Benoit Mandelbrot: Fractais e a arte da rugosidade

Muito obrigado. Desculpem-me, por favor, por me sentar; eu estou muito velho. (Risos) Bem, o tema sobre o qual vou discutir é um que, em certa medida, é muito peculiar porque é muito antigo. A rugosidade é parte da vida humana desde sempre. E autores antigos escreveram sobre ela. Era incontrolável. E, de certa forma, parecia ser de extrema complexidade, uma confusão, confusão e mais confusão. Existem diferentes tipos de confusão. Na verdade, por uma completa casualidade, eu acabei envolvido há muitos anos atrás no estudo dessa forma de complexidade. E para meu grande prazer, encontrei vestígios, vestígios muito fortes, devo dizer, de ordem na rugosidade. Assim, hoje eu gostaria de vos apresentar alguns exemplos do que isso representa. Eu prefiro a palavra "rugosidade" em comparação com a palavra "irregularidade" porque irregularidade, para alguém que aprendeu Latim na minha distante juventude, significa o contrário de regularidade. Mas não é bem assim. Regularidade é o contrário de rugosidade porque o aspecto básico do mundo é muito rugoso.

Portanto permitam-me mostrar-vos alguns objectos. Alguns deles são artificiais. Outros são muito reais, de certo modo. Este por exemplo é real. É uma couve-flor. Agora, porque vos mostro eu uma couve-flor, um legume normal e antigo? Porque ainda que seja antigo, é muito complicado e muito simples, e ambos ao mesmo tempo. Se o tentarem pesar, com certeza que é muito fácil o fazer. E quando o comem, o peso importa. Mas suponhamos que vocês tentam medir a sua superfície. Bem, é muito interessante. Se cortarem, com uma faca afiada, um dos pedaços da couve-flor e olharem para ele separadamente, ele parece-se com uma couve-flor inteira, mas menor. E depois cortam novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente. E continuam a obter pequenas couves-flor. Portanto, a experiência da Humanidade foi sempre ter a noção de que haviam certas formas com esta propriedade peculiar, em que cada parte é como o todo, mas menor. E então, o que fez a Humanidade com isso? Muito, muito pouco. (Risos)

Portanto, o que eu fiz na realidade foi estudar este problema, e encontrei algo bastante surpreendente. É possível medir a rugosidade através de um número, um número, 2,3, 1,2 e algumas vezes muito mais. Um dia, um amigo meu, para me provocar, trouxe-me uma figura, e disse, "Qual é a rugosidade desta curva?" Eu disse, "Bem, um pouco abaixo de 1,5." Era 1,48. Bem, não demorei nada a responder. Eu tenho andado a olhar para estas coisas há tanto tempo. Então, esses números são números que representam a rugosidade dessas superfícies. Eu digo-vos já que estas superfícies são completamente artificiais. Foram feitas através de um computador. E o único parâmetro de entrada é um número. E esse número é a rugosidade. E então no lado esquerdo, eu usei a rugosidade retirada de muitas paisagens. À direita, eu usei uma rugosidade maior. Os olhos, após algum tempo, conseguem muito bem distinguir ambas.

A Humanidade teve que aprender como medir rugosidades. Isto é muito rugoso, e isto é mais macio, e isto é perfeitamente macio. Pouquíssimas coisas são muito macias. Portanto, se tentarem responder a questões do tipo: qual é a superfície de uma couve-flor? Bem, medem e medem e medem. Quanto mais se aproximam, maior ela se torna, até distâncias muito, muito pequenas. Qual é o comprimento da linha de costa destes lagos? Quanto mais perto se mede, maior é o comprimento. O conceito de comprimento de uma costa, que parece ser algo tão natural uma vez que é dado em muitos casos, é, na verdade, completamente falacioso; não existe tal coisa. É preciso proceder de forma diferente.

Qual a vantagem de conhecer estas coisas? Bem, surpreendentemente, é importante de variadas formas. Para começar, paisagens artificiais, conceito que, de certa forma, inventei, são usadas no cinema variadas vezes. Nós vemos montanhas à distância. Podem ser mesmo montanhas, mas podem ser simplesmente fórmulas matemáticas. Agora é muito fácil fazê-las. Antes costumava consumir imenso tempo, mas agora não custa nada. Agora olhem para aquilo. Aquilo é um pulmão real. Um pulmão é algo muito estranho. Se segurarem um, vocês verão o quão leve é. O volume de um pulmão é muito pequeno. E a área de um pulmão? Os anatomistas discutiam muito sobre isso. Alguns dizem que um pulmão masculino tem a mesma área que o interior que uma bola de basquete. E outros dizem, não, 5 bolas de basquete. Grandes discordâncias. E porquê? Porque, na verdade, a área de um pulmão é algo mal definido. Os brônquios dividem-se, dividem-se, dividem-se. E então deixam de se dividir, não devido a alguma questão de princípio, mas devido a questões físicas, o muco, que está no pulmão. O que acontece é que essa é a forma de se conseguir um pulmão maior, mas se ele se divide e divide, até distâncias que são as mesmas para uma baleia, para um homem ou para um pequeno roedor.

