Conrad Wolfram: Kinderen echte wiskunde aanleren met computers

We hebben vandaag een echt probleem met het wiskunde-onderwijs. Het komt erop neer dat niemand echt gelukkig is. Diegenen die het leren vinden het wereldvreemd, oninteressant en moeilijk. Diegenen die hen willen tewerkstellen vinden dat ze te weinig weten. Regeringen beseffen dat dit belangrijk is voor onze economie, maar weten niet hoe ze het moeten oplossen. Leerkrachten zijn ook gefrustreerd. Nochtans is wiskunde belangrijker voor de wereld dan op enig ander punt in de menselijke geschiedenis. Aan de ene kant hebben we tanende belangstelling voor het wiskunde-onderwijs, aan de andere kant hebben we een meer wiskundige wereld, een meer kwantitatieve wereld dan ooit tevoren.

Wat is het probleem, vanwaar die kloof, en wat kunnen we doen om hem te dichten? Ik denk dat het antwoord voor het grijpen ligt. Gebruik computers. Ik geloof dat correct gebruik van computers dé oplossing is om het wiskunde-onderwijs te doen slagen. Om dat uit te leggen zal ik eerst wat vertellen over hoe wiskunde eruit ziet in de echte wereld en in het onderwijs. In de echte wereld wordt wiskunde niet noodzakelijk door wiskundigen beoefend. Het gebeurt door geologen, ingenieurs, biologen, allerlei verschillende mensen -- modelleren en simuleren. Het is nogal populair. In het onderwijs ziet het er anders uit: vereenvoudigde vraagstukken, veel rekenwerk -- meestal met de hand. Vele dingen die eenvoudig lijken en niet moeilijk zijn in het echte leven, behalve als je aan het leren bent. Nog iets over wiskunde: wiskunde ziet er soms als wiskunde uit -- zoals in dit voorbeeld -- en soms niet -- zoals "Ben ik dronken?" Daar krijg je in de moderne wereld een kwantitatief antwoord op. Enkele jaren geleden zou je dat niet hebben verwacht. Nu kan je alles ontdekken over -- mijn gewicht is helaas wat hoger dan dat, maar -- alles wat gebeurt.

Laten we wat uitzoomen en ons afvragen: waarom onderwijzen we wiskunde? Waarvoor is wiskunde-onderwijs goed? Meer bepaald, waarom onderwijzen we wiskunde in het algemeen? Waarom is het een zo belangrijk onderdeel van het onderwijs, als een soort van verplicht vak? Ik denk dat er een drietal redenen zijn: technische taken die zo kritisch zijn voor de ontwikkeling van onze economie, wat ik het leven van elke dag noem. Om te functioneren in de wereld van vandaag moet je nogal kwantitatief zijn, veel meer dan enkele jaren geleden. Wijsraken uit je hypotheek, kritisch staan tegenover overheidsstatistieken, dat soort dingen. Ten derde: iets wat ik logische training van de geest zou noemen, logisch denken. Door de jaren heen hebben we als maatschappij veel geïnvesteerd in logische verwerkings- en denkkracht. Het is deel van de menselijke samenleving. Het is erg belangrijk om dit te leren. Wiskunde is een uitstekend middel.

Laten we dus nog een vraag stellen. Wat is wiskunde? Wat bedoelen we als we zeggen dat we aan wiskunde doen, of mensen onderrichten in de wiskunde? Volgens mij gaat het ruwweg om een viertal stappen. Het begint met de juiste vraag stellen. Wat willen we vragen? Wat proberen we te vinden? Dit is in de gewone wereld het meest verknoeide deel, meer dan eender welk onderdeel van de wiskunde. Mensen stellen de verkeerde vraag en krijgen dan verrassend genoeg het verkeerde antwoord, om die reden, of om een andere. Volgende stap is het vraagstuk vanuit de echte wereld vertalen naar een wiskundevraagstuk. Dat is stap twee. Eens je dat hebt gedaan is er de stap van het rekenen. Vorm het om in een antwoord in wiskundige vorm. Daar is wiskunde natuurlijk echt goed in. Vervolgens vorm je het weer om naar de echte wereld. Heeft het de vraag beantwoord? En verifieer het -- cruciale stap. Dit is wat vandaag zo bizar is. In het wiskunde-onderwijs besteden we ongeveer 80 procent van de tijd aan mensen leren hoe ze stap drie manueel moeten doen. Dat is nochtans de stap die computers beter kunnen dan mensen met jaren ervaring. We zouden beter computers gebruiken om stap drie te doen en de studenten zich meer laten inspannen om te leren hoe ze stappen 1, 2 en 4 kunnen doen -- vraagstukken conceptualiseren, toepassen, de leerkracht laten uitleggen hoe ze dat moeten doen.

