Konradas Volframas: tikros matematikos vaikus mokykime su kompiuteriais

Šiandien matematikos mokymas tapo problema. Tiesą sakant, jis netenkina nė vienos pusės. Tie, kurie jos mokosi, galvoja, kad matematika atitrūkusi nuo gyvenimo, neįdomi ir sunki. Darbdaviai mano, kad darbuotojai per mažai išmano matematiką. Šalių vyriausybės supranta, kad jų ekonomikai matematinis raštingumas labai svarbus, bet nežino, kaip spręsti jos mokymo problemą. Mokytojai irgi praranda viltį. O dabar matematikos svarba pasaulyje yra daug didesnė, negu bet kada žmonijos istorijoje. Taigi, iš vienos pusės, slūgsta susidomėjimas matematikos mokymusi, iš kitos pusės, pasaulis tampa vis matematiškesnis, labiau skaičiuojantis, negu bet kada anksčiau.

Tad iš kur kyla ši problema, kodėl atsivėrė tokia praraja ir ką galėtume padaryti, kad jos neliktų? Manau, kad atsakymo toli ieškoti nereikia, jis yra prieš akis. Naudokime kompiuterius. Aš tikiu, kad teisingas kompiuterių taikymas yra tasai auksinis raktelis, kurio dėka matematikos mokymas gali atgyti. Prieš pagrindžiant šią mintį norėčiau palyginti, kokia matematika yra realiame pasaulyje ir kaip ji atrodo mokyklose. Realiame pasaulyje matematika užsiima ne vien matematikai. Ja užsiima geologai, inžinieriai, biologai, skirtingų profesijų žmonės – modeliavimui ir simuliavimui. Tai tikrai labai populiaru. Tačiau švietime matematika atrodo visiškai kitaip – supaprastinti uždaviniai, begalė skaičiavimo, kuris dažniausiai turi būti atliekamas rankiniu būdu. Daugybė dalykų, kurie realiame pasaulyje yra paprasti ir nesudėtingi, pamokose tampa neįveikiami. Matematikai būdinga, kad kartais ji atrodo kaip matematika – pavyzdžiui, kaip šiame pavyzdyje – o kartais ji nepanaši į matematiką, – pavyzdžiui, „Ar aš esu girtuoklis?" Ir gaunate atsakymą, paremtą šiuolaikinio pasaulio kiekybine analize. Prieš kelerius metus tokių galimybių nebuvo. Bet dabar galima sužinoti apie viską, deja, mano svoris kiek didesnis, negu nurodytas, tačiau gaunamas atsakymas, kas gali atsitikti.

Pažvelkime atidžiau ir paklauskime, kodėl žmones mokome matematikos? Kokia prasmė jos mokyti? Ir ypač – kodėl apskritai jos mokome? Kodėl ji yra tokia svarbi švietimo dalis, privalomasis dalykas? Manau, kad tam yra trys priežastys. Techninio pobūdžio darbai yra nepaprastai reikšmingi mūsų ekonomikai, kuria vadinu mūsų kasdienį gyvenimą. Kad šiandien galėtume gyventi pasaulyje, turime būti matematiškai gana raštingi, nepalyginti labiau, negu anksčiau. Apskaičiuoti užstato dydį, kritiškai vertinti oficialiąją statistiką ir t.t. Trečia, tai vadinčiau tam tikra logine proto mankšta, loginio mąstymo ugdymu. Metų metus mes siekėme, kad visuomenė galėtų veikti ir mąstyti logiškai, nes tai yra žmonių visuomenės ypatumas. Todėl labai svarbu to išmokti. Ir matematika yra gera priemonė to mokyti.

