Benoit Mandelbrot: Fractalen en de kunst van de ruwheid

Dank u zeer. Excuseert u mij dat ik zit. Ik ben erg oud. (Gelach) Het onderwerp dat ik zal bespreken is en zekere zin erg bijzonder omdat het erg oud is. Ruwheid is deel van het menselijke leven, door de tijden heen. Antieke auteurs hebben erover geschreven. Het was erg oncontroleerbaar. En in zekere zin leek het een extreme vorm van complexiteit te zijn, gewoon chaos, chaos en chaos. Er zijn vele soorten chaos. Eigenlijk ben ik door een stomme toevalstreffer vele jaren geleden betrokken geraakt bij de studie van deze vorm van complexiteit. En tot mijn stomme verbazing vond ik sporen - erg duidelijke sporen, moet ik zeggen - van orde in die ruwheid. En dus wil ik u vandaag een paar voorbeelden voorstellen van wat dit betekent. Ik verkies het woord ruwheid boven het woord onregelmatigheid omdat onregelmatigheid - voor iemand die Latijn gehad heeft in zijn langvervlogen juegd - het omgekeerde betekent van regelmatigheid. Maar dat is fout. Regelmatigheid is de tegenhanger van ruwheid omdat het fundamentele aanschijn van de wereld erg ruw is.

Laat me u een paar voorwerpen tonen. Sommige zijn kunstmatig. Andere zijn zeer reëel, in zekere zin. Dit is de reële. Het is een bloemkool. Waarom toon ik een bloemkool, een erg gewone en oude groente? Hoe oud en antiek ze ook is, ze is erg ingewikkeld en tegelijk erg eenvoudig. Als u ze probeert te wegen gaat dat natuurlijk gemakkelijk. En als u ze eet is het gewicht van belang. Maar stel dat u de oppervlakte probeert te meten. Wel, het is heel interessant. Als u met een scherp mes één van de roosjes van een bloemkool afsnijdt en er apart naar kijkt, dan denkt u aan een hele bloemkool, maar dan kleiner. Als u opnieuw snijdt, opnieuw, opnieuw, opnieuw, opnieuw, opnieuw, opnieuw, opnieuw, opnieuw, dan krijgt u nog steeds kleine bloemkooltjes. Dus de ervaring van de mensheid is altijd geweest dat er bepaalde vormen zijn die deze bijzondere eigenschap hebben dat elk deel is zoals het geheel maar dan kleiner. Wat heeft de mensheid daarmee aangevangen? Heel, heel weinig. (Gelach)

Wat ik dus gedaan heb is ik heb dit probleem bestudeerd en ik heb iets erg verrassends gevonden, dat men ruwheid kan meten aan een getal, een getal, 2.3, 1.2 en soms meer. Op een dag bracht een vriend van mij die mij wilde plagen, mij een beeld en zei: "Wat is de ruwheid van deze curve?" Ik zei: "Net geen 1.5." Het was 1.48. Dat lukte vrijwel meteen. Ik ben al zo lang naar deze dingen aan het kijken. Dus deze getallen zijn de getallen die de ruwheid van deze oppervlaktes weergeven. Ik haast mij om te zeggen dat deze oppervlaktes volledig kunstmatig zijn. Ze zijn op een computer gemaakt. En de enige invoer is een getal. En dat getal is de ruwheid. En dus links heb ik de ruwheid gekopieerd van vele landschappen. Rechts heb ik een grotere ruwheid. En dus kan het oog na een tijd deze twee zeer goed uit elkaar houden.

De mensheid heeft het meten van ruwheid moeten leren. Dit is erg ruw, en dit is nogal glad, en dit is helemaal glad. Er zijn maar heel weinig dingen die helemaal glad zijn. Als je vervolgens probeert om vragen te stellen: wat is de oppervlakte van een bloemkool? Dan meet je en meet je en meet je, en elke keer dat je dichter in de buurt komt wordt het groter, tot aan heel, heel kleine afstanden. Wat is de lengte van de kustlijn van deze meren? Hoe nauwer je meet, hoe langer ze is. Het concept van de lengte van de kustlijn dat zo natuurlijk lijkt omdat het in vele gevallen gegeven is, is eigenlijk een illusie; het bestaat niet. Je moet het anders aanpakken.

