Бенуа Мандельброт: Фракталы и искусство изломанности

Большое спасибо. Прошу прощения за то, что я сижу. Я очень старый человек. (Смех) Моя сегодняшняя тема в определённом смысле весьма особенная, потому что она очень древняя. Изломы – неотъемлемая часть человеческой жизни, они есть всегда. Об этом писали древние. Эта вещь по большей части нам неподконтрольна. И в каком-то смысле они кажутся крайней степенью усложнения – просто сплошной беспорядок. Есть много видов беспорядка. Так вот, по чистой случайности много лет назад я стал заниматься этой формой усложнения, и, к моему полному удивлению, я нашёл признаки, и, должен сказать, весьма чёткие признаки порядка в изломах. А потому сегодня я хотел бы представить вам несколько примеров того, что это значит. Я предпочитаю слово «изломанность» слову «неровность» потому, что для того, кто изучал латынь, как и я в своей далёкой молодости, неровность – это противоположность ровности. Но ведь это не так. Ровность есть противоположное к изломанности, потому что мир по большей части предстаёт нам как полный изломов.

Позвольте показать вам пару объектов. Некоторые их них созданы искусственно. Прочие – весьма реальны, в определённом смысле. Вот это – реальная вещь. Это – цветная капуста. Отчего я показываю вам цветную капусту, это обыденное и древнее растение? Оттого, что, несмотря на свою обыденность и древность, оно сложное и простое. оно сложное и простое. К примеру, взвесить его не представляет труда. Вес имеет значение, если мы собираемся есть её. Но предположим, что мы собираемся измерить её поверхность. Это становится интересным. Вырезав острым ножом один из цветочков цветной капусты, и приглядевшись, нам видится цветная капуста целиком, только меньшего размера. Тогда можно вырезать снова, и снова, и снова, и снова, и снова… И получаются всё более маленькие образцы цветной капусты. Человеческий опыт показал что есть формы с таким интересным свойством, что каждая часть подобна целому, но меньшего размера. И что же человек извлёк из этого факта? Очень мало (Смех)

В связи с изучением этой проблемы я обнаружил нечто совершенно удивительное: изломанность можно измерить числом, скажем, 2,3 или 1,2, а иногда и намного большим. Однажды, один мой друг принёс фотографию и, полушутя, спросил: «Каков излом у этой кривой?» Я сказал: «Чуть меньше, чем полтора» Как оказалось, он был равен 1,48. Это не заняло у меня много времени, поскольку я так долго изучал эти вещи. Числа, о которых идёт речь, означают степень изломанности поверхности. Сразу оговорюсь, что поверхности абсолютно искусственны и создавались на компьютере. Единственным исходным пунктом было число. Это число и есть изломанность. Изломанность слева есть результат копирования с нескольких ландшафтов. Справа – я сам задал более высокую изломанность. Если приглядеться, то спустя некоторое время можно распознать различия в этих двух случаях невооружённым глазом.

Человеку пришлось освоиться с понятием изломанности. Вот это очень изломано, а вот это, можно сказать, гладко, а вот это совершенно гладко. Немного вещей можно назвать очень гладкими. Зададимся теперь вопросом: какова поверхность цветной капусты? Можно её измерять и измерять и измерять… Чем точнее замер, тем больше поверхность, и так далее, вплоть до очень малых расстояний. Какова длина береговой линии у этих озёр? Чем точнее будет замер, тем длиннее получится. Понятие длины береговой линии, кажущееся столь очевидным оттого, что оно часто приводится, на самом деле абсолютно ошибочно: такой вещи просто нет. Тут должен быть другой подход.

И в чём польза от этого знания? Как ни удивительно, пользы немало. Начнём с того, что искусственные ландшафты, которые я, скажем так, изобрёл, постоянно используются в кинематографе. Нам видятся горы на расстоянии. Это могут быть горы, но это вполне могут быть просто идущие потоком формулы. Этого очень легко добиться. Раньше это требовало много времени, но сейчас это – сущий пустяк. Взгляните сюда. Это – настоящее лёгкое. Лёгкое – очень странный объект. Нам всем прекрасно известно, что оно имеет какой-то вес. Известно также, что объём лёгкого весьма мал. А как насчёт площади лёгкого? Анатомы долго вели по этому поводу дискуссии. Считается, что у нормального мужчины площадь лёгкого равна площади одного баскетбольного мяча. Другие утверждают, что нет, пяти таких мячей. Расхождения колоссальны. Почему? Потому, что площадь лёгкого – весьма нечётко определённое понятие. Бронхи разветвляются и разветвляются всё глубже. А перестают они разветвляются не ввиду какого-то принципа, а из-за чисто физических условий, из-за слизи внутри лёгкого. Так образуется намного большее лёгкое: бронхи разветвляются всё глубже, пока просвет между ними примерно одинаковым и для кита, и для человека, и для небольшого грызуна.