Pateikime kitą klausimą. Kas yra matematika? Ką mes turime galvoje, kai sakome, kad užsiimame matematika arba kad mokome žmones matematikos? Mano požiūriu, tai susideda iš keturių žingsnių, pradedant teisingu klausimo formulavimu. Ko norime paklausti? Ką norime sužinoti? Tai labiausiai susinarpliojęs dalykas mūsų realiame gyvenime, todėl šis žingsnis sudėtingesnis, negu kiti. Žmonės pateikia klaidingus klausimus, ir nenuostabu, kad gauna klaidingus atsakymus. Būtent dėl šios, o ne kitos priežasties. Antrasis žingsnis būtų paimti tą problemą ir iš realios pasaulio problemos paversti ją matematiniu uždaviniu. Tai yra antrasis žingsnis. Tai atlikus, trečias žingsnis yra apskaičiavimas. Tam tikras atsakymas, išreikštas matematiškai. Neabejotina, kad šiame etape matematika yra labai efektyvi. Ir paskutinis žingsnis – gautus rezultatus perkelti atgal į realų pasaulį. Ar gautas atsakymas į klausimą? Taip pat būtina patikrinti atsakymo teisingumą; šis žingsnis yra esminis. Bet atsitiko štai koks nevykęs dalykas. Mokydami matematikos mes apie 80 procentų laiko skiriame mokydami žmones rankiniu būdu atlikti trečiojo žingsnio veiksmus. Nors šį žingsnį kompiuteriai gali atlikti daug geriau, negu bet koks žmogus, kad ir mokęsis to daugelį metų. O galėtume naudoti kompiuterius trečiojo žingsnio veiksmams atlikti ir daugiau laiko skirti mokyti pirmojo, antrojo ir trečiojo žingsnių veiksmų – formuluoti problemas, išreikšti jas matematiškai, konsultuotis su mokytoju, kaip geriausiai tai atlikti.

Taigi, esminė mintis yra ši – negalima dėti lygybės ženklo tarp matematikos ir skaičiavimo. Matematika yra daug platesnis dalykas, negu skaičiavimas. Suprantama, kad per šimtmečius matematika ir skaičiavimas tarpusavyje susipynė. Kažkada egzistavo tik vienas būdas suskaičiuoti, ir būtent – ranka. Bet per pastaruosius dešimtmečius tai iš esmės pasikeitė. Atsiradus kompiuteriams, visi nuo senų senovės egzistavę dalykai patyrė nepaprastą transformaciją. Apskaičiavimas paprastai būdavo toji aplinkybė, kuri nulemdavo galimybių ribą, tačiau dabar dažniausiai taip nėra. Atsižvelgiant į šį faktą, manau, kad matematika buvo išvaduota iš skaičiavimo. Tačiau to matematikos išsivadavimo dar nepasijuto mokyklose. Apie skaičiavimą kalbu kaip apie matematikos „darbinį mechanizmą". Tai kankynė. Tai dalykas, kurio mielai atsisakytumėte, jei galėtumėte tai pavesti mašinai. Tai priemonė pasiekti tikslą, o ne pats tikslas. Automatizavimas leidžia mums turėti tokį mechanizmą. Tokią galimybę suteikia kompiuteriai. Jokiu būdu tai nėra smulki problema. Apskaičiavau, kad šiandien, per vieną dieną, visame pasaulyje žmonių mokymas, kaip skaičiuoti rankiniu būdu, sudaro apie 106 vidutinės trukmės gyvenimus. Tai milžiniškas žmogiškųjų pastangų kiekis. Todėl, po galais, būtų gerai – beje, to mokydamiesi daugumas nejaučia jokio džiaugsmo. Todėl, po galais, būtų gerai, jeigu jie bent žinotų, kodėl jie to mokosi, koks tikrasis to mokymosi tikslas.

Manau, turėtume taikyti kompiuterius skaičiavimams atlikti, o patys skaičiuotume tik tuomet, kai tam tikrai yra prasmė. Manau, yra tokių atvejų. Pavyzdžiui, mintinas skaičiavimas. Aš ir dabar dažnai skaičiuoju mintyse, dažniausiai kad galėčiau apytikriai apskaičiuoti. Žmonės sako, kad tas ir tas yra tiesa, o aš sakau, kad nesu dėl to tikras, kad turiu apie tai pagalvoti. Tokiais atvejais skaičiuoti pačiam vis dar greičiau ir praktiškiau. Taigi, praktiškumas gali būti vienas iš kriterijų, kada verta žmones mokyti skaičiuoti rankiniu būdu. Yra tam tikrų bendrųjų dalykų, kuriems gali pasitarnauti rankinis skaičiavimas, bet, mano nuomone, jų yra palyginti mažai. Vienas dalykas, apie kurį dažnai klausiu, yra senovės graikai ir koks mūsų ryšys su jais? Tai, ką dabar mokyklose darome – verčiame žmones mokytis matematikos. Matematika yra privalomas dalykas. Aš nė minties neturiu, kad žmonės, kuriems patinka rankinis skaičiavimas, kurie domisi tam tikra sritimi, kokia ji bebūtų – neturėtų to daryti. Tai visiškai tinkama tiems žmonėms, kuriems skaičiavimas yra asmeninio susidomėjimo sritis. Ir man patiko gilintis į senovės Graikijos laikus, bet nemanau, kad tą daryti turime versti visą žmoniją – mokytis tokio dalyko, kaip senovės graikų kalba. Nemanau, kad tai pateisinama. Taigi, aš nubrėžiu liniją tarp to, ką mes verčiame žmones daryti, kas yra tam tikra prasme plačiai praktikuojamas dalykas, ir to, kuo žmonės gali domėtis iš asmeninių paskatų, kad ir kiaurai prasmegti tame.

