Ron Eglash over Afrikaanse fractals

Ik wil mijn verhaal beginnen in Duitsland, in 1877, met een wiskundige genaamd Georg Cantor. Cantor besloot om een lijn te nemen, het middelste derde te wissen, en op de twee resterende lijnen hetzelfde proces toe te passen, recursief. Hij begint dus met één lijn, dan twee, dan vier, dan 16 enzovoort. Als hij dat een oneindig aantal keren doet, wat kan in de wiskunde, krijgt hij een oneindig aantal lijnen, met elk een oneindig aantal punten. Hij besefte dat hij dus een verzameling had die een groter dan oneindig aantal elementen had. Hij werd er gek van. Letterlijk. Hij werd opgenomen in een gekkenhuis. (Gelach) Toen hij uit het gekkenhuis kwam, was hij ervan overtuigd dat zijn missie op aarde was om de verzamelingenleer uit te vinden, omdat de grootste oneindige verzameling God zelf zou zijn. Hij was een diepreligieus man. Hij was een wiskundige met een missie.

Andere wiskundigen deden iets gelijkaardigs. Von Koch, een Zweedse wiskundige, besloot om in plaats van lijnen af te trekken, er toe te voegen. Dat leverde hem deze mooie curve op. Er is geen enkele reden waarom we met deze startvorm moeten starten, we kunnen om het even welke startvorm gebruiken. Ik schik dit wat anders en stop dit ergens -- daarbeneden, en nu ontvouwt de startvorm zich tot een structuur die er heel anders uitziet. Ze hebben allemaal de eigenschap dat ze zelfgelijkvormig zijn: elk deel lijkt op het geheel. Het is hetzelfde patroon op vele verschillende schalen.

Wiskundigen vonden dit erg vreemd, want als je een lat verkleint, meet je een steeds langere lengte. En vermits ze de iteraties een oneindig aantal keren toepasten, ging de lengte naar oneindig naarmate de lat tot oneindig kromp. Dit had helemaal geen zin, dus verbanden ze deze grafieken naar het slot van de wiskundeboeken. "Dit zijn pathologische grafieken, en die moeten we niet bespreken." (Gelach) Dat werkte honderd jaar lang.

In 1977 besefte Benoît Mandelbrot, een Franse wiskundige, dat als je computer graphics loslaat op vormen die hij fractals noemde, je uitkomt bij de vormen van de natuur. Je krijgt menselijke longen, acaciabomen, varens, je krijgt deze mooie natuurlijke vormen. Als je kijkt naar de plek waar je duim en wijsvinger samenkomen -- dat kan je nu even doen -- en je ontspant je hand, dan zie je een kronkel, en dan een rimpel in de kronkel, en een kronkel in de rimpel. Niet? Je lichaam zit vol fractals. De wiskundigen die beweerden dat het pathologisch nutteloze vormen waren? Die ademden deze woorden uit met fractale longen. Het is ironisch. Ik toon je nu een kleine natuurlijke recursie. We nemen deze lijnen en vervangen ze recursief door de volledige vorm. Hier is de tweede iteratie, en de derde, vierde, enzovoort.

De natuur kent deze zelfgelijkvormige structuren. De natuur gebruikt zelforganiserende systemen. In de jaren '80 viel het mij toevallig op dat, als je naar een luchtfoto van een Afrikaans dorp kijkt, je fractals ziet. Ik dacht: "Dit is ongelooflijk! Waarom is dat zo?" Dus ging ik naar Afrika om de mensen te vragen waarom. Ik kreeg een Fulbright-beurs om een jaar lang door Afrika te reizen en mensen te vragen waarom ze fractals bouwden, wat een heerlijke baan is, als je ze kunt krijgen. (Gelach)

Ik kwam dus in deze stad aan. Ik had een klein fractaal model voor de stad gemaakt om te zien hoe het zich zou ontwikkelen -- maar toen ik aankwam, bij het paleis van de chef -- mijn Frans is niet zo goed, dus ik zei iets in de trant van: "Ik ben wiskundige en ik zou graag op uw dak staan." Hij reageerde prima. Hij nam me mee naar boven en we praatten over fractals. Hij zei: "Oh ja, ja! We wisten van een rechthoek in een rechthoek, dat weten we allemaal." Blijkt dat op het koninklijk blazoen een rechthoek in een rechthoek in een rechthoek staat, en dat het pad door dat paleis deze spiraal hier is. Naarmate je het pad volgt, moet je alsmaar beleefder worden. Ze leggen de sociale ladder dus op de geometrische ladder. Het is een bewust patroon. Het is niet onbewust, als een termietenheuvelfractal.

