Ron Eglash sobre os Fractais Africanos

Eu quero começar minha estória pela Alemanha, em 1877, com um matemático chamado Georg Cantor. Cantor resolveu pegar uma linha e apagar 1/3 dela, pegar essas duas partes restantes, e repetir o mesmo processo, um processo recursivo. Assim ele começa com uma linha, depois duas, e então quatro, dezesseis, assim por diante. E se ele fizesse isso um número infinito de vezes, o que você pode fazer em matemática, ele terminaria com um número infinito de linhas, em que cada uma tem um número infinito de pontos nela. Então ele se deu conta que tinha um conjunto que era maior que o infinito. E isso o enlouqueceu. Literalmente, ele foi parar num sanatório. (Risadas) E então, quando ele saiu do sanatório, estava convencido de que havia sido posto na terra para descobrir a teoria dos conjuntos transfinitos, porque o maior conjunto infinito poderia ser o próprio Deus. Ele era um homem bem religioso. Era um matemático numa missão.

E outros matemáticos fizeram o mesmo tipo de coisa. O matemático suéco, von Koch, decidiu que ao invés de subtrair linhas, ele iria adicioná-las. Então ele obteve esta bela curva. E não há uma razão particular pela qual devamos iniciar com este formato de uma semente; nós podemos utilizar qualquer formato de semente que gostarmos. Eu irei rearranjar isto e colocar noutro lugar - aqui em baixo, Ok - e agora sob interação, aquela forma-semente meio que desdobra-se numa estrutura bem diferente. Assim todas elas têm a propriedade da auto-semelhança: a parte assemelha-se ao todo. É o mesmo padrão em escalas diferentes.

Agora, os matemáticos acharam isso muito estranho, porque a medida que você encolhe uma régua, você mede um comprimento cada vez maior. E desde que passassem por iterações um infinito número de vezes, a medida que a régua encolhe para o infinito, o comprimento vai ao infinito. Isso não fez sentido algum, então eles colocaram essas curvas no final dos livros de matemática. Eles disseram "estas são curvas patológicas e não temos que discuti-las." (Risadas) E isto funcionou por cem anos.

Então, em 1977, Benoit Mandelbrot, um matemático francês, percebeu que se você usa computação gráfica com formas que ele chamou de fractais você obtém as formas da natureza. Você tem os pulmões humanos, tem as árvores acácias, as samambaias, você tem essas belas formas naturais. Se você pega seu dedo polegar e o indicador e olha direto onde eles se encontram - vamos lá e façam agora - e relaxe sua mão, você têm uma ruga, e então uma ruga no enrugamento, e uma ruga num enrugamento. Certo? Seu corpo é coberto com fractais. Os matemáticos que diziam que estas formas eram patológicas e sem uso? Estavam respirando aquelas palavras com pulmões fractais. É muito irônico. E mostrarei uma pequena recursão natural aqui. De novo, nós apenas pegamos as linhas e as substituímos recursivamente com a forma inteira. Então há uma segunda iteração, e uma terceira, quarta e assim por diante.

Então a própria natureza tem esta estrutura dita auto-semelhante. A natureza usa sistemas ditos auto-organizados Mas em 1980, ocorreu de eu perceber que se você pega uma fotografia aérea de uma vila africana, você vê fractais. E eu pensei: "Isso é fabuloso! E me perguntei, por quê?" E, naturalmente, eu tive que ir a África perguntar as pessoas porque. Então ganhei uma bolsa de estudos Fulbright para viajar pela África por um ano perguntando as pessoas porque construiam fractais, o que é um ótimo trabalho, se você pode tê-lo. (Risadas)

E então finalmente cheguei nessa cidade, e tinha feito um pequeno modelo fractal da cidade só para ver como ela se desdobrava - Mas quando cheguei lá, eu estava no palácio do chefe, e meu francês não é muito bom, eu disse algo como, "Eu sou um matemático e gostaria de subir no seu telhado." Mas ele foi muito legal e me levou até lá em cima, e nós conversamos sobre fractais. E ele disse, " Ah, Sim! Nós conheciamos isso: um retângulo dentro de um retângulo, nós já sabíamos tudo sobre isso." E ocorre que a própria insígnia real tinha um retângulo dentro de um retângulo, e o caminho internos pelo palácio é de fato como essa espiral. E a medida que você segue pelo caminho, você precisa ser mais e mais refinado. Então eles mapeiam a escala social numa escala geométrica; é um padrão consciente. Não é inconsciente como o fractal de um formigueiro.