Waartoe dient het om dit te weten? Verrassend genoeg dient het vele zaken. Om te beginnen worden kunstmatige landschappen, die ik min of meer uitgevonden heb, in cinema voortdurend gebruikt. We zien bergen in de verte. Dit kunnen bergen zijn, maar het kunnen ook formules zijn die doorgerekend zijn. Dat is erg gemakkelijk om te doen. Vroeger was het erg tijdrovend, nu is het een makkie. Kijk hier. Dat is een echte long. Een long is iets heel vreemds. Als je dit ding neemt weet je goed dat het erg weinig weegt. Het volume van een long is heel klein. Maar wat met de oppervlakte van de long? Anatomisten hadden daar hevige disputen over. Sommigen zeggen dat de longen van een normale man de omvang heeft van de binnenkant van een basketbal. Anderen zeggen, nee, vijf basketballen. Geweldige meningsverschillen. Waarom? Omdat de oppervlakte van de long heel slecht gedefinieerd is. De bronchi vertakken zich alsmaar verder en ze stoppen met vertakken niet omwille van enig principe, maar om fysieke redenen, het slijm dat in de long zit. Wat dus gebeurt is dat je op deze manier een veel grotere long hebt, maar als het blijft vertakken tot dezelfde afstanden voor walvissen, voor mensen en voor een klein knaagdier,

wat is daar het voordeel van? Verrassend genoeg, verbluffend genoeg hadden de anatomisten nauwelijks een idee van de structuur van de long, tot heel recent. En ik denk dat mijn wiskunde, verrassend genoeg, een grote hulp is geweest voor de chirurgen die longziekten bestuderen en nierziekten, al deze vertakkende systemen waar er geen meetkunde voor was. En dus stelde ik vast dat ik een meetkunde bouwde, een meetkunde van dingen die geen meetkunde hadden. En een verrassend aspect ervan is dat de regels van deze meetkunde vaak extreem kort zijn. Je hebt formules van deze lengte. En je past ze meerdere keren toe. Soms herhaaldelijk, opnieuw, opnieuw, opnieuw. Dezelfde herhaling. En uiteindelijk krijg je dingen als dit.

Deze wolk is volledig, 100 procent kunstmatig. Wel, 99.9. En het enige natuurlijke onderdeel is een getal, de ruwheid van de wolk, dat uit de natuur komt. Iets dat zo ingewikkeld is als een wolk, zo onstabiel, zo wankel, moet in een simpele regel te vatten zijn. Die simpele regel is geen verklaring van de wolken. Diegene die de wolken zag moest er rekening mee houden. Ik weet niet hoe geavanceerd deze beelden zijn, ze zijn oud. Ik was er erg bij betrokken maar vestigde mijn aandacht later op andere fenomenen.

Hier is iets anders dat nogal interessant is. Een van de verpletterende gebeurtenissen in de geschiedenis van de wiskunde, dat weinige mensen naar waarde schatten, gebeurde ongeveer 130 jaar geleden, 145 jaar gelden. Wiskundigen begonnen vormen te maken die niet bestonden. Wiskundigen vervielen in zelfverheerlijking tot een werkelijk verbluffend punt dat de mens dingen kan uitvinden die de natuur niet kenden. In het bijzonder kan hij zaken uitvinden zoals een curve die het vlak vult. Een curve is een curve, een vlak is een vlak, die twee kan je niet vermengen. Je kan ze vermengen. Een man genaamd Peano heeft dergelijke curves beschreven en dat werd het voorwerp van uitzonderlijke belangstelling. Dit was erg belangrijk, maar bovenal interessant omwille van een soort breuk, een scheiding tussen de wiskunde die uit de realiteit voortkomt aan de ene kant, en een nieuwe wiskunde die uit de zuivere menselijke geest komt. En het speet mij om erop te wijzen dat de zuivere menselijke geest in feite eindelijk had gezien wat allang gezien was. En dus introduceer ik hier de verzameling van rivieren van een curve die een vlakte vult. En wel, dit is een verhaal op zich. Het was dus van 1875 tot 1925, een uitzonderlijke periode waarin de wiskunde zich klaarmaakte om los te breken uit te wereld. En de objecten die gebruikt werden als voorbeelden toen ik kind was en student, als voorbeelden van de breuk tussen wiskunde en zichtbare realiteit, die voorwerpen, heb ik volledig op hun kop gezet. Ik gebruikte ze om bepaalde aspecten van de complexiteit van de natuur te beschrijven.