Dit is een dorp in zuidelijk Zambia. De Ba-lla hebben dit dorp van ongeveer 400 meter diameter gebouwd. Je hebt een heel grote ring. De ring die de familiekralen vertegenwoordigt, wordt alsmaar groter naarmate je naar achteren gaat. Hier achteraan heb je de kraal van de chef, en in die ring zit de naaste familie van de chef. Hier is een klein fractalmodel. Hier is een huis met het heilige altaar, hier is het huis der huizen, de familiekraal, met de mensen waar anders het heilige altaar is, en hier is het dorp als geheel, een kraal van kralen, met hier de uitgebreide familie van de chef, hier de naaste familie van de chef, en hier is een klein dorpje, maar zo groot. Je vraagt je misschien af hoe mensen passen in zo'n klein dorpje. Dat komt omdat het geestmensen zijn. Het zijn de voorouders. En de geestmensen hebben natuurlijk ook een minidorp in hun dorp, OK? Georg Cantor had dus gelijk, de recursie gaat eeuwig door.

Dit zijn de Mandarabergen, nabij de grens met Nigeria in Kameroen, Mokoulek. Ik zag dit plan getekend door een Franse architect, en ik dacht: "Wow! Wat een mooie fractal!" Ik probeerde een basisvorm te vinden die na iteratie hierin zou resulteren. Ik kwam uit bij deze structuur. Even kijken, eerste iteratie, tweede, derde, vierde. Na de simulatie besefte ik dat het hele dorp zowat kronkelt, precies zo, en hier is de lijn die zich herhaalt, een zelfherhalende lijn die zich ontwikkelt tot de fractal. Ik merkte dat de lijn zich bevindt waar het enige vierkante gebouw van het dorp is. Toen ik aankwam in het dorp, zei ik: "Kan je me naar het vierkante gebouw brengen? Ik denk dat daar wat aan de hand is." Ze zeiden: "We kunnen je erheen brengen, maar je mag niet naar binnen, want dat is het heilige altaar, waar we elk jaar offers brengen om de jaarlijkse vruchtbaarheidscycli van de velden gaande te houden." Ik besefte dat de vruchtbaarheidscycli leken op de recursieve cycli in het geometrische algoritme dat dit bouwt. De recursie herhaalt zich in sommige dorpen tot op zeer kleine schaal.

Hier is een Nankani-dorp in Mali. Je ziet het, je gaat binnen in de familiekraal -- je gaat binnen en hier zijn potten in de haard die recursief gestapeld zijn. Hier zijn kalebassen die Issa ons daarnet toonde, en ze zijn recursief gestapeld. De kleinste kalebas hier bevat de ziel van de vrouw. Als ze sterft, houden ze een ceremonie. Ze breken deze stapel, de zalanga, en haar ziel stijgt op naar de eeuwigheid. Nogmaals, oneindigheid is belangrijk.

Je kan je op dit punt drie vragen stellen. Zijn deze schaalpatronen niet universeel in alle inheemse architectuur? Dat was mijn oorspronkelijke hypothese. Toen ik deze Afrikaanse fractals voor het eerst zag, dacht ik: "Wow, dus inheemse groepen die een maatschappij zonder staat hebben, zonder die hiërarchie, hebben dus een soort architectuur van onderuit." Maar dat blijkt niet waar te zijn.

Ik begon luchtfoto's te verzamelen van Indiaanse architectuur en uit het Stille Zuidzeegebied. Alleen de Afrikaanse waren fractal. Als je erover nadenkt zie je dat deze maatschappijen verschillende geometrische motieven gebruiken. Indianen gebruiken een combinatie van circulaire symmetrie en viervoudige symmetrie. Je ziet het op de potten en de manden. Hier is een luchtfoto van een ruïne van de Anasazi. Je ziet dat het op de grootste schaal circulair is, maar het is rechthoekig op kleinere schaal. Het is niet hetzelfde patroon op twee verschillende schalen.

Ten tweede kan je vragen: "Dr. Eglash, gaat u niet voorbij aan de diversiteit van de Afrikaanse culturen?" Het antwoord is drie keer neen. Ten eerste ben ik het eens met Mudimbe's fantastische boek "De uitvinding van Afrika": Afrika is een kunstmatige uitvinding, eerst van het kolonialisme, en daarna van oppositiebewegingen. Nee, omdat een breed gedragen ontwerppraktijk niet noodzakelijk tot ééngemaakte cultuur leidt -- en het zit zeker niet in het DNA. Tenslotte zijn fractals zelfgelijkvormig -- ze lijken dus op zichzelf, maar ze lijken niet noodzakelijk op elkaar -- je ziet heel verschillende toepassingen van fractals. In Afrika is het een gemeenschappelijke technologie.