Taigi, kokiais argumentais paremta dabartinė praktika? Vienas iš jų – sakoma, kad pirmiausia reikia įgyti pagrindus. Negalima naudotis technika, kol neįgijai dalyko pagrindų. Dažniausiai į tai atsakau – ką jūs vadinate pagrindais? Kieno pagrindais? Ar į automobilio vairavimo pagrindus įeina išmokimas, kaip jį taisyti ar kurti jo dizainą? Ar į rašybos mokymąsi įeina mokymas, kaip užaštrinti plunksną? Nemanau. Mano nuomone, reikia atskirti pagrindus to, ką jūs ketinate daryti, nuo to, kaip tai bus padaryta bei nuo technologijos, kurią naudojant tai bus padaryta. Automatizavimas leidžia tai padaryti – atskirti šiuos dalykus. Prieš šimtus metų buvo tiesa, kad norėdamas vairuoti automobilį turėjai gana gerai išmanyti jo mechaniką: apie uždegimo momentą ir kitus panašius dalykus. Tačiau automobilių automatizavimas leido tai atskirti, tad dabar automobilio vairavimas yra atskirtas nuo automobilio mechanikos bei jo techninio aptarnavimo. Taigi, šis atskyrimas galimas automatizavimo dėka, ir tai suteikia demokratiškumo – vairavimo atveju, ir aš tikiu, kad ateityje bus galimas ir panašus matematikos demokratizavimas. Tuomet matematika galės paplisti daug platesniame žmonių rate, kurie iš tikrųjų gali ją pritaikyti.

Kalbant apie pagrindus, ateina kita mintis. Mano požiūriu, žmonės painioja daiktų išradimo eiliškumą su tuo, kokia tvarka tie daiktai turėtų būti naudojami mokyme. Vien dėl to, kad popierius buvo išrastas anksčiau, negu kompiuteriai, nebūtinai reiškia, kad matematikos geriau išmoksite naudodami popierių, o ne kompiuterį. Mano dukra pateikė puikų pavyzdį šiai minčiai iliustruoti. Jai patinka daryti tai, ką ji vadina popieriniais kompiuteriais. (Juokas) Kartą jai pasakiau: „Žinai, kai aš buvau tavo metų, aš to nedariau. Kaip tau atrodo, kodėl?" Sekundę, kitą pamąsčiusi, ji atsakė: „Nebuvo popieriaus?" (Juokas) Kai esi gimęs tokiais laikais, kada egzistuoja ir kompiuteriai, ir popierius, tau visiškai nesvarbu, kokiu eiliškumu jie naudojami mokymuisi, tau tiesiog reikia pačios tinkamiausios priemonės.

Kitas teiginys yra tas, kad kompiuteriai primityvina matematiką. Išeitų, kad jeigu naudoji kompiuterį, tai tik spaudai klavišus ir tam nereikia proto, bet jeigu skaičiuoji ranka, tuomet atlieki intelektualų darbą. Turiu pasakyti, kad šitoks požiūris mane erzina. Ar tikrai mes tikime, kad toji matematika, kokios šiandien mokoma mokyklose, yra kažkas daugiau, negu uždavinių sprendimai, kai mokiniai nesupranta nei pačių uždavinių, nei kodėl juos reikia spręsti. Manau, kad ne daugiau. Dar blogiau yra tai, kad tai, ko jie mokosi, yra praktiškai jau nenaudinga. Galbūt buvo naudinga prieš 50 metų, bet dabar jau nebe. Būdami ne mokykloje tuos veiksmus jie atlieka kompiuteriu. Pasikartosiu, bet mano nuomone, spręsti šią problemą gali padėti kompiuteriai, jie matematikai gali suteikti konceptualumo. Žinoma, kaip ir bet kuri kita priemonė ar įrankis, kompiuteriai gali būti taikomi visiškai neprotingai, tarkim, galima viską paversti multimedijos šou; tokiu pavyzdžiu gali būti mokymas, kaip lygtis spręsti rankiniu būdu – kada to moko kompiuteris: demonstruoja mokiniui, kaip skaičiuoti ir spręsti ranka. Visiškas pakvaišimas. Kodėl kompiuteriai naudojami tam, kad mokiniams parodytų, kaip ranka spręsti uždavinį, kuriuos vėliau vis tiek spręs kompiuteriai? Viskas vyksta atbulai.