Так в чём же от этого польза? Удивительно и даже поразительно, но анатомы плохо себе представляли структуру лёгкого вплоть до недавнего времени. Думаю, мои математические исследования, как ни удивительно, оказали большую помощь хирургам, занятым изучением лёгочных заболеваний, а также болезней печени, где имеются подобные ответвляющиеся системы с отсутствием понятной геометрии. Иными словами, мне пришлось создавать геометрию того, что не имеет своей геометрии. Обнаружилось удивительное качество: очень часто правила этой геометрии являются чрезвычайно краткими. Начинаешь с недлинных формул, применяешь их несколько раз, иногда повторно, снова и снова. Тот же повтор. И в конце концов получается нечто такое.

Это облако полностью искусственное, на 100%. Ну ладно, на 99,9%. Единственный естественный элемент тут – число, изломанность облака – это число взято у природы. Такая сложная вещь, как облако, такая неустойчивая, изменчивая, подчиняется простому правилу. Это простое правило не есть объяснение облачности. Но море облаков должно учитывать это правило. Не знаю, насколько совершенны эти старые фотографии. Я интенсивно занимался этим, но потом моё внимание было направлено на другие явления.

А вот ещё одна довольная любопытная вещь. Одно из революционных событий в истории математики, недостаточно оцененное многими, произошло примерно 130 лет назад, 145 лет назад. Математики начали создавать несуществующие формы. Среди математиков стало цениться, причём в совершенно невообразимой степени, умение человека создать то, чего в природе никогда не было. В частности, они смогли изобрести кривую, которая заполняет всю плоскость до последней точки. Кривая – это кривая, плоскость – это плоскость, и эти два понятия не стыкуются. Оказалось, что всё-таки стыкуются. Человек по имени Пеано определил такие кривые, и они вызвали исключительный интерес. Они очень важны и вызывают интерес по большей части оттого, что произошло некое разделение математики на ту, что основана на реальности, и ту, что происходит от чистого разума. К сожалению, мне довелось доказать, что то, что стало известно благодаря усилиям чистого разума, на самом деле давно известно в другой форме. Вот тут у меня система ручейков в виде заполняющих плоскость кривых. Само по себе, это – история. Это было в период с 1875 по 1925, удивительное время, когда математика готовилась оторваться от реального мира. Иллюстрацией разрыва, со времен моего детства и моих студенческих лет, разрыва между математикой и видимой реальностью служили определённые объекты. Однако мне удалось их переосмыслить, поставить с ног на голову, и с их помощью описать некоторые аспекты усложнённости природы.

В 1919-м году человек по имени Хаусдорф определил число, которое можно было считать математической шуткой. Но я обнаружил, что это число – хороший инструмент измерения изломанности. Когда я впервые рассказал об этом моим коллегам, они сказали: «Не занимайся глупостями. Это же нечто… » На самом деле я не занимался глупостями. Великий художник Хокусай прекрасно знал это. В нижней части картины – водоросли. Хокусай не владел нужной математикой: её тогда просто не существовало. Кроме того, будучи японцем, он [в те времена] не имел контактов с Западом. Но художественное искусство с давних времен содержит фрактальные элементы. Об этом я могу говорить долго. Эйфелева башня имеет фрактальные элементы. Я прочитал книгу Эйфеля о его башне – объём его понимания просто потрясающий.

Вот беспорядок внутри беспорядка. Броуновская петля. Однажды я решил, что прошла немалая часть моей профессиональной жизни, и столько разного занимало меня, что я решил, что пора бы испытать себя. Могу ли я исследовать объект, который все уже давно исследуют, и найти в нём что-либо радикально новое? Я стал изучать всё, что входит в категорию Броуновского движения. Пытался подойти с разных сторон, пробовал различные методы, и вернулся к тому, с чего начал. Тогда я предложил своему ассистенту: «Я тут ничего не вижу. Сможешь закрасить?» Он так и сделал, то есть заполнил все внутренности. «У меня получилось…» Но я закричал: «Стоп! Стоп! Стоп! Понял: это – остров.» Удивительно. Броуновское движение имеет изломанность равную двум. Измеряю, получается 1,33. Измеряю заново и заново. Долгие замеры, большие Броуновские движения. Опять: 1,33. Тут же возникает математическая проблема: как это доказать? Моим друзьям для этого понадобилось 20 лет. У троих доказательства были неполные. Они соединили усилия, и вместе им удалось получить доказательство. В результате они удостоились известной [Филдсовской] медали для математиков. В целом, математики получили три медали [Филдса] за доказательство фактов, которые я видел, но не мог доказать.