Tenslotte, is dit niet gewoon intuïtie? Het is niet echt wiskundige kennis. Het kan toch niet dat Afrikanen fractale geometrie gebruiken, niet? Het is pas in de jaren '70 uitgevonden. Het is waar dat sommige Afrikaanse fractals wat mij betreft pure intuïtie zijn. Voor sommige dingen wandelde ik door de straten van Dakar, en vroeg ik mensen: "Wat is het algoritme? Wat is de regel om dit te maken?" Ze zeiden: "We maken het gewoon zo omdat het er goed uitziet, stomkop!" (Gelach) Maar soms is dat niet zo. Soms waren er wel algoritmen, en wel erg gesofisticeerde algoritmen. In de sculpturen van de Mangbetu zie je deze recursieve geometrie. In Ethiopische kruisen zie je deze vorm die zich wonderlijk ontwikkelt.

In Angola tekenen de Chokwe lijnen in het zand. Het is wat de Duitse mathematicus Euler een graaf noemde. We noemen het nu een Euler-pad -- je mag je stift niet van de oppervlakte optillen en je mag nooit twee keer over dezelfde lijn gaan. Ze doen het recursief, en volgens een leeftijdsklasseysteem. Kleine kinderen leren deze, oudere kinderen leren deze, en bij de initiatie van de volgende leeftijdsklasse leer je deze. Bij elke iteratie van dat algoritme leer je de iteraties van de mythe. Je leert het volgende kennisniveau.

Tenslotte zie je over heel Afrika dit bordspel. Het heet Owari in Ghana, waar ik het bestudeerde. Het heet Mancala hier op de oostkust, Bao in Kenya, elders Sogo. Je ziet zelforganiserende patronen die spontaan voorkomen in dit bordspel. De mensen in Ghana kenden deze zelforganiserende patronen en gebruikten ze strategisch. Dit is dus heel bewuste kennis.

Hier is een wonderlijke fractal. Waar je ook gaat in de Sahel zie je dit windscherm. Overal ter wereld zijn hekken Cartesiaans, strikt lineair. Maar hier in Afrika zie je deze niet-lineare hekken. Ik kwam één van de mensen op het spoor die deze dingen maken, een man in Mali net buiten Bamako, en ik vroeg hem: "Waarom maak je fractale hekken? Niemand anders doet dat." Zijn antwoord was zeer interessant. "Wel, als ik in de jungle zou leven, zou ik alleen de lange rijen stro gebruiken, want die zijn heel snel en heel goedkoop. Je hebt niet veel tijd nodig, en niet veel stro. Maar de wind en het stof raken er gemakkelijk door. De dichte rijen helemaal bovenaan, die houden de wind en het stof tegen. Daar heb je veel tijd en veel stro voor nodig, want die zijn heel dicht. We weten uit ervaring dat hoe verder van de grond je gaat, hoe sterker de wind waait." Het is dus gewoon een kosten-batenanalyse. Ik mat de lengte van het stro, ik zette het op een log-log-grafiek, rekende de herschalingexponent en die is bijna exact gelijk aan de herschalingsexponent van de relatie tussen wind en hoogte in een handboek windingenieurskunst. Deze lui zijn dus goed op weg om praktisch gebruik te maken van herschalingstechnologie.

Het meest complexe voorbeeld van een algoritmische benadering van fractals vond ik niet in meetkunde maar in een symbolische code, namelijk zandwaarzeggerij bij de Bamana. Je vindt hetzelfde waarzeggingssysteem overal in Afrika. Je vindt het op de Oostkust en op de Westkust, en de symbolen zijn vaak goed bewaard, ze hebben elk vier bits -- het is een binair woord van vier bits -- je trekt deze lijnen willekeurig in het zand, en telt dan terug. Is het oneven, dan trek je één lijn, is het even, dan trek je twee lijnen. Ze deden dit heel snel en ik snapte niet waar ze heengingen -- ze deden het willekeurige stuk maar vier keer -- ik snapte niet waar de andere 12 symbolen vandaan kwamen. Ze wilden het me niet zeggen. Ze zeiden: "Nee, nee, ik kan het je niet vertellen. Ik zei: "Kijk, ik betaal je, je kan mijn leraar zijn en ik zal je elke dag komen betalen." Ze zeiden: "Het is geen kwestie van geld. Het is een kwestie van religie."