Agora, qual será a vantagem de ocorrer isso? Bem, surpreendentemente, curiosamente, os anatomistas tinham uma ideia muito pouco clara da estrutura do pulmão até muito recentemente. E eu penso que a minha matemática, surpreendentemente, foi de grande ajuda aos cirurgiões que estudam as doenças do pulmão e também as doenças do rim, todos esses sistemas que se ramificam, para os quais não havia nenhuma geometria própria. E eu acabei por me encontrar, por outras palavras, a construir essa geometria, uma geometria de coisas que não tinham geometria. E um aspecto surpreendente disto é que, muito frequentemente, as regras desta geometria são extremamente curtas. Há fórmulas deste tamanho. E podem aplicá-las diversas vezes. Às vezes repeditamente, de novo, de novo, de novo. A mesma repetição. E no fim, obtêm coisas como esta.

Esta nuvem é completamente, 100 por cento artificial. Bem, 99,9 por cento. E a única parte que é natural é um número, a rugosidade da nuvem, que é retirado da natureza. Algo tão complicado como uma nuvem, tão instável, tão variável, deveria ter por detrás uma regra simples. Essa regra simples não é uma explicação sobre nuvens. Os observadores de nuvens têm que cuidar dessa parte. Eu não sei o quão avançadas são estas imagens, elas são antigas. Eu estava muito envolvido nisto, mas depois acabei por virar a minha atenção para outros fenómenos.

Agora, aqui está outra coisa que é muito interessante. Um dos eventos mais perturbadores na história da matemática, e que não é valorizado por muitas pessoas, ocorreu há cerca de 130, 145 anos atrás. Os matemáticos começaram a criar formas que não existiam. Os matemáticos auto-elogiavam-se por ser absolutamente incrível que o ser humano pudesse inventar coisas que a natureza não conhecia. Em particular, podia inventar coisas como uma curva capaz de preencher totalmente o plano. Uma curva é uma curva, um plano é um plano, e as duas coisas não se misturaravam. Bem, elas misturam-se. Um homem chamado Peano chegou a definir essas curvas, que se tornaram objecto de um interesse extraordinário. Era muito importante, mas acima de tudo interessante porque era uma espécie de quebra, uma separação, entre a matemática proveniente da realidade, por um lado, e a nova matemática proveniente totalmente da mente humana. Bem, eu senti muito em indicar que a mente humana viu, na verdade, finalmente o que já era visível há muito tempo. E então aqui eu introduzo algo, o conjunto de rios de uma curva que enche o plano. E, bem, esta é uma história em si mesma. Então, de 1875 a 1925, foi um período extraordinário durante o qual a matemática se preparou para se libertar do mundo. E os objectos que foram usados como exemplos, quando eu era uma criança e um estudante, da quebra entre a matemática e a realidade visível, aqueles objectos, transformei-os completamente. Utilizei-os para descrever alguns dos aspectos da complexidade da natureza.

Bem, um homem chamado Hausdorff, em 1919 introduziu o conceito de um número que era como uma piada matemática. E eu descobri que esse número constituía uma boa medida da rugosidade. Quando eu disse isso a primeira vez aos meus amigos matemáticos eles disseram, "Não sejas tolo. Isso é uma tolice". Bem, na verdade, eu não era tolo. O grande pintor Hokusai sabia isso muito bem. As coisas no chão são algas. Ele não conhecia a matemática, ela ainda nem sequer existia. E ele era um japonês sem contacto com o ocidente. Mas a pintura teve, durante muito tempo, um lado fractal. Eu poderia falar sobre isso durante muito tempo. A torre Eiffel tem um aspecto fractal. E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre a sua torre. E, de facto, é impressionante o quanto ele compreendia.

Isto é uma confusão, confusão, laços Brownianos. Um dia decidi, a meio da minha carreira, estava envolvido em tantas coisas no meu trabalho e decidi testar-me. Será que eu poderia olhar para algo que todos tinham estado a ver durante muito tempo e encontrar algo dramaticamente novo? Bem, então eu olhei para estas coisas denominadas de "movimento Browniano", sempre em movimento. Brinquei com isto por algum tempo, e decidi regressar às origens. Então disse ao meu assistente, "Não consigo ver nada. Podes pintá-lo?" Então ele pintou-o, ou seja todo o interior. Ele disse: "Bem, isto foi o que surgiu ..." E eu disse, "Para! Para! Para! Eu vejo, é uma ilha." Surpreendente. Portanto, o movimento Browniano, que acaba por ter um número de rugosidade de 2, continua. Eu medi-o, 1,33. De novo, de novo, de novo. Grandes medições, grandes movimentos Brownianos, 1,33. O problema matemático: como o provar? Custou aos meus amigos 20 anos. Três deles chegaram a provas incompletas. Eles juntaram-se, e juntos chegaram a uma prova. Então receberam o grande prémio da matemática (Medalha Fields) uma das três medalhas recebidas por serem provadas coisas que eu vi não sendo capaz de as provar.