Сейчас меня всюду спрашивают: «Как это всё началось? Как ваши занятия привели вас к таким необычным вещам?» Что позволило мне быть одновременно инженером-механиком, географом, математиком и т.п.? Как это ни странно, но я начинал с изучения цен на фондовом рынке. У меня возникла теория, и я написал об этом книги. «Движения цен финансовых инструментов» Слева вам видны данные за длительный период, справа же, наверху, – данные согласно очень и очень модной теории. Это крайне просто и об этом можно очень быстро написать массу книг. (Смех) На эту тему есть тысячи книг. Теперь сравните с реальными движениями цен. И где же они? Дополнительные линии включают реальные движения цен, а также небольшую подделку с моей стороны. Основная идея там состояла в том, что надо уметь делать… Как это называется? …моделирование колебаний цен. Это прекрасно срабатывало 50 лет назад. В течение 50 лет к моей идее относились с насмешкой, потому что можно было делать проще. Но сейчас, скажу я вам, ко мне стали прислушиваться. (Смех) Эти две кривые представляют средние значения. Синяя – индекс Standard and Poor’s [S&P 500], а красная – индекс Standard and Poor’s, из которого вычтены 5 крупнейших скачков цен. Скачок, безусловно, портит анализ, и во многих исследованиях он считается [не поддающимся анализу] особым случаем. «Невероятное совпадение, вмешательство Господа. Ну, мелочь, её можно просто отложить в сторону.» Вмешательства Господа на этом графике, а их ровно пять, как оказалось, так же важны, как и всё остальное. Иными словами, вмешательства Господа нельзя откладывать в сторону. Это – существо, это – сам объект анализа. Если разобраться с ними, то можно разобраться и с движениями цен. Но не разобрался со скачками, то можешь анализировать так называемый шум сколько угодно, но этот анализ не будет иметь смысла. Вот эти кривые показывают влияние.

Теперь я перейду к последней теме – множество, названное моим именем. В некотором смысле, это – история моей жизни. Моё отрочество прошло во Франции, оккупированной в те годы Германией. Поскольку я думал о том, что в любой момент меня может не стать у меня были большие мечты. После войны я вновь встретился с дядей. Мой дядя был выдающимся математиком и он сказал: «Вот тебе задача. 25 лет назад я не смог решить её, и никто её не может решить. Это – построение одного математика по имени Гастон Джулиа и другого по имени Пьер Фату. Если сможешь найти тут нечто новое, – всё что угодно, – считай, что твоя карьера обеспечена.» Очень просто. Я стал изучать эту проблему, и, как и тысячи тех, кто до меня это пытался с делать, ничего не добился.

Но затем появились компьютеры. И я решил, что надо применить компьютерные возможности не к новым математическим проблемам – как, например, эта изгибающаяся штукенция: это новая проблема – а к старым проблемам. И я перешёл от так называемых действительных чисел, т.е. от точек на прямой, к комплексным числам, а это – точки на плоскости, то есть то, что и требуется в этой задаче. Получилась вот такая фигура. Эта имеет исключительную сложность. В ней скрыто уравнение: z трансформируется в z ^ 2 + c. Так просто и скучно, так неинтересно. Теперь прокрутим это один раз, два раза.. Два раза достаточно. О чудо! Появляется вот что. Я не собираюсь объяснять здесь эти вещи, но получается вот что и вот что. Фигуры такой сложности, такой гармоничности и такой красоты получаются повторно, снова и снова и снова. Моё главное открытие заключалось в том, что эти острова имеют ту же форму, более или менее, как и вся фигура целиком. Получаются такие потрясающие украшения в стиле барокко. И всё из этой короткой формулы, в которой всего – сколько там? – пять значков. И вот что в результате. Цвет добавлен по двум причинам. Во-первых, оттого что фигуры получаются настолько сложными, что трудно увидеть, какой смысл несут числа. И надо выбрать какую-то систему, чтобы их отразить на плоскости . Потому я взял за принцип всегда представлять фигуры в различных цветах: какой-то цвет означает одно, а другой – другое и т.д. Это так сложно.

(Смех)

В 1990-м году я был в Великобритании, в Кембридже, мне там от университета вручали приз. Спустя три дня один лётчик, пролетая над полем, увидел вот это. Откуда бы такая вещь? Ясное дело – от пришельцев. (Смех) Одна из газет в Кембридже опубликовала статью об этом «открытии», и на следующий день получила 5 тысяч писем, в которых говорилось, что это множество Мандельброта, просто очень большое.

Позвольте завершить. Эта картина получена посредством чистой математики. Простые правила могут породить бездонное чудо, если их повторять без конца.

Благодарю вас.

(Аплодисменты)