Hier is een cruciaal punt: wiskunde is niet gelijk aan rekenen. Wiskunde is een veel breder vak dan rekenen. Het is begrijpelijk dat dit verweven is geraakt, door de eeuwen heen. Er was maar één manier om te rekenen, namelijk manueel. Maar de jongste decennia is dat helemaal veranderd. We kregen de grootste transformatie van een oud vak die ik me kan voorstellen, met computers. Rekenen was de beperkende stap, en nu is dat vaak niet meer zo. Ik zie het zo: de wiskunde is bevrijd van het rekenen. Maar die wiskundebevrijding heeft het onderwijs nog niet bereikt. Voor mij is rekenen in zekere zin de machinerie van de wiskunde. Het is de klus. Het is het deel dat je vermijdt als je kan, dat je een machine laat doen. Het is een middel tot een doel, geen doel op zich. Automatisering laat ons toe over die machinerie te beschikken. Computers laten ons dat doen. Dit is helemaal geen klein probleem. Volgens mijn schatting spenderen we over de wereld gemiddeld ongeveer 106 wereldlevens om mensen te leren hoe ze manueel moeten rekenen. Dat is een indrukwekkende hoeveelheid menselijke inspanning. We kunnen er maar beter zeker van zijn -- en de meesten hadden er zelfs geen plezier in. We kunnen er maar beter zeker van zijn dat we weten waarom we dat doen, en dat het een reëel doel heeft.

Ik denk dat we computers moeten inschakelen voor het rekenwerk en alleen manueel berekenen als het echt zin heeft om dit aan te leren. Er zijn een paar gevallen. Bijvoorbeeld: hoofdrekenen. Ik doe dat vaak, vooral om te schatten. Mensen zeggen: is zus en zo waar, en dan zeg ik, hm, niet zeker. Ik maak een ruwe inschatting. Het is nog steeds sneller en praktischer. Praktisch nut is één geval waar het de moeite is om mensen manueel te leren. Er zijn ook bepaalde conceptuele zaken die baat kunnen hebben van manuele berekeningen, maar dat zijn er volgens mij niet veel. Waar ik vaak naar vraag is oud-Grieks en wat dat ermee te maken heeft. Wat we vandaag aan het doen zijn, is dat we mensen dwingen om wiskunde te leren. Het is een hoofdvak. Wat mij betreft, als mensen belangstelling hebben voor manueel rekenen, of het volgen van hun interesse voor welk bizar onderwerp dan ook -- dan moeten ze dat doen. Het is absoluut goed dat mensen hun eigen interesse volgen. Ik had een zekere belangstelling voor oud-Grieks, maar ik denk niet dat we de hele bevolking moeten dwingen om een vak als oud-Grieks te leren. Ik denk niet dat dat verantwoord is. Ik maak dus onderscheid tussen wat we mensen doen doen en het doorsnee-vak, en het vak dat mensen op basis van hun eigen interesse kunnen volgen en waar ze zich in kunnen verdiepen.

Welke problemen hebben mensen daarmee? Het eerste is dat ze zeggen dat je eerst een basis moet hebben. Je moet de machine niet gebruiken zolang je de basis niet hebt. Dan is mijn vraag meestal: wat bedoel je met basis? Basis waarvan? Is de basis van autorijden leren hoe je hem moet onderhouden of zelfs ontwerpen? Is de basis van schrijven leren hoe je een veer aanscherpt? Ik dacht het niet. Ik denk dat je de basis van wat je wil doen moet onderscheiden van hoe het gebeurt en van de machinerie van hoe het gebeurt. Automatisering laat je toe dat onderscheid te maken. Honderd jaar geleden was het zeker zo dat je om auto te rijden nogal wat moest weten van de mechanica van de auto en hoe de timing van de ontsteking werkte en zo. Maar automatisering in auto's zorgde dat dat kon worden afgescheiden, en rijden is nu een heel ander vak, zeg maar, dan het ontwerpen van de auto of het aanleren van het onderhoud. Automatisering laat dit onderscheid toe en laat ook toe -- voor autorijden, en volgens mij in de toekomst ook voor wiskunde -- dat het democratisch gebeurt. Het kan worden uitgesmeerd over een veel grotere groep mensen die er echt mee kunnen werken.

