Benoit Mandelbrot: Fractalii și arta dezordinii

Vă mulțumesc foarte mult. Vă cer scuze fiindcă o să mă așez; sunt foarte bătrân. (Râsete) Ei bine, subiectul despre care voi vorbi este unul care într-un anumit sens este foarte ciudat, fiindcă este foarte vechi. Dezordinea este parte a vieții oamenilor, dintotdeauna. Iar autori antici au scris despre asta. Era foarte incontrolabilă. Și într-un anumit sens, părea a fi extrema complexității, doar o bătaie de cap, o încurcătură și atât. Există numeroase feluri de încurcături. Acum, de fapt, printr-un accident norocos, am fost implicat cu mulți ani în urmă în studiul acestor forme ale complexității. Și spre totala mea uimire, am găsit urme — urme foarte puternice, trebuie să spun — de ordine în această dezordine. Și deci astăzi aș dori să vă prezint câteva exemple despre ceea ce înseamnă acest lucru. Prefer cuvântul „dezordine” cuvântului „neregularitate” pentru că neregularitatea — pentru cineva care a studiat latina ca mine în tinerețe — este contrarul regularității. Nu e chiar așa. Regularitatea este contrarul dezordinii pentru că aspectul de bază al lumii este foarte dezordonat.

Să vă arăt câteva obiecte. Unele din ele sunt artificiale. Altele sunt foarte reale, într-un anume sens. Acesta e real. Este o conopidă. De ce vă arăt o conopidă, o legumă foarte comună și veche? Pentru că oricât de veche și comună ar fi, este foarte complicată și foarte simplă, ambele în același timp. Dacă încercați s-o cântăriți, vă va fi foarte ușor. Și când o mâncați, greutatea contează. Dar dacă ați încerca să îi măsurați suprafața? Ei bine, e foarte interesant. Dacă tăiați cu un cuțit ascuțit una din inflorescențele unei conopide și o examinați separat, veți vedea o altă conopidă, dar mai mică. Dacă tăiați iar, și iar, și iar, și iar, și iar. Veți obține tot mici conopide. Experiența omenirii a fost întotdeauna că există unele forme care au proprietatea asta ciudată, adică fiecare parte este ca întregul, dar mai mică. Ce a făcut omenirea cu informația asta? Foarte, foarte puțin. (Râsete)

Eu am studiat această problemă, gâsind ceva destul de surprinzător. Faptul că poți măsura dezordinea printr-un număr, un număr: 2,3 sau 1,2 — câteodată mult mai mult. Într-o zi, un prieten de-al meu, pentru a mă ațâța, a adus o fotografie și mi-a zis: „Cât este dezordinea acestei curbe?” I-am zis: „Aproape 1,5.” Era 1,48. Mi-a luat doar o secundă. Mă uitasem la lucrurile astea atât de mult... Aceste numere sunt numerele care denotă dezordinea acestor suprafețe. Mă grăbesc să spun că aceste suprafețe sunt complet artificiale. Au fost generate pe calculator. Și singura dată de intrare este un număr. Acel număr reprezintă dezordinea. În stânga, am luat gradul de dezordine copiat din multe peisaje. În dreapta, am luat un grad mai mare de dezordine. Ochiul, după un timp, poate distinge între cele două foarte bine.

Umanitatea a trebuit să învețe să măsoare dezordinea. Asta este foarte dezordonată, asta e mai netedă, asta e perfect netedă. Foarte puține lucruri sunt foarte netede. Dacă apoi încerci să pui întrebări: care este suprafața unei conopide? Ei bine, măsori și măsori și măsori. De fiecare dată când te apropii se mărește, până la distanțe foarte, foarte mici. Care este lungimea malurilor acestor lacuri? Cu cât măsori mai atent, cu atât e mai lungă. Conceptul „lungimea malurilor”, care pare a fi atât de natural pentru că este dat în multe cazuri, este, de fapt, o aberație; nu există așa ceva. Trebuie să măsori altfel.

La ce e bun să știi lucrurile astea? Destul de surprinzător, este bine în multe feluri. Pentru început, peisaje artificiale, pe care eu le-am inventat, oarecum, sunt folosite în cinematografie tot timpul. Vedem munți în depărtare. Pot fi munți sau doar formule aruncate acolo. E foarte ușor să faci asta. Pe vremuri dura foarte mult, dar acum e o nimica toată. Priviți — acesta e un plămân adevărat. Plămânul este foarte ciudat. Dacă luați bucata asta, știi foarte bine că are greutate foarte mică. Volumul plămânului e foarte mic. Dar suprafața plămânului? Anatomiștii s-au contrazis mult timp despre asta. Unii zic că un plămân normal bărbătesc are suprafața interiorului unei mingi [teren] de baschet. Alții zic că nu, cinci mingi [terenuri] de baschet. Neînțelegeri enorme. De ce? Pentru că, de fapt, suprafața plămânului e ceva foarte prost definit. Bronhiile au ramificații cu ramuri în ramuri în ramuri. Și se opresc din ramificații, nu datorită unui principiu, ci din considerente fizice: mucusul, care se află în plămâni. În acest fel, ai un plămân mult mai mare, dar dacă se ramifică o face până la distanțe aproape la fel pentru o balenă, pentru un om și pentru un mic rozător.