Esta é uma vila no sul da Zambia. Os Ba-Ila construíram esta vila com cerca de 400 metros de diâmetro. Você tem um imenso anel. Os anéis que representam os cercados familiares ficam mais e mais largos à medida que você vai para trás e ai você tem o anel do chefe aqui em direção ao fundo e o anel da família do chefe neste anel. Então aqui está um pequeno modelo disso. Aqui há uma casa com um altar sagrado, aqui a "casa das casas" o cercado familiar, com os humanos aqui onde o altar sagrado deveria estar e aqui a vila como um todo - um anel de anéis de anéis, com a família agregada do chefe aqui, a família do chefe aqui, e aqui há uma minúscula vila desse tamanho. Bem, mas você deve perguntar: "como as pessoas cabem nessa vila desse tamanho?" Isto é porque eles são espíritos. São os ancestrais. E, naturalmente, os espíritos têm uma miniatura da vila, na vila deles, certo? Então assim como Georg Cantor disse, a recursividade continua para sempre.

Esta é nas montanhas de Madra, próximo à borda nigeriana com os Camarões, Mokoulek. Eu vi esse diagrama desenhado por um arquiteto francês, e pensei: "Puxa! Mas que fractal bonito!" Então eu tentei reproduzir essa forma-semente, a qual, sob iteração, iria se desdobrar nessa coisa. E terminei com essa estrutura aqui. Vamos ver, primeira iteração, segunda, terceira, quarta. Mas, depois que realizei a simulação, eu me dei conta que a vila toda se espirala ao redor, desse jeito aqui, e aqui essa linha se replica, uma linha auto-replicante que desdobra-se em fractal. Bem, notei que a linha era apenas onde o prédio quadrado na vila estava. Então, quando cheguei ao povoado, eu disse: " vocês podem me levar até o edifício quadrado? Eu penso que tem algo acontecendo lá." E eles disseram: "Bem, nó podemos te levar até la, mas você não pode entrar porque é um altar sagrado, onde nós fazemos sacrifícios todos os anos para manter os ciclos de fertilidade de nossos campos." E comecei a me dar conta que aqueles ciclos de fertilidade eram como os ciclos recursivos do algoritmo geométrico que constrói a aldeia. E que a recursividade em algumas dessas aldeias continuava até escalas bem pequenas.

Então, aqui é a aldeia Nankani no Mali. E vocês podem ver, você vai dentro do cercado da família você vai lá e aqui potes na lareira, empilhados recursivamente. Aqui estão as cabaças que Issa estava nos mostrando, e elas estão empilhadas recursivamente. Agora, a menor cabaça aqui contém a alma da mulher. E quando ela morre, eles têm uma cerimônia aonde eles quebram essa pilha chamada zalanga e sua alma sai em direção à eternidade. Mais uma vez, infinidade é importante.

Agora, vocês devem se perguntar três questões à essa altura. Esses padrões são universais para todas as arquiteturas indígenas? E essa era de fato minha hipótese original. Quando eu vi pela primeira vez os fractais africanos, Eu pensei, "Uau! Então qualquer povo indígena que não tem uma sociedade estatal, ou aquele tipo de hierarquia, deve ter um tipo de arquitetura de "baixo para cima." Mas isso não se mostrou verdadeiro.

Eu comecei a coletar fotografias aéreas das arquiteturas dos Índios Norte-americanos e do Sul do Pacífico; Apenas as africanas eram fractais. E se você pensa nisso, todas essas diferentes sociedades têm padrões geométricos distintos que elas usam. Então os Índios norte americanos têm uma combinação de simetria circular e quadrangular. Vocês podem ver isso na cerâmica e nas cestaria. Aqui é uma foto aérea de uma das ruínas Anasazi; vocês podem ver que ela é circular em grande escala, mas é retangular em escala menor, certo? não se trata do mesmo padrão em duas escalas diferentes.

Segundo, vocês podem perguntar, Bom, Dr. Eglash, o senhor não está ignorando a diversidade das culturas africanas? E, por três vezes, a resposta é não. Primeiro, eu concordo com o maravilhoso livro de Munmdibe, " A invenção da África", que "África" é uma invenção artificial, primeiro do colonialismo, e depois dos movimentos oposicionistas. Não, porque uma prática de design largamente compartilhada, não te dá necessariamente uma unidade de cultura e definitivamente não está no DNA. E finalmente, fractais têm auto-similaridade -- pois são semelhantes em si, mas não necessariamente similares entre si - você vê diferentes usos de fractais. É uma tecnologia compartilhada na África.

