственного интереса и, возможно, даже восторгаться этим.

Какие здесь могут возникнуть проблемы? Одна из них, говорят, что мы должны вначале научиться основам. Мы не должны использовать машину, пока мы не постигли основы предмета. И здесь я обычно спрашиваю: что вы имеете в виду под основами? Основы чего? Например, относится ли к основам вождения автомобиля умение его обслуживать, или проектировать его? Относится ли к основам писания умение чинить перо? Я не думаю. Я думаю, мы должны разделять основы того, что мы пытаемся делать, от того, как это делается, и от механики того, как это делается. Автоматизация позволяет нам сделать это разделение. Сотню лет назад, действительно, чтобы водить машину, нужно было много знать об ее устройстве, как работает система опережения зажигания и подобные вещи. Но автоматизация автомобилей позволила добиться разделения, и сейчас вождение совершенно отделено от проектирования автомобиля и от его обслуживания. Автоматизация позволяет добиться такого разделения и также позволяет -- в случае вождения, и я верю, что так же будет и с математикой -- дать доступ к этому гораздо большему кругу людей. Это может стать доступным большему числу людей, которые могут с этим реально работать.

И вот еще кое-что об основах. Мне кажется, люди путают порядок, в котором были изобретены вещи, с тем порядком, в котором их следует изучать. Просто от того, что бумага была изобретена раньше компьютеров, совсем не следует, что мы узнаем больше об основах предмета, если будем использовать бумагу вместо компьютера чтобы учить математике. Моя дочь недавно меня насмешила. Она делает такие вещи, которые она называет бумажными лаптопами. (Смех) Я как-то говорю ей: "Когда я был в твоем возрасте, Я не делал таких вещей. Как ты думаешь, почему?" После секунды или двух размышления она говорит: "Не было бумаги?" (смех) Если вы родились после появления компьютеров и бумаги, не имеет большого значения какой из них будут использовать для вашего обучения; вы просто хотите иметь наилучшее средство для этого.

Другое возражение, которое я слышу: "Компьютеры отупляют математику." Что каким-то образом, если ты используешь компьютер, это просто бездумное нажимание на клавиши, а вот если ты делаешь это вручную, то это все очень интеллектуально. Вот это, надо сказать, меня раздражает. Неужели мы в самом деле думаем, что та математика, которую большинство людей изучают сегодня в школе, это нечто большее, чем простое применение процедур в абстрактных задачах, по непонятным причинам? Я так не думаю. И что еще хуже, то, что они изучают, практически бесполезно. Возможно, это было применимо 50 лет назад, но не сейчас. Когда они закончили обучение, они делают это с помощью компьютера. Я уточню: я считаю, что компьютеры на самом деле могут помочь решить эту проблему, сделать ее более концептуальной. Конечно, как и любой другой инструмент, компьютеры могут использоваться совершенно бездумно, типа превращения всего в мультимедийную демонстрацию, как в том примере ручных вычислений, который мне показали, где компьютер заменял учителя, показывая студентам, как решать задачи вручную. Это просто безумие. Почему мы используем компьютеры, чтобы показать студенту, как решать задачу вручную, если это должен делать компьютер? Мы движемся назад.

Позвольте продемонстрировать вам, что можно сделать задачи сложнее для вычислений. Например, в школе обычно мы решаем квадратные уравнения. Но если вы используете компьютер, вы можете легко менять параметры. Сделайте его уравнением четвертой степени, сделайте его сложнее для вычислений. Те же принципы, но вычисления уже сложнее. Все задачи в реальной жизни выглядят так же безумно и ужасно, как здесь. Они все с огромным количеством подробностей и деталей. Они не похожи на те упрощенные, обезличенные задачи, которые мы решали в школе. Подумайте о реальном мире. Неужели вы думаете, что машиностроение или биология и все остальные отрасли, которые так выиграли от применения компьютеров, потеряли что-то концептуально из-за того, что они используют компьютеры? Я не думаю, скорее наоборот. Так что проблема, которую мы имеем в образовании, не в том, что компьютеры все обезличивают, а в том, что мы заняты обезличенными задачами. Еще один вопрос, который обычно поднимается, это то, что ручные вычисления способствуют лучшему пониманию. Вроде того, что если вы сделаете кучу упражнений, получите ответ -- то вы начнете лучше понимать, как все работает. С одним я здесь соглашусь -- это с тем, что понимание процедур и процессов очень важно. Но в современном мире существует потрясающий способ научить этому. Он называется -- программирование.