La ce bun este să ai așa ceva? Ei bine, suprinzător, uimitor, anatomiștii aveau o idee foarte slabă despre structura plămânului până foarte de curând. Și cred că matematica mea, surprinzător, a fost de mare ajutor chirurgilor care studiază boli pulmonare și chiar boli renale, toate sistemele acestea cu ramuri, pentru care nu există geometrie. M-am regăsit, cu alte cuvinte, construind o geometrie, o geometrie a lucrurilor care nu au geometrie. Un aspect surprinzător este că foarte des, regulile geometriei sunt extrem de scurte. Ai formule atât de mici. Și le aplici de câteva ori. De obicei repetat, iar și iar. Aceeași repetiție. Și la sfârșit ai lucruri ca asta.

Acest nor este complet, 100% artificial. Mă rog, 99,9%. Singura parte naturală este numărul, dezordinea norului, care e luată din natură. Ceva atât de complicat ca un nor, așa instabil, variabil, ar trebui să aibă o regulă foarte simplă în spate. Regula asta simplă nu este o explicație a norilor. Observatorul de nori a trebuit să ia notă de acest lucru. Nu știu cât de avansate sunt pozele astea, sunt vechi. M-am implicat foarte mult în asta, dar apoi mi-am întors atenția către alte fenomene.

Iată un alt lucru destul de interesant. Unul din evenimentele nimicitoare ale istoriei matematicii, care nu este apreciat de mulți oameni, s-a întâmplat acum 130, 145 de ani. Matematicienii au început să creeze forme care nu existau. Matematicienii se lăudau singuri într-un mod fenomenal, fiindcă omul poate inventa lucruri de care natura n-are habar. În particular, putea inventa o curbă care umple un plan. O curbă e o curbă, un plan e un plan, cele două nu se amestecă. Ei bine, se amestecă. Un om pe nume Peano a definit astfel de curbe, și au devenit obiectul unui interes extraordinar. A fost foarte important, dar mai degrabă pentru că a creat o ruptură, o separație dintre matematica venită din realitate pe de o parte și noua matematică venită doar din mintea omului. Ei bine, mi-a părut foarte rău să arăt că mintea omului a reușit, de fapt, să vadă în cele din urmă ce se vedea de multă vreme. Astfel am introdus ceva, setul ramurilor unei curbe care umple un plan. Și... ei bine, și asta are o poveste. Între 1875 și 1925 a fost o perioadă extraordinară în care matematica s-a pregătit să iasă din lumea noastră. Și obiectele folosite ca exemple când eram eu copil și student, pentru a evidenția ruptura dintre matematică și realitatea vizibilă — pe aceste obiecte le-am schimbat complet înțelesul. Le-am folosit pentru a descrie unele aspecte ale complexității naturii.

Un om pe nume Hausdorff, în 1919 a introdus un număr care era doar o glumă matematică. Și am găsit că acest număr este o măsură bună pentru dezordine. Când am expus prima dată ideea prietenilor matematicieni mi-au zis „Nu fii stupid. E ceva absurd.” Ei, de fapt, nu era așa. Marele pictor Hokusai știa asta foarte bine. Lucrurile de pe pământ sunt alge. El nu știa matematică, încă nu exista. Și era japonez, fără contact cu Vestul. Dar pictura pentru o bună perioadă avea o parte fractală. Aș putea vorbi despre asta mult timp. Turnul Eiffel are un aspect fractal. Am citit cartea pe care a scris-o dl. Eiffel despre turnul său. Și într-adevăr e uimitor cât de mult a înțeles.

Asta e o harababură, o buclă Browniană. Într-o zi m-am decis ca la jumătatea carierei mele, fiindcă eram constrâns de așa multe lucruri la muncă, am decis să mă testez. Puteam oare să mă uit la ceva pe care toată lumea îl privise multă vreme și să găsesc ceva hotărâtor de nou? Ei bine, m-am uitat la aceste lucruri numite mișcări Browniene — se mișcă aleator. M-am jucat cu asta o vreme, și am făcut-o să se întoarcă la origine. Apoi îi spuneam asistenului: „Nu văd nimic. Poți s-o pictezi?” Și o picta, ceea ce înseamnă că descria întreaga mișcare. El spunea: „Uite ce-a ieșit...” și eu ziceam ”Stop! Stop! Stop! Acum văd: e o insulă.” Și eram uimit. Deci mișcarea Browniană, care se întâmplă să aibă un indice de dezordine de 2, se învârte. Am măsurat-o: 1,33. Iar și iar și iar. Măsurători lungi, mișcări Browniene mari, 1,33. Problemă matematică: cum să dovedesc asta? Le-a luat prietenilor mei 20 de ani. Trei din ei aveau dovezi incomplete. S-au adunat, și împreună au avut dovada. Deci au primit marea medalie [Fields] de matematică, una din cele trei medalii pe care le-au primit oamenii pentru că au dovedit lucruri pe care eu le-am văzut fără să le pot dovedi.