E, finalmente, bem, isso não é apenas intuição? Isso não é realmente conhecimento matemático. Não é possível que africanos usem realmente geometria fractal, certo? Não tinha sido inventada até os anos setenta. Bem, é verdade que alguns fractais africanos são, até onde eu saiba, apenas intuição. Então algumas dessas coisas, de quando andei pelas ruas de Dakar perguntado as pessoas "Qual é o algoritmo ? Qual é a regra para fazer isto?" e elas diziam, Bom, nós apenas fazemos isso porque parece bonito, seu bobo. (Risadas) Mas algumas vezes, não era este o caso. Em alguns casos, de fato, havia algoritmos, e algoritmos sofisticados. Então numa escultura Manghetu, você verá essa geometria recursiva. Nas cruzes etíopes, você vê maravilhosos desdobramentos dessa forma.

Em Angola, o povo Chokwe desenha linhas na areia, e isso é o que o matemático alemão Euler chamou de grafo; nós o chamamos agora um caminho Euleriano - você nunca levanta seu graveto da superfície e nunca pode passar duas vezes sobre a mesma linha. Mas eles fazem isso recursivamente, e o fazem com um sistema graduado por idade, ai os pequenos aprendem esse aqui, os mais velhos aprendem esse outro, então no próximo grau de iniciação, você aprende esse daqui. E com cada iteração do algoritmo, você aprende as iterações do mito. Você aprende o próximo nível de conhecimento.

E finalmente, por toda África, você vê este jogo de tabuleiro. É chamado de Owari em Gana, onde eu o estudei; é chamado de Mancala na costa leste, Bao no Quênia, Sogo em outros lugares. Bem, você vê padrões auto-organizados que espontaneamente ocorrem nesse jogo de tabuleiro. E as pessoas em Gana conheciam estes padrões auto-organizados e usavam eles estrategicamente. Então isso é um conhecimento altamente consciente.

Aqui temos um maravilhoso fractal. Em qualquer lugar que você vá em Sahel, você verá essa tela contra o vento. E, naturalmente, cercas em todo mundo, são todas cartesianas, tudo muito linear. Mas aqui na África, você tem essas escalas não-lineares nas cercas. Então eu segui uma dessas pessoas que faz estas coisas, um cara em Mali nos arredores de Bamako, e perguntei a ele, Como você faz essas cercas fractais? Porque ninguém mais faz. E a resposta dele foi muito interessante. Ele disse: " Bom, se eu morasse na selva, eu usaria apenas gravetos longos, porque são mais rápidos e muito baratos. não leva muito tempo, não precisa de muitos gravetos." Ele disse:" Mas vento e poeira passam através facilmente. Agora, as colunas estreitas no topo, realmente seguram vento e poeira. Mas leva muito tempo, e são necessários muitos gravetos, porque eles estão realmente muito apertados." "Agora, " ele disse: " nós sabemos por experiência que quanto mais longe do chão você vai, mais forte o vento sopra." Certo? É apenas uma análise de custo-benefício Então eu medi o comprimento dos gravetos, coloquei isso numa tabela, obtive a escala exponencial, e isso encaixa quase exatamente na escala exponencial da relação entre velocidade do vento e altura nos livros de engenharia eólica. Ou seja, estes caras acertaram no alvo em termos de uso prático dessa tecnologia de escala.

O mais complexo exemplo de uso algoritmo numa abordagem fractal que eu achei foi, de fato, não em geometria, mas em código simbólico, e este foi na adivinhação de areia Bamana. E a mesma adivinhação é encontrada por toda a África. Você pode achá-la tanto na costa leste quanto oeste, e geralmente os símbolos são bem preservados, então cada um desses símbolos têm quatro bits - é uma palavra de quatro bits - você desenha essas linhas na areia randomicamente, e então começa a contar e se é um número par, você coloca um traço, e se for ímpar, você põe embaixo dois traços. E eles faziam isso muito rápido, e não pude entender de onde estavam pegando -- eles fizeram a parte aleatória apenas quatro vezes. Eu não entendia onde eles estavam pegando os outros 12 símbolos. E eles não estavam me contando. Disseram:" não, não, eu não posso te contar sobre isso" E eu disse" Bom, olha, eu vou te pagar, você se torna meu professor, eu virei aqui a cada dia e lhe pago" Eles disseram:" Não é uma questão de dinheiro, é uma questão religiosa"