Een man genaamd Hausdorff heeft in 1919 een getal geïntroduceerd dat een wiskundig grapje was. Ik ontdekte dat dit getal een goede maatstaf voor ruwheid was. Toen ik het voor het eerst vertelde aan mijn vrienden in de wiskunde zeiden ze: "Doe niet dwaas. Dat is zomaar iets." Wel, ik was niet dwaas. De schilder Hokusai wist dat heel goed. De dingen op de grond zijn algen. Hij kende de wiskunde niet, die bestond nog niet. En hij was een Japanner die geen contact had met het Westen. Maar hij schilderde lang met fractale kanten. Ik zou daar lang over kunnen spreken. De Eiffeltoren heeft een fractaal aspect. En ik heb het boek gelezen dat mijnheer Eiffel over zijn toren heeft geschreven. En het was verbazingwekkend hoeveel hij ervan begreep.

Dit is chaos, chaos, chaos, een Brownse lus. Toen ik die beslissing had genomen, halverwege mijn carrière, werd ik door zovele zaken in mijn werk in beslag genomen dat ik besloot mijzelf te toetsen. Was ik in staat om naar iets te kijken waar iedereen sinds lang naar zat te kijken, en iets helemaal nieuws te vinden? Ik keek dus naar deze dingen die Brownse beweging worden genoemd - draait gewoon rond. Ik speelde er een tijdje mee en ik deed het terugkeren naar het begin. Toen zei ik tegen mijn assistent: "Ik zie niets. Kan jij het schilderen?" En dus schilderde hij het, wat betekent dat hij er alles er inzette. Hij zei: "Dit ding kwam eruit...", en ik zei: "Stop! Stop! Stop! Ik zie dat het een eiland is." En verbluffend. Dus Browniaans beweging, die toevallig een ruwheid van twee heeft, draait rond. Ik heb het gemeten, 1.33. Opnieuw, opnieuw, opnieuw. Lange metingen, grote Browniaanse bewegingen, 1.33. Wiskundig probleem: hoe kan ik het bewijzen? Mijn vrienden deden er 20 jaar over. Drie van hen hadden onvolledige bewijzen. Ze kwamen ze samen, en samen hadden ze een bewijs. Dus kregen ze de grote wiskundige [Fields]medaille, een van de drie medailles die mensen hebben gekregen omdat ze dingen hebben bewezen die ik heb gezien zonder ze te kunnen bewijzen.

Iedereen vraagt mij op een bepaald moment: "Hoe is het allemaal begonnen? Wat heeft je naar deze rare business geleid?" Wat maakte van mij tegelijkertijd een ingenieur mechanica, een aardrijkskundige en een wiskundige enzovoort, een natuurkundige? Wel, ik ben eigenlijk begonnen met de studie van aandelenmarktprijzen. En hier had ik dus die theorie en ik schreef er boeken over. Financiële prijzen stijgen. Links zie je data over een lange periode. Rechtsboven zie je een theorie die heel, heel erg in de mode is. Het was heel gemakkelijk en je kan er snel veel boeken over schrijven. (Gelach) Er bestaan duizenden boeken over. Vergelijk dat met werkelijke prijsstijgingen en waar zijn de werkelijke prijsstijgingen? Deze andere lijnen bevatten een aantal reële prijsstijgingen en een aantal vervalsingen van mijn hand. De idee was dus dat men instaat moet zijn om - hoe zeg je dat? - prijsvariatie te modelleren. En dat ging heel goed 50 jaar geleden. 50 jaar lang deden mensen neerbuigend omdat ze het veel eenvoudiger konden doen. Maar ik zeg je, op dit punt luisterden mensen naar mij. (Gelach) Deze twee curves zijn gemiddelden. Standard and Poor's, de blauwe. En de rode is Standard and Poor's, waaruit de vijf grootste pieken weggehaald zijn. Pieken zijn een pest. In vele prijsstudies worden ze aan de kant gelaten. "Daden van God." En je houdt nog wat nonsens over. Daden van God. In dit beeld zijn vijf daden van God net zo belangrijk als al de rest. Met andere worden daden van God zijn niet wat we achterwege moeten laten. Dat is de essentie, het probleem. Als je die onder de knie hebt heb je het concept prijs onder de knie. En als je die niet onder de knie hebt kan je de beperkte ruis zo goed mogelijk onder de knie hebben, maar dat is niet belangrijk. Hier zijn de curves.