Hier is nog een kwestie in verband met de basis. Volgens mij verwarren mensen de volgorde van de uitvinding van de tools met de volgorde waarin ze ze moeten gebruiken in het onderwijs. Het is niet omdat papier werd uitgevonden voor de computer dat je de basis van het vak beter onder de knie krijgt als je papier gebruikt in plaats van een computer om wiskunde te onderwijzen. Mijn dochter bezorgde me daar een leuke anekdote over. Ze maakt graag wat zij papieren laptops noemt. (Gelach) Ik vroeg haar op een dag: "Toen ik zo oud was als jij maakte ik die niet. Waarom denk je dat dat was?" En na twee seconden diep nadenken zei ze: "Geen papier?" (Gelach) Als je geboren bent na de computer en het papier heeft het niet veel belang in welke volgorde je ermee onderwezen wordt, je wil gewoon de beste tool.

Een ander bezwaar is: "Computers maken wiskunde dommer". Op één of andere manier, als je computers gebruikt, komt het neer op domweg op knoppen duwen, maar als je het manueel doet, dan is het allemaal intellectueel. Deze vind ik eerlijk gezegd vervelend. Geloven we echt dat de wiskunde die de meeste mensen op school krijgen in de praktijk vandaag meer is dan toepassing van procedures op vraagstukken die ze niet echt snappen, om redenen die hen ontgaan? Ik dacht het niet. Erger nog, wat ze leren is zelfs niet praktisch bruikbaar meer. Was misschien zo 50 jaar geleden, maar niet meer vandaag. Als ze de school verlaten, doen ze het op een computer. Voor de duidelijkheid, volgens mij helpen computers hier echt, ze maken het vraagstuk meer conceptueel. Zoals elke goede tool kunnen ze ook gebruikt worden zonder verstand, zoals wanneer je van alles een multimediashow maakt, zoals het voorbeeld van een vergelijking met de hand oplossen, waar de computer de leerkracht was -- toon de student hoe het aan te pakken en manueel op te lossen. Dit is al te gek. Waarom gebruiken we computers om een vraagstuk manueel te leren oplossen dat de computer zou moeten doen? Compleet achterstevoren.

Laat me je tonen dat je vraagstukken ook moeilijker uit te rekenen kan maken. Normaal doe je op school dingen als het oplossen van vierkantsvergelijkingen. Maar als je een computer gebruikt, kan je gewoon substitueren. Maak er een vierdegraadsvergelijk van, maak het moeilijker te berekenen. Gebruik dezelfde principes -- rekenwerk, moeilijker. Vraagstukken uit het echte leven lijken op deze manier geschift en weerzinwekkend. Er groeit overal haar op. Het zijn niet zomaar simpele, vereenvoudigde dingen die we zien in de schoolwiskunde. Denk aan de wereld van buitenaf. Geloven we echt dat engineering en biologie en al die andere dingen die zo'n baat hebben gehad bij computers en wiskunde conceptueel beperkt zijn door het gebruik van computers? Ik denk het niet, wel integendeel. Het echte probleem in het wiskunde-onderwijs is niet dat computers het afstompen maar dat we vandaag vereenvoudigde vraagstukken hebben. Een ander punt dat mensen aanhalen is dat manueel rekenwerk op één of andere manier begripsverhogend werkt. Als je je door een hoop voorbeelden werkt, kan je het antwoord krijgen -- kan je beter begrijpen hoe de basis van het systeem werkt. Volgens mij zit hier één waardevolle idee in, namelijk dat procedures en processen begrijpen, belangrijk is. Maar er is vandaag een fantastische manier om dat te doen. Die heet programmeren.

De meeste procedures en processen worden vandaag uitgeschreven door te programmeren. Het is ook een fantastische manier om studenten meer te betrekken en te checken of ze het echt begrijpen. Als je echt wil checken of je wiskunde begrijpt, schrijf er dan een programma voor. Ik denk dus dat we het met programmeren moeten doen. Voor de duidelijkheid: mijn suggestie is dat we een unieke gelegenheid hebben om wiskunde tegelijk praktischer en meer conceptueel te maken. Ik ken geen ander vak waar dat recent mogelijk was. Het is meestal een soort keuze tussen het ambachtelijke en het intellectuele. Ik denk dat we hier beide kunnen doen. We openen zoveel meer mogelijkheden. Je kan zoveel meer vraagstukken oplossen. Wat we hierbij winnen is dat studenten intuïtie en ervaring opdoen veel meer dan ooit tevoren. Ervaring met moeilijker vraagstukken -- in staat zijn om met de wiskunde te spelen, te interageren, ze aan te voelen. We willen mensen die de wiskunde instinctief aanvoelen. Dat is wat computers ons laten doen.

