Benoit Mandelbrot: Fractais e a arte da rugosidade

Muito obrigado a todos. Por favor me desculpem por sentar. Eu estou muito velho. (Risos) Bem, o tópico que vou discutir é um que de certo modo é muito peculiar porque é muito antigo. Irregularidade é parte da vida humana para sempre e sempre. E autores antigos escreveram sobre isso. Era muito incontrolável. E de certo modo, parecia ser de extrema complexidade, uma verdadeira bagunça, uma desordem. Há muitos tipos diferentes de bagunça. Agora, de fato, por uma completa casualidade, fiquei envolvido muitos anos atrás num estudo desta forma de complexidade. E para minha surpresa, encontrei vestígios -- vestígios muito fortes, devo dizer -- de ordem nestas rugosidades. E então hoje, gostaria de apresentá-los uns poucos exemplos do que eles representam. Eu prefiro a palavra rugosidade à palavra irregularidade porque irregularidade -- para alguém que tem latim no meu longínquo passado jovem -- significa o contrário de regularidade. Mas não é só. Regularidade é o contrário de rugosidade porque o aspecto básico do mundo é muito áspero.

Então deixe me mostrar-lhes alguns objetos. Alguns deles artificiais. Outros são muito reais, de certo modo. Este é um real. É uma couve flor. Agora, por que mostro uma couve flor, um vegetal muito comum e antigo? Porque velho e antigo como ele é, é bastante complicado e muito simples ao mesmo tempo. Se tentar pesá-lo, é claro que é muito simples pesá-lo. E quando você o come, o peso interessa. Mas suponha que você tente medir sua superfície. Bem, é muito interessante. Se cortá-lo, com uma faca afiada, um dos floretes de uma couve flor e olhá-la separadamente, você percebe uma outra couve flor, só que menor. E então corta-a novamente, de novo, de novo, de novo, de novo. E ainda vai ter pequenas couve flores. Então a experiência da humanidade tem sempre sido que há algumas formas que tem esta propriedade peculiar, que cada parte é como o todo, porém menor. Agora, o que a humanidade faz com isso? Muito, muito pouco. (Risos)

Então o que tenho feito é estudar este problema, e encontrei algo muito surpreendente. Que alguém pode medir a rugosidade por número, um número, 2.3, 1.2 e às vezes muito mais. Um dia, um amigo meu, para me sacanear, trouxe uma foto, e disse, 'Qual é a irregularidade desta curva?' Eu disse, "Bem, é quase 1.5." Era 1.48. Agora, não levou tempo algum. Tenho observado estas coisas há tanto tempo. Portanto esses números são os números que denotam a rugosidade destas superfícies. Apresso-me a dizer que estas superfícies são completamente artificiais. Elas foram feitas num computador. E a entrada é apenas um número. E esse número é rugosidade. Então à esquerda, peguei a rugosidade copiada de muitas paisagens. À direita, peguei uma rugosidade maior. Portanto o olho, depois de um momento, pode distinguir essas duas muito bem.

A humanidade tem que aprender sobre como medir a rugosidade. Isto é muito rugoso, e isto é um pouco liso, e isto é perfeitamente liso. Muito poucas coisas são muito lisas. Então se você tentar perguntar: qual é a superfície de uma couve flor? Bem, você mede e mede e mede. Cada vez que você se aproxima, se torna maior, abaixo de muita, e menores distâncias. Qual é o comprimento da costa destes lagos? Quanto mais próximo você mede, maior ela se torna. O conceito de comprimento da costa, que parece ser tão natural porque é dado em muitos casos, é, de fato, uma completa falácia; não existe isso. Você deve fazer diferentemente.

Que benefício há, em saber estas coisas? Bem, surpreendentemente, é bom de muitas formas. Para começar, paisagens artificiais, algumas que eu mesmo inventei, são usadas no cinema todo o tempo. Vemos montanhas a distânia. Podem ser montanhas, mas podem ser somente fórmulas, somente dobradas. Agora é muito fácil fazer. Costumava tomar muito tempo, mas agora não é nada. Agora olhe para isso. É um pulmão verdadeiro. Um pulmão é algo muito estranho. Se pegar isto, sabe que pesa muito pouco. O volume de um pulmão é muito pequeno. Mas e sobre a área do pulmão? Anatomistas argumentavam muito sobre isso. Alguns disseram que um pulmão masculino tem a área interna de uma bola de basquete. E outros dizem, não, cinco bolas de basquete. Divergências enormes. Por que então? Porque, de fato, a área do pulmão é algo muito mal definido. Os brônquios ramificam, ramificam. E eles param de ramificar, não por questão de princípio, mas por causa de considerações físicas, o muco, que está no pulmão. Então o que acontece é que de algum modo você tem um pulmão maior, mas se ele ramifica e ramifica, até distâncias quase como para uma baleia, para um homem e para um pequeno roedor.