Ik kom nu bij het laatste ding, namelijk de verzameling die mijn naam draagt. In zekere zin is het de geschiedenis van mijn leven. Mijn puberteit bracht ik door tijdens de Duitse bezetting van Frankrijk. En vermits ik dacht dat ik misschien binnen de dag of de week zou verdwijnen had ik heel grote dromen. En na de oorlog zag ik een oom terug. Mijn oom was een zeer vooraanstaande wiskundige en hij zij mij: "Kijk, er is een probleem dat ik 25 jaar geleden niet kan oplossen en dat niemand kan oplossen. Het is een constructie van een man genaamd [Gaston] Julia en [Pierre] Fatou. Als jij iets nieuws zou kunnen vinden, eender wat, dan is je carrière gemaakt." Heel simpel. Dus ik keek, en zoals de duizenden mensen die voordien hadden gekeken vond ik niets.

Maar toen kwam de computer. En ik besloot om de computer te gebruiken, niet voor nieuwe wiskundige problemen, zoals dit gewiebel, dat is een nieuw probleem, maar voor oude problemen. En dat ging van wat we reële getallen noemen, punten op een lijn, tot imaginaire, complexe getallen, die punten in een vlak zijn, en dat is wat men daar zou moeten doen. En deze vorm kwam eruit. Deze vorm is uitzonderlijk ingewikkeld. De formule is daar verborgen, z gaat naar z kwadraat, plus c. Het is zo simpel, zo droog. Het is zo oninteressant. Nu druk je één, twee keer op de hendel, twee keer, en er komen wonderen uit. Dit komt eruit. Ik wil deze dingen niet uitleggen. Dit komt eruit. Dit komt eruit. Vormen die zo ingewikkeld zijn, zo harmonieus en zo mooi. Dit komt eruit, herhaaldelijk, opnieuw, opnieuw, opnieuw. En één van mijn grootste ontdekkingen was dat deze eilanden hetzelfde zijn als het geheel, min of meer. En toen kreeg je deze uitzonderlijke barokke versieringen, overal. Dat kwam allemaal uit die kleine formule, die zeg maar vijf symbolen bevat. En dan dit. De kleur is er om twee redenen aan toegevoegd. Eerst en vooral omdat deze vormen zo ingewikkeld zijn dat je niet uit de getallen wijs zo geraken. En als je ze in kaart brengt moet je een systeem kiezen. En mijn principe was dus dat ik de vormen altijd voorstel met verschillende kleuren, want sommige kleuren beklemtonen dat, en andere dat of dat. Het is zo ingewikkeld.

(Gelach)

In 1990 was ik in Cambridge, UK, om een prijs van de universiteit in ontvangst te nemen. En drie dagen later vloog een piloot over het landschap en vond dit ding. Waar kwam dit vandaan? Duidelijk van buitenaardse wezens. (Gelach) En dus publiceerde de krant in Cambridge een artikel over die "ontdekking" en kreeg de volgende dag 5.000 brieven van mensen die zeiden: "Maar dat is gewoon een heel grote Mandelbrotverzameling."

Laat mij afronden. Deze vorm hier kwam gewoon uit een oefening in zuivere wiskunde. Wonderen zonder einde komen voort uit simpele regels die eindeloos herhaald worden.

Ik dank u zeer.

(Applaus)