Leiskite jums pademonstruoti, kad uždavinius galima spręsti ir sudėtingiau. Mokyklose įprasta spręsti kvadartines lygtis. Bet naudojant kompiuterį pakanka tiesiog pakeisti. Padaryti ketvirtojo laipsnio lygtį; pasunkinti ją, pritaikyti pagal poreikius. Taikomi tie patys principai: skaičiavimas, sudėtingumo lygis. Jeigu reikėtų ranka spręsti tokius uždavinius, jie pasirodytų neįkandami. Jie į tą pusę net žiūrėti nenorės. Tai nėra eiliniai, supaprastinti dalykai, kuriuos matome matematikos pamokose. Mąstau apie realųjį mūsų gyvenimą. Ar mes iš tiesų manome, kad inžinerija ir biologija, visi kiti dalykai, kuriuose buvo pasinaudota kompiuterių ir matematikos pasiekimais, konceptualiai kaip nors sumenko vien todėl, kad buvo naudoti kompiuteriai? Aš taip nemanau; veikiau priešingai. Taigi, problema matematikos mokyme yra ne ta, kad kompiuteriai gali bukinti, bet ta, kad šiuo metu matematikoje sprendžiami suprimityvinti uždaviniai. Kitas dalykas, kuriuo teisinamas skaičiavimas ranka, yra tas, kad skaičiavimo procesas ugdo supratimą. Kai atlieki daug sprendimų, tuomet jau sužinai – tuomet gali suprasti, kurie sistemos pagrindai veikia geriau. Manau, kad čia verta paminėti vieną argumentą, t.y., kad labai svarbūs supratimo ugdymo būdai ir pats procesas. Tačiau šiuolaikiniame pasaulyje yra fantastiškas būdas to mokyti. Jis vadinamas programavimu.

Programavimas yra tasai būdas, kuriuo šiais laikais užrašoma dauguma procesų ir procedūrų, programavimas taip pat yra puikus būdas mokinius daug labiau sudominti mokomu dalyku, o tai pat patogus būdas patikrinti, ar jie gerai suprato pamoką. Jeigu iš tiesų norite patikrinti, ar mokate matematiką, tuomet parašykite programą uždaviniui išspręsti. Taigi, programavimas yra toji sritis, kurią mes turėtume taikyti. Aiškumo labui noriu pasakyti: mes turime unikalią galimybę matematiką paversti ir labiau praktiška, ir labiau konceptualia – vienu metu. Nerandu nė vieno kito dalyko, kuriame galėtume sujungti šias dvi savybes. Paprastai tenka rinktis tarp pritaikomumo ir intelektualumo. Tačiau aš manau, kad šiuo atveju ir viena, ir kita galime daryti vienu metu. Šitaip atveriame labai daug naujų galimybių. Galima modeliuoti daug daugiau problemų ir uždavinių. Ką mes iš to gauname? Mano nuomone, daug labiau negu iki šiol būtų išugdoma mokinių intuicija ir patirtis. Mokinių patirtis spręsti sudėtingesnes problemas, gebėjimas žaisti su matematika, sąveikauti su ja, jausti ją. Mums reikalingi žmonės, kurie instinktyviai jaučia matematiką. Šitokias galimybes atveria kompiuterių panaudojimas.