Agora, que benefício há em ter isso? Por que surpreendentemente, espantosamente, os anatomistas tiveram pouca idéia da estrutura do pulmão até muito rencentemente. E acho que a minha matemática, surpreendentemente, foi de grande ajuda para os cirurgiões estudanto doenças pulmonares e também doenças renais, todos estes sistemas de ramificações, para os quais não havia geometria. Então me acho, em outras palavras, constuindo uma geometria, uma geometria de coisas que não tinham geometria. E um aspecto surpreendente disso é que frequentemente, as regras desta geometria são muito curtas. Você tem fórmulas grandes. E você oscila várias vezes. Algumas vezes repetidamente, de novo, e de novo. A mesma repetição. E no final você tem as coisas deste jeito.

Esta nuvem é completamente, 100 por cento artificial. Bem, 99.9. E a única parte que é natural é um número, a rugosidade da nuvem, que foi tirada da natureza. Algo tão complicado como uma nuvem, tão instável, tão variável, deveria ter uma regra simples por trás. Agora esta regra simples não é uma explicação das nuvens. O mar de nuvens teria que tomar conta disso. Não sei quão avançadas estas fotos são, elas são muito antigas. Eu estava muito envolvido nisso, mas então foquei minha atenção a outro fenômeno.

Agora, aqui há outra coisa que é ainda mais interessante. Um dos eventos de ruptura na história da matemática, que não é conhecido por muitas pessoas, ocorreu há cerca de 130 anos, 145 anos atrás. Matemáticos começaram a criar formas que não existiam. Matemáticos se auto elogiaram de uma forma que foi absolutamente surpreendente que o homem pode inventar coisas que a natureza não conhecia. Em particular, podia inventar coisas como uma curva que preenche o plano. Uma curva é uma curva, um plano é um plano, e os dois não se misturarão. Bem, eles se misturam. Um homem chamado Peano definiu estas curvas, e se tornou um objeto de interesse extraordinário, Foi muito importante, mas principalmente interessante por causa um tipo de quebra, uma separação entre os matemáticos vindo de uma realidade de um lado e novos matemátios vindo de uma mente puramente humana. Bem, estou muito triste de dizer isso que a mente puramente humana tem, de fato, visto por uma longa duração o que tem sido visto por longo tempo. E aqui eu introduzo alguma coisa, o conjunto de rios de uma curva enchendo um plano. E bem, é uma estória em si mesmo. Então era de 1875 a 1925, um período extraordinário em que matemáticos se prepararam para se separar do mundo. E os objetos que eram usados como exemplos, quando eu era uma criança e um estudante, um exemplo da separação entre os matemáticos e a realidade visível -- aqueles objetos, Eu os virei completemente ao redor. Eu os usava para descrever alguns dos aspectos da complexidade da natureza.

Bem, um homem chamadao Hausdorff em 1919 introduziu um número que era só uma brincadeira matemática. E eu achei que este número era uma boa medida de rugosidade. Logo que eu falei aos meus amigos matemáticos eles disseram, 'Não seja idiota. Isso é qualquer coisa.' Na verdade, eu não estava enganado. O pintor Hokusai sabia bem disso. As coisas no chão são algas. Ele não sabia matemática; ela ainda não existia. E ele era um japonês que não teve contato com o ocidente. Mas pintando por muito tempo, tinha um lado fractal. Eu poderia falar sobre isso por um longo tempo. A Torre Eiffel tem um aspecto fractal. E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre sua torre. E realmente é impressionante como ele entendia.

Esta é uma bagunça, confusão, bagunça, loop browniano. Um dia decidi que no meio da minha carreira, eu estava com tantas coisas no meu trabalho, decidi me testar. Poderia eu olhar para alguma coisa que todos tivessem olhado por um longo tempo e encontrar alguma coisa dramaticamente nova? Bem, então olhei para estas coisas chamadas movimentos Brownianos -- apenas giram em torno. Brinquei com isso por um tempo, e fiz retornar a sua origem. Então disse ao meu assistente, "Não vi nada. Pode pintá-lo?" Então ele pintou, o que significa ele pôs tudo dentro sozinho. E disse: "Bem, esta coisa saiu.." eu disse, "Pare! Pare! Pare! eu vejo, é uma ilha." E maravilhosa. Então movimento Browniano, que costuma ter uma rugosidade de número dois, está próximo. E a medi, 1.33. Novamente, novamente, novamente. Grandes medições, grandes movimentos Brownianos, 1.33. Problema matemático: como prová-lo? Meus amigos levaram 20 anos. Três deles tiveram provas incompletas. Eles conseguiram juntos, e juntos tiveram que provar. Então eles tiveram a grande [medalha Fields] em matemática, uma das três medalhas que as pessoas receberam por provar coisas que eu vi sem serem capazes de provar.