E finalmente, já em desespero, eu disse, "Bom, deixa eu te explicar Georg Cantor, em 1877." Eu comecei a explicar porque eu estava lá na África, e eles ficaram muito interessados quando viram o conjunto de Cantor. E um deles disse: " Venha aqui. Eu penso que posso ajudá-lo nisso" E então ele me conduziu ao ritual de iniciação de um sacerdote Bamana. E naturalmente, eu estava interessado apenas na matemática, então todo o tempo, ele sacudia a cabeça, Você sabe, eu não aprendi desse jeito. Mas tive que dormir com uma semente de Cola próximo da minha cama, ser enterrado na areia, e dar sete moedas para os sete leprosos e assim por diante. E finalmente, ele revelou o assunto que interessava. E acontece que se trata de um gerador de números pseudo-randômicos usando caos determinístico. Quando você tem um símbolo de quatro bits, você então põe junto com outro do lado. Então par mais ímpar te dá ímpar. Ímpar mais par te da ímpar. Par mais par te dá par. Ímpar mais ímpar te da par. É uma adição de módulo 2, exatamente como a paridade de bit em seu computador. E então você toma esse símbolo e o coloca de volta então é um auto-gerador de diversidade dos símbolos. Eles estão verdadeiramente usando caos determinístico ao fazerem isso. Agora, porque isso é um código binário, você pode de fato implementar isso em máquinas - que fantástica ferramenta de ensino isto deveria ser nas escolas de engenharia africanas.

E a coisa mais interessante que eu achei sobre isso foi histórica. No século 12, Hugo Santalla trouxe isso dos místicos islâmicos para a Espanha. E lá isso entrou na comunidade dos alquimistas como geomancia: adivinhação através da terra. Esta é uma carta geomântica desenhada pelo rei Richard II em 1390. Leibniz, o matemático alemão, falou sobre geomancia na sua dissertação intitulada "De Combinatoria." E ele disse:" Bom, vamos, ao invés de usar um ou dois traços, vamos usar um e zero, e assim nós podemos contar em base 2." Certo? Uns e zeros, o código binário. Georg Boole pegou o código binário de Leibniz e criou a álgebra booleana, e John von Neumann pegou a álgebra booleana e criou o computador digital. Então todos esses pequenos PDAs e laptops - cada circuito digital no mundo - começou na África. E eu sei que Brian Eno disse que não há muito de África nos computadores; vocês sabem, eu penso que não há muito de história da África em Brian Eno. (Aplausos)

Então deixe-me terminar com apenas algumas palavras sobre as aplicações que achei para isto. E vocês podem ir até nosso website, os aplicativos são todos grátis, eles rodam apenas no navegador. Qualquer um pode usá-los. O programa para a Ampliação na Computação da Fundação Nacional para a Ciência recentemente nos premiou com uma bolsa para fazermos uma versão programável dessas ferramentas de design, então esperamos que em três anos, qualquer um seja capaz de ir até a web e criar suas próprias simulações e seus próprios artefatos. Nós focamos nos Estados Unidos nos estudantes Afro-americanos, bem como nos Indígenas e Latinos. Nós achamos uma melhora estatisticamente significativa com crianças que usaram o software nas aulas de matemática em comparação com um grupo controlado que não teve acesso ao software. É realmente um sucesso ensinar crianças que elas têm uma herança que é sobre matemática que não é apenas sobre cantar e dançar. Nós iniciamos um programa piloto em Gana, tivemos uma pequena ajuda, apenas para ver se as pessoas queriam trabalhar conosco nisso; nós estamos muito animados sobre as possibilidades futuras para isso.

Nós estivemos também trabalhando com design Eu não citei seu nome aqui - meu colega, Kerry, no Quênia, surgiu com essa grande idéia para usar estruturas fractais para os endereços postais nas vilas que têm estrutura fractal, porque se você tenta impor um sistema de grade de código postal numa vila fractal, ele não encaixa bem. Bernard Tschumi na Universidade de Columbia terminou usando isso para o design de um museu de arte africana. David Hughes na Universidade de Ohio escreveu uma cartilha sobre arquitetura afrocêntrica na qual ele usou algumas dessas estruturas fractais.

E, finalmente, eu queria apenas apontar que essa idéia de auto-organização, como nós ouvimos mais cedo, está no cérebro. está no motor de busca do Google. De fato, a razão pela qual o Google foi um sucesso é porque eles foram os primeiros a obter vantagem das propriedades auto-organizativas da web. Está na sustentabilidade ecológica. Está no poder de desenvolvimento do empreendedorismo, na força ética da democracia. Está também em algumas coisas ruins. Auto-organização é o porque da AIDS espalhar-se tão rápido. E se vocês não pensam que capitalismo, o qual é auto-organizado, pode ter efeitos destrutivos, vocês não abriram seus olhos o suficiente. Então precisamos pensar, como foi falado antes, nos métodos africanos tradicionais de auto-organização. Estes são algoritmos robustos. Estes são modos de se realizar auto-organização - de se fazer empreendedorismo que não são agressivos, são igualitários. Então se queremos achar melhores maneiras de fazer este tipo de trabalho, não precisamos procurar mais longe que na África para achar esses robustos algoritmos de auto-organização. Obrigado.