Kitas dalykas, kurį jie leidžia padaryti – tai atnaujinti mokymo programas. Tradiciškai programos paremtos skaičiavimo sudėtingumo lygiu, tačiau dabar galime tai pakeisti į konceptualumo sudėtingumo lygį, nepriklausomai nuo skaičiavimo sudėtingumo. Tradiciškai skaičiuoti buvo mokoma gana vėlai. Kodėl? Todėl, kad skaičiavimas yra sudėtingas procesas, štai kodėl. Bet iš tikrųjų daugelis koncepcijų yra suvokiamos daug jaunesniame amžiuje. Štai pavyzdys, kurį sukūriau savo dukrai. Labai labai paprastas. Mes kalbėjomės apie tai, kas atsitinka, kai daugiakampio kraštinių skaičius išauga iki labai didelio skaičiaus. Aišku, tada jis tampa apskritimu. Beje, ji išreikalavo, kad galima būtų keisti spalvą, kuri šioje demonstracijoje yra svarbus elementas. Kaip matote, tai yra pradmenys mokant ribų ir diferencialinio skaičiavimo, kas atsitinka, kai pasirenkami priešingi dydžiai – mažiausias kraštinių skaičius ir didžiausias skaičius. Labai paprastas pavyzdys. Tai pasaulio matymas, kurio žmonėms neatveriame gana ilgai. Ir vis dėlto tai yra tikrai svarbus, praktiškas pasaulio pažinimas. Viena iš kliūčių, trukdanti eiti šia kryptimi, yra egzaminai. Mokslų pabaigoje, per egzaminus skaičiuojama rankiniu būdu, todėl lyg ir sudėtinga mokymo programą pakeisti taip, kad pamokose mokiniai naudotų kompiuterius.

Ir tai yra viena iš svarbių priežasčių, kodėl būtina ir egzaminuose naudoti kompiuterius. Tuomet galėtume pateikti klausimus, realius klausimus – tokius kaip „Kokį gyvybės draudimą naudingiausia pasirinkti?" Tai klausimas, su kuriuo žmonės susiduria savo kasdieniame gyvenime. Kaip matote, šio modelio negalima pavadinti primityviu. Tai realus modelis, pagal kurį galima nustatyti optimalų pasirinkimą. „Keleriems metams man reikalingas gyvybės draudimas?" „Kokios yra įmokos, kokia palūkanų norma?" ir t.t. Tikrai nemanau, kad egzaminuose turi būti klausiama tiktai tokio pobūdžio klausimų, tačiau manau, kad ir šitokie klausimai yra labai svarbūs, o šiuo metu jie visiškai ignoruojami, nors turi labai didžiulės svarbos žmonių gyvenime.

Aš manau, kad turi vykti esminė reforma, pereinant prie kompiuterių naudojimu paremto matematikos mokymo. Turime padaryti viską, kad galėtume pastūmėti į priekį mūsų ekonomiką, o kartu ir šalies visuomenę, sustiprindami žmonių gebėjimą iš tiesų jausti matematiką. Tai nėra pasirinktinis papildomas dalykas. Šalis, kuri tai atliks pirmoji, mano požiūriu, greičiau už kitas sukurs naują, geresnę, ekonomiką, išugdys didesnį raštingumą. Kalbu netgi apie mūsų perėjimą nuo vadinamosios žinių ekonomikos prie kompiuterinių žinių ekonomikos – kada visose srityse bus integruota aukštoji matematika, kaip kad šiandien integruotos žinios. Šitokia matematika būtų įdomi daug didesniam mokinių ratui, ir jos mokymasis būtų daug maloniau praleistas laikas. Supraskime, kad tai nėra smulkus pokytis. Mes stengiamės įveikti prarają, kuri susidarė tarp mokyklinės matematikos ir realaus pasaulio matematikos. Jūs žinote, kad keliauti per prarają gali būti blogiau, negu apskritai šios kelionės nepradėti – tai gali baigtis didele nelaime. Tai, ką aš siūlau – tai šuolis; turime padidinti savo greitį iki tiek, kad galėtume peršokti iš vienos pusės į kitą – aišku, prieš tai labai atidžiai išsprendę diferencialinę lygtį.

(Juokas)

Taigi, aš noriu matyti visiškai atsinaujinusią, pakeistą matematikos mokymo programą, atnaujintą iš pat pagrindų, paremtą kompiuterių naudojimu. Kompiuterių, kurie dabar yra beveik visur, skaičiuotuvų yra visur, arba netrukus bus visur. Dabar nesu įsitikinęs, ar šį dalyką turėtume vadinti matematika, tačiau esu tikras, kad šis dalykas ateityje bus esminis. Tad eikime šia kryptimi. O kol dar ruošiamės, suteikime šiek tiek džiaugsmo – sau, mokiniams ir – TED konferencijos dalyviams.

Ačiū.

(Plojimai)