Agora todos me perguntam de uma forma ou de outra, "Como tudo começou? O que te levou a esse negócio estranho?" O que me levou a ser, ao mesmo tempo, um engenheiro mecânico, um geógrafo e um matemático e por aí vai, um físico? Bem, na verdade eu comecei, estranhamente, estudando preços de mercado. E então aqui tinha esta teoria, eu escrevi livros sobre isso, Incrementos de preços financeiros. À esquerda você vê dados de um longo período. À direita, acima, você vê uma teoria que é muito, muito moderna. Era muito fácil, e você pode escrever muitos livros rapidamente sobre isso. (Risos) Há milhares de livros sobre isso. Agora compare aquilo com incrementos de preços reais. e onde estão os incrementos de preços reais? Bem, estas outras linhas incluem alguns incrementos de preços reais e algumas falsificações que eu fiz. Então a idéia lá era que alguém deve ser capaz de -- como diria? -- fazer um modelo de variação de preço. E foi muito bem 50 anos atrás. Por 50 anos pessoas me glorificaram poque podiam fazê-lo muito, muito mais fácil. Mas eu digo, neste ponto, as pessoas me ouviam. (Risos) Estas duas curvas são médias. Standard & Poor, o azul. E a vermelha é da Standard & Poor, das quais as cinco maiores descontinuidades são retiradas. Agora descontinuidades são um transtorno. Então em muitos estudos de preços, alguém as colocou de lado. "Bem, atos de Deus. E você tem um pouco da besteira que resta. Atos de Deus." Nesta foto cinco atos de Deus são tão importantes quanto qualquer coisa. Em outras palavras, não são atos de Deus que poderiamos colocar de lado. Esta é a carne, o problema. Se dominar isto, domina o preço. E se não dominar isto, você pode dominar o barulho, assim como pode, mas não é importante. Bem, aqui estão as curvas para isto.

Agora, chego ao final, que é a série na qual meu nome está ligado. De certo modo é a história da minha vida. Minha adolescência aconteceu durante a ocupação Alemã na França. E desde que pensei que poderia desaparecer em um dia ou uma semana, eu tive muitos sonhos. E depois da guerra, vi um tio novamente. Meu tio era um matemático muito proeminente e me disse, "Olhe, há um problema que eu não podia resolver há 25 anos atrás, e que ninguém podia resolver. Esta é uma construção de um homem chamado (Gaston) Julia e (Pierre) Fatou. Se puder encontrar algo novo, qualquer coisa, você tem sua carreira feita.' Muito simples. Então olhei, e como milhares de pessoas que tentaram antes, não encontrei nada.

Mas aí veio o computador. E decidi aplicar o computador, não em novos problemas de matemática -- como um maluco, este é um novo problema -- mas a problemas antigos. E fui para os chamados números reais, que são pontos em uma linha, para imaginários, números complexos, que são pontos em um plano, que é o que alguém deveria fazer. E esta forma apareeu. Esta forma é de uma complexidade extraordinária. A equação está escondida lá, z é z ao quadrado, mais c. É tão simples, tão seco. Tão desinteressante. Aí você gira a manivela uma, duas vezes, duas vezes, a maravilha aparece. Quero dizer isto aparece. Não quero explicar estas coisas. Isto aparece. Isto aparece. Formas que são de tal complexidade, tal harmonia e tal beleza. Isto aparece repetidamente, de novo, de novo, de novo. E esta foi uma das minhas maiores descobertas que estas ilhas eram as mesmas que o todo, mais ou menos. E aí você tem estas decorações extraordinariamente barrocas por todo o lugar. Todas desta pequena fórmula, que tem somente, cinco símbolos. E então este. A cor foi colocada por duas razões. Primeiro de tudo, por causa das formas serem tão complicadas, para o caso de não poderem entender os números. E se marcá-las, deve escolher algum sistema. E então meu princípio tem sido sempre apresentar as formas com cores diferentes, porque algumas cores enfatizam isto, e outras isto ou aquilo. É tão complicado.

(Risos)

Em 1990, eu estava em Cambridge, Reino Unido. para receber um prêmio da universidade. E três dias depois, um piloto estava voando sobre uma paisagem e encontrou isso. Então de onde veio isso? Óbviamente, de extraterrestres. (Risos) Bem, então o jornal de Cambridge publicou um artigo sobre aquela "descoberta" e recebeu no outro dia 5.000 cartas de pessoas dizendo, 'Mas é simplesmente uma forma de Mandelbrot muito grande.'

Bem, deixe-me terminar. Esta forma só apareceu de um exercício puramente matemático. Maravilhas surpreendentes surgem de regras simples, que são repetidas infinitamente.

Muito obrigado a todos.

(Aplausos)