Agora todos me perguntam uma vez por outra, "Como tudo isto começou?" "O que o levou a esta estranha actividade?" O que me fez ser, ao mesmo tempo, um engenherio mecânico, um geógrafo, um matemático, etc., um físico? Bem, na realidade eu comecei, estranhamente, a estudar preços no mercado de acções. E então aqui desenvolvi esta teoria, e escrevi livros sobre isso, aumentos dos preços financeiros. À esquerda vocês vêem dados relativos a um período longo. À direita, no topo, vocês vêem a teoria que é muito, muito elegante. Foi muito simples, e vocês podem escrever rapidamente muitos livros sobre isto. (Risos) Existem milhares de livros sobre isto. Agora comparem isso com os incrementos de preço reais, e onde estão os incrementos de preço reais? Bem, estas outras linhas incluem alguns incrementos de preço reais e alguns dados falsificados que eu fiz. Portanto a ideia era que alguém tem que ser capaz de... como é que vocês dizem? Modelar a variação dos preços. E isto correu mesmo bem há 50 anos atrás. Durante 50 anos as pessoas chatearam-me porque podiam fazer isto de forma muito mais simples. Mas eu digo-vos que, hoje em dia, as pessoas me ouvem. (Risos) Estas duas curvas são médias. Standard & Poor, a azul. E a vermelha, também da Standard & Poor, mas da qual as maiores 5 descontinuidades são retiradas. Agora, as descontinuidades são um incómodo. Portanto, em muitos estudos sobre preços, elas são postas de parte. "Bem, actos de Deus. E vocês passam a ter os pequenos absurdos que sobram. Actos de Deus." Nesta figura cinco actos de Deus são tão importantes como todo o resto. Por outras palavras, não são os actos de Deus que temos que pôr de parte. Eles são o principal, o problema. Se os dominarem, dominam os preços. E se não os dominarem, podem dominar o ruído de fundo tão bem quanto queiram, que não vai ser importante. Bem, aqui estão as curvas.

Agora, eu vou à parte final, que é sobre o conjunto ao qual o meu nome está associado. De certo modo, é a história da minha vida. A minha adolescência foi passada durante a ocupação alemã da França. E porque pensei que poderia desaparecer dentro de um dia ou de uma semana, eu passei a ter grandes sonhos. E depois da guerra, eu vi o meu tio novamente. O meu tio era um matemático muito proeminente e ele disse-me, "Olha, existe um problema que eu não consegui resolver há 25 anos atrás, e que ninguém consegue resolver. Vem de uma construção feita por Gaston Julia e Pierre Fatou. Se conseguisses encontrar algo novo, qualquer coisa, terás a tua carreira feita". Muito simples. Então eu olhei, e tal como as milhares de pessoas que haviam tentado anteriormente, não encontrei nada.

Mas então surgiu o computador. E eu decidi aplicar o computador, não a novos problemas na matemática, como este quebra-cabeça, este é um novo problema, mas sim a problemas antigos. E então mudei daquilo a que chamamos números reais, que são pontos numa linha, para números imaginários, complexos, que são pontos sobre um plano, que é mais o caso aqui. E esta forma surgiu. Esta forma é de uma extraordinária complexidade. A equação está escondida aqui, z igual a z ao quadrado, mais c. Tão simples, tão directo. Tão desinteressante. Agora rodamos a manivela uma vez, duas, duas, e a maravilha surge. Quero dizer, isto surge. Eu não quero explicar essas coisas. Isto surge. Isto surge. Formas que são de uma tal complexidade, tal harmonia e tal beleza. Isto surge repetidamente, de novo, de novo, de novo. E essa foi uma das minhas maiores descobertas que foi descobrir que estas ilhas eram as mesmas que a figura completa, inteira, por assim dizer. E então surgem estas extraordinárias formas decorativas barrocas por toda a parte. Tudo vem desta pequena fórmula, que possui cinco símbolos. E depois este outro. As cores foram acrescentadas por duas razões. Em primeiro lugar, porque estas formas são tão complicadas, que não seria possível retirar nenhum sentido dos números. E se queremos desenhá-las, é preciso escolher um sistema. E então o meu princípio foi apresentar sempre as formas com diferentes cores, porque algumas cores dão ênfase a certas partes, e outras cores a outras partes. É tão complicado.

(Risos)

Em 1990, eu estava em Cambridge, no Reino Unido, para receber um prémio da Universidade. E três dias depois, um piloto estava a sobrevoar a paisagem e encontrou isto. Então, de onde vem isto? Obviamente, de extraterrestres. (Risos) Bem, então o jornal local em Cambridge publicou um artigo sobre essa "descoberta" e recebeu no dia seguinte 5000 cartas de pessoas a dizer, "Mas isso é simplesmente um conjunto de Mandelbrot muito grande."

Bem, deixem-me terminar. Esta forma aqui saiu simplesmente de um exercício de matemática pura. Maravilhas profundas surgem de simples regras, que são repetidas vezes sem fim.

Muito obrigado.

(Aplausos)