Acum toată lumea mă întreabă la un moment dat: „Cum a început totul? Ce te-a adus în acest domeniu ciudat?” Ce m-a condus să fiu în același timp, inginer mecanic, geograf matematician și fizician, și așa mai departe? Ei bine, a început, destul de dubios, studiind prețurile bursei de valori. Aici aveam această teorie, și am scris cărți despre asta: „Incrementele prețurilor în finanțe”. În stânga vedeți datele de pe o perioadă lungă. La dreapta, sus, vedeți o teorie care e foarte, foarte la modă. A fost foarte ușoară, și poți scrie multe cărți foarte repede despre asta. (Râsete) Sunt mii de cărți despre asta. Compară asta cu incrementele pieței reale: unde sunt acestea? Celelalte linii includ niște incremente reale și niște falsuri făcute de mine. Așadar ideea era că trebuie să poți să — cum se zice? — să modelezi variația prețurilor. Și a mers foarte bine acum 50 de ani. Pentru 50 de ani oamenii mă luau peste picior, pentru că puteau să facă asta mult, mult mai ușor. Dar vă spun, din acest punct, oamenii au început să mă asculte. (Râsete) Aceste două curbe sunt medii. Standard & Poor, cea albastră. Iar cea roșie este al Standard & Poor, dar cu cele mai mari cinci discontinuități scoase. Discontinuitățile sunt o pacoste. În multe studii de prețuri, se pun deoparte. „Acte divine.” Și rămâi cu aceste lucruri neînsemnate. Actele divine din această imagine, cele cinci acte divine sunt la fel de importante ca orice altceva. Cu alte cuvinte, nu actele divine trebuiesc puse deoparte. Asta e esența problemei. Dacă la stăpânești pe astea, stăpânești prețul. Și dacă nu le stăpânești pe astea, poți stăpâni zgomotul mic cât de bine poți, dar e irelevant. Iată curbele pentru ele.

Ajung la ultimul subiect, adică setul de care e atașat numele meu. Într-un fel e povestea vieții mele. Mi-am petrecut adolescența în timpul ocupației germane a Franței. Și de atunci m-am gândit că aș putea să dispar într-o zi sau într-o săptămână, dar aveam vise foarte mari. Și după război, mi-am revăzut un unchi. Unchiul meu era un matematician foarte proeminent și mi-a zis „Uite, e o problemă pe care n-am putut s-o rezolv acum 25 de ani, și pe care n-a rezolvat-o nimeni. Asta e o construcție a unui anume Gaston Julia și unui Pierre Fatou. Dacă ai putea să găsești ceva nou, orice, vei avea o carieră împlinită.” Foarte simplu. Așa că m-am uitat și ca miile de oameni care încercaseră înainte, n-am găsit nimic.

Dar apoi a venit calculatorul. Și am decis să aplic puterea lui nu problemelor noi din matematică — ca acest nimic, asta e o problemă nouă — ci problemelor vechi. Și am trecut de la ce se numea numere reale, care sunt puncte pe linie, la numele imaginare, complexe, care sunt puncte în plan, fiindcă așa se cerea aici. Și a ieșit această formă. Este de o complexitate extraordinară. Ecuația ascunsă aici, z egal cu z pătrat plus c. E așa simplă, așa aridă. Așa neinteresantă. Dacă întorci manivela o dată, de două ori, ies minuni. Adică iese asta. Nu vreau să explic lucrurile astea. Iese asta. Sau asta. Forme de complexitate așa mare, de armonie și frumusețe. Iese asta repetat, iar și iar. Și asta a fost una din marile mele descoperiri, să găsesc că aceste insule erau la fel ca întregul, mai mult sau mai puțin. Și apoi obții aceste decorații baroce extraordinare peste tot. Totul din această mică formulă, care are — câte? — cinci simboluri în ea? Și apoi asta. Culoarea a fost adăugată din două motive. În primul rând, pentru că formele sunt atât de complicate, încât nu se puteau distinge numerele. Dacă le desenezi, trebuie să alegi un sistem. Principiul meu a fost să prezint întotdeauna formele cu culori diferite, pentru că unele culori evidențiază asta, și altele asta sau altceva. E atât de complicat.

(Râsete)

În 1990, eram în Cambridge, Anglia pentru a primi un premiu al universității. Trei zile mai târziu, un pilot a zburat peste peisaj și a găsit asta. De unde-a venit asta? Evident, de la extratereștri. (Râsete) Așadar, ziarul din Cambridge a publicat un articol despre „descoperire” și a primit a doua zi 5000 de scrisori de la oameni care spuneau: „Ăsta e doar un set Mandelbrot foarte mare.”

Ei bine, să termin. Această formă a reieșit dintr-un exercițiu de matematică pură. Minuni fără margini izvorăsc din reguli simple, repetate la nesfârșit.

Mulțumesc foarte mult.

(Aplauze)