Программирование -- это тот способ, с помощью которого описываются большинство процессов и процедур сегодня; это еще и отличный способ вовлечь студентов в процесс и убедиться, что они действительно понимают. Если вы действительно хотите проверить, хорошо ли вы понимаете математику, напишите программу. Программирование -- это как раз тот способ, который мы должны использовать. На самом деле, я предлагаю использовать эту уникальную возможность сделать математику одновременно более практичной и более концептуальной. Я не могу припомнить ни одного другого предмета, где это было бы возможным. Обычно мы стоим перед выбором между процессом обучения и сложностью реальных задач. Но здесь мы можем это совместить. И тут мы открываем огромное количество возможностей. Вы можете решать намного больше задач. Что еще очень важно, то, что студенты получают опыт и вырабатывают интуицию гораздо быстрее, чем раньше. Опыт решения сложных задач, возможность поиграть с ними, почувствовать их. Нам нужны люди, способные инстинктивно чувствовать математику. И это то, что нам позволяют сделать компьютеры.

Кроме того, это позволяет нам изменить программу обучения. Традиционно она строилась по возрастанию сложности вычислений, но сейчас мы можем перестроить ее по возрастанию сложности концепций, вне зависимости от сложности вычислений. Традиционно производным и интегралам учат довольно поздно. Почему так? Да потому что вычисления очень сложны. Но на самом деле, большинство концепций вполне доступны и более младшим ученикам. Вот пример, который я сделал для моей дочери. Он очень, очень простой. Мы обсуждали, что происходит, когда мы увеличиваем число сторон в многоугольнике до какого-то огромного числа. Конечно же, он превращается в круг. Кстати, она еще настаивала, чтобы цвет тоже менялся, Конечно, это очень важно для этой демонстрации. Вы видите, мы начинаем приближаться к понятию пределов и дифференциальному исчислению и к тому, что случается, когда мы достигаем экстремальных значений -- очень маленькие стороны и очень большое число сторон. Очень простой пример. И это тот взгляд на мир, который мы прячем от людей еще много-много лет. Но при этом, это очень важный практический взгляд на мир. Одно из препятствий на нашем пути в изменении программы обучения -- это экзамены. Конечно, пока мы экзаменуем всех вручную, очень сложно поменять программу так, чтобы студенты могли пользоваться компьютерами во время обучения.

И это действительно важно, важно, чтобы можно было использовать компьютеры на экзаменах. И тогда мы сможем задавать реальные вопросы, как, например, какая страховая программа выгоднее? Вопросы, на которые приходится отвечать в повседневной жизни. И, как вы видите, это не какая-то обезличенная модель. Это реальная модель, где мы можем оптимизировать параметры. На сколько лет мне нужна страховка? Как это повлияет на платежи и на процентные ставки и так далее? Нет, конечно, я не говорю, что такие вопросы должны задаваться на экзаменах, но это очень важный тип вопросов которому сейчас совершенно не уделяется внимания, хотя он очень важен для понимания реальных проблем.

Так что я считаю, что мы должны произвести реформу внедрив компьютеры в обучение математике. Чтобы с уверенностью двигать вперед наши экономики и наши общества основываясь на том, что люди могут по-настоящему почувствовать математику. И это не что-то дополнительное, сверх программы. Страна, которая сделает это первой одним прыжком обгонит остальные страны построив новую экономику, продвинутую экономику, с новыми перспективами. Я говорю о том, что мы должны двинуться от того, что мы называем экономикой знаний, к тому, что можно назвать экономикой просчитанных знаний, где математика высокого уровня является неотъемлемой частью жизни, какой сейчас являются общие знания. Мы можем вовлечь в это множество студентов, и они будут этим довольны. И хорошо бы нам понять, что это не какой-то маленький шаг. Это наша попытка преодолеть пропасть между школьной математикой и реальной математикой. И, как вы знаете, если вы пойдете пешком через пропасть, то -- лучше бы вы и не начинали -- случится катастрофа. Нет, я предлагаю, чтобы мы прыгнули чтобы мы увеличили нашу скорость, как можно больше, и чтобы прыгнули с одной стороны на другую -- конечно, тщательно просчитав наше дифференциальное уравнение.

(Смех)

Мне бы хотелось увидеть полностью обновленную, измененную программу обучения математике, от начала до конца, построенную на компьютерных технологиях, на тех, которые окружают нас сегодня повсюду. Вычислительные машины почти везде и они будут абсолютно везде через несколько лет. Я даже не думаю, что мы должны называть этот предмет математикой, но я уверен, что это один из главных предметов будущего. Давайте двигаться. И в процессе давайте получать удовольствие для самих же себя, для студентов и для TED.

Спасибо.

(Аплодисменты)