Ten einde raad zei ik: "Laat me jullie Georg Cantor in 1877 uitleggen." Ik begon uit te leggen waarom ik in Afrika was, en ze werden opgewonden toen ze de Cantorverzameling zagen. Eén van hen zei: "Kom hier, ik denk dat ik je kan helpen." Hij leidde me door het initiatieritueel van een Bamanapriester. Ik was natuurlijk alleen in de wiskunde geïnteresseerd, en hij bleef de hele tijd met zijn hoofd schudden: "Weet je, zo heb ik het niet geleerd." Ik moest slapen met een kolanoot naast mijn bed, begraven in het zand, en ik moest zeven munten geven aan de zeven melaatsen enzovoort. Uiteindelijk onthulde hij de waarheid. Het blijkt een pseudo-random getallengenerator te zijn die deterministische chaos gebruikt. Als je een symbool met 4 bits hebt, combineer je het zijdelings met een ander. Even plus oneven is oneven. Oneven plus oneven is oneven. Even plus even is even. Oneven plus oneven is even. Het is modulo 2 optellen, net zoals in de parity bit check van je computer. Vervolgens neem je dit symbool en introduceert het opnieuw. Zo ontstaat vanzelf diversiteit van symbolen. Ze gebruiken daarbij echt een soort deterministische chaos. Omdat het een binaire code is, kan je dit implementeren in hardware. Dat zou een fantastisch onderwijsinstrument voor Afrikaanse ingenieursscholen zijn.

Het meest interessante dat ik erover ontdekte was historisch. In de 12e eeuw bracht Hugo van Santalla dit vanuit de islamitische mystici mee naar Spanje. Het vond zijn weg naar de alchemistische gemeenschap als geomantie: voorspellingen op basis van de aarde. Dit is een geomantische kaart die in 1390 voor Koning Richard II werd getekend. Leibniz, de Duitse wiskundige, had het over geomantie in zijn verhandeling "De Combinatoria". Hij zei: "In plaats van één zet en twee zetten kunnen we een één en een nul gebruiken, en we tellen met machten van twee." OK? Enen en nullen, het binaire talstelsel. George Bool nam het binaire talstelsel van Leibniz en creëerde de Booleaanse algebra. John von Neumann nam de Booleaanse algebra en creëerde de digitale computer. Al deze kleine PDA's en laptops -- elk digitaal circuit ter wereld -- vinden hun oorsprong in Afrika. Ik weet dat Brian Eno zegt dat er niet genoeg Afrika in computers zit. Ik denk dat er niet genoeg Afrikaanse geschiedenis in Brian Eno zit. (Applaus)

Laat me eindigen een kort woordje over toepassingen die we hiervoor vonden. Je kan naar onze website gaan, de applets zijn gratis. Ze draaien in de browser. Iedereen ter wereld kan ze gebruiken. Het Programma voor Bredere Participatie in Computers van de Nationale Wetenschapsstichting heeft ons recent geld gegeven om een programmeerbare versie te maken van deze ontwerptools. Over drie jaar zal hopelijk iedereen op het internet zijn eigen simulaties en artefacten kunnen maken. In de VS hebben we ons gericht op Afrikaans-Amerikaanse studenten, Native Americans en Latino's. We hebben statistisch significante verbetering gezien bij kinderen die deze software gebruiken in de wiskundeles, vergeleken met een controlegroep die de software niet heeft. Je krijgt een heel goed resultaat door kinderen te vertellen dat ze erfgoed hebben dat over wiskunde gaat, niet alleen over zingen en dansen. We startten een pilootprogramma in Ghana. We hebben een startbeurs, om te zien of mensen samen met ons hieraan willen werken. We vinden de toekomstige mogelijkheden daarvan heel spannend.

We werken ook in design. Ik heb zijn naam niet vermeld -- mijn collega Kerry, in Kenya, heeft een fantastisch idee om een fractaalstructuur te gebruiken voor de postadressen van dorpen met een fractaalstructuur. Want als je een rasterstructuur probeert op te leggen aan het postsysteem van een fractaal dorp, dan past dat niet goed. Bernard Tschumi van Columbia University heeft dit gebruikt in een ontwerp voor een museum van Afrikaanse kunst. David Hughes van Ohio State University heeft een inleiding tot de Afrocentrische architectuur geschreven waarin hij sommige van deze fractaalstructuren gebruikt.

Tenslotte wilde ik aanstippen dat deze idee van zelforganisatie, zoals we al hoorden, in het brein zit. Ze zit in de Google-zoekrobot van het brein. De reden waarom Google een succes was, is omdat ze de eersten waren om gebruik te maken van de zelforganiserende eigenschappen van het web. Het zit in ecologische duurzaamheid. Het zit in de ontwikkelende kracht van ondernemerschap, in de ethische kracht van democratie. Het zit ook in een paar slechte dingen. Zelforganisatie verklaart waarom AIDS zich zo snel verspreidt. Als je denkt dat kapitalisme, dat zelforganiserend is, geen vernietigend effect kan hebben, dan heb je je ogen niet voldoende open gehad. We moeten dus nadenken, zoals al eerder gezegd, over de traditionele Afrikaanse methodes van zelforganisatie. Het zijn robuuste algoritmes. Er zijn manieren om aan zelforganisatie -- aan ondernemerschap -- te doen die zacht en egalitair zijn. Als we een betere manier willen vinden om dat soort werk te doen, moeten we niet verder dan Afrika kijken om deze robuuste zelforganiserende algoritmes te vinden. Dankuwel.