Iets anders is de herschikking van het curriculum. Traditioneel is dit in volgorde van moeilijkheid van berekening, maar nu kunnen we het herschikken in volgorde van moeilijkheid van de concepten, onafhankelijk van het rekenwerk. Analyse wordt traditioneel pas laat onderwezen. Waarom? Het zijn verdomd moeilijke berekeningen, dat is het probleem. Maar veel van de begrippen zijn handelbaar voor een veel jongere leeftijdsgroep. Dit is een voorbeeld dat ik maakte voor mijn dochter. Erg, erg eenvoudig. We praatten over wat er gebeurt als je het aantal zijden van een veelhoek verhoogt tot een heel groot getal. En natuurlijk wordt het een cirkel. Ze stond er overigens op dat ze de kleur kon veranderen, een belangrijk feature voor deze demonstratie. Je kan zien dat dit een vroege stap is naar limieten en differentiaalrekening en wat er gebeurt als je dingen tot het uiterste doortrekt -- heel kleine zijden en een heel groot aantal zijden. Heel eenvoudig voorbeeld. Dat is een beeld van de wereld dat we mensen meestal maar vele, vele jaren later geven. Dat is een heel belangrijk praktisch beeld van de wereld. Eén van de struikelblokken bij het promoten van dit plan zijn examens. Als we iedereen blijven testen middels manuele examens, dan is het moeilijk om de curricula om te schakelen naar een punt waar ze computers kunnen gebruiken tijdens de lessen.

Eén van de redenen waarom dit belangrijk is-- het is belangrijk om computers te hebben bij de examens. Dan kunnen we vragen stellen, echte vragen, zoals: wat is de beste levensverzekering? Echte vragen die mensen hebben in hun leven. Ziet u, dit is niet zomaar een vereenvoudigd model. Dit is echt model waarbij we kunnen gevraagd worden om te optimaliseren. Hoeveel jaren bescherming heb ik nodig? Wat betekent dat voor de betalingen, de interestvoeten enzovoort? Ik bedoel helemaal niet dat dat de enige soort vraag is die zou moeten worden gesteld bij examens, maar het is een heel belangrijk type dat vandaag volledig wordt genegeerd en dat cruciaal is voor het echte begrip van mensen.

Ik geloof dus dat we een cruciale hervorming moeten doen naar computergebaseerde wiskunde. We moeten ervoor zorgen dat we onze economie kunnen stimuleren, en onze maatschappij, op basis van de idee dat mensen wiskunde echt kunnen aanvoelen. Dit is niet zomaar een vrijblijvend optievak. Het land dat dit als eerste doet zal volgens mij over de andere springen in het bereiken van een nieuwe economie, een betere economie, een beter vooruitzicht. Ik denk zelfs dat we bewegen van wat we vandaag de kenniseconomie noemen naar wat we een computationele kenniseconomie zouden kunnen noemen, waarin hogere wiskunde integraal deel uitmaakt van wat iedereen doet, zoals kennis dat vandaag is. We kunnen daar zoveel meer studenten bij betrekken, en ze kunnen er meer plezier aan beleven; Laten we wel wezen, dit is geen incrementele verandering. We proberen hier de kloof te overbruggen tussen school-wiskunde en echte-wereld-wiskunde. Als je over een afgrond stapt, maak je het erger dan als je nooit was vertrokken -- grotere ramp. Mijn suggestie is dat we moeten springen, we moeten onze snelheid verhogen tot ze hoog is en aan de ene kant afstoten en naar de andere gaan -- natuurlijk, na zorgvuldige berekening van onze differentiaalvergelijking.

(Gelach)

Wat ik wil zien is een volledig vernieuwd, gewijzigd wiskundecurriculum, van de bodem opgebouwd, gebaseerd op de aanwezigheid van computers, die vandaag haast alomtegenwoordig zijn. Rekenmachines zijn overal en zullen over luttele jaren echt overal zijn. Ik weet niet zeker of we dit vak wiskunde moeten noemen, maar ik weet wel zeker dat het het belangrijkste vak van de toekomst is. Laten we ervoor gaan. En terwijl we toch bezig zijn, laten we wat plezier maken, wij, de studenten en TED hier.

Dankuwel.

(Applaus)