댄 메이어(Dan Meyer): 수학 수업의 개혁이 필요합니다.

여러분이 무언가를 진심으로 사랑했던 기억을 떠올려 보시길 바랍니다. 영화, 앨범, 노래 또는 책 같은 것을 여러분이 좋아하는 사람에게 진심으로 그것을 권하고 그 사람의 반응을 예상하며 기다렸더니 받는 사람은 싫어합니다. 방금 말씀드린 방식이 제가 지난 6년 동안의 매일 해 왔던 것과 정확하게 일치합니다. 저는 고등학교에서 수학을 가르칩니다. 저는 시장에서 아무도 원치 않는, 그러나 법적으로 구매가 강요되는 제품을 판매하고 있습니다. 잘 될 것 같은데 늘 실패합니다.

제가 봤던 학생들 사이에도 유의미한 경향이 있습니다. 여러분에게 있어서도 마찬가지입니다. 제가 지금 여러분에게 대수학 2 기말 시험지를 드린다면 여러분 중의 25% 이하만이 통과할 것이라고 예상합니다. 이 두 가지 사실이 오늘날 미국에서 행해지는 이른바 수학 교육이라는 것에 있어서 많은 것을 시사하지는 않을 수 있습니다.

시작하기에 앞서, 저는 수학을 두 분야로 나누고자 합니다. 하나는 계산 분야입니다. 여러분이 잊어버린 것들이고요. 이를테면 계수가 1보다 큰 이차 방정식의 인수분해 방법 같은 것을 말합니다. 이런 것은, 여러분이 증명, 수학적 증명이라는 것에 강하게 몰두하고 지지하고 있을 때에는 다시 떠올리는 것이 굉장히 쉽습니다. 반면에 우리 주변에 있는 현상들에 대한 수학적인 접근으로 이른바 응용이라고 부르는 것이 있는데요 이것은 가르치기 몹시 어렵습니다. 응용은 우리가 학생들에게, 그들이 앞으로 수학 분야에 진출하지 않더라도, 그 능력을 보유할 수 있도록 하길 원하는 것입니다. 이것이 지금 미국에서 수학을 가르치는 방법입니다. 어떻게 해도 그 지식을 유지하지 못합니다. 오늘 이 자리를 빌려 저는 왜 이 사회에 이러한 재난이 펼쳐지고 있는지, 그리고, 유사한 관점에서, 오늘날 수학 교사가 되는 것이 왜 놀라운 경험이 되는지 말씀드리고 싶습니다.

먼저, 교실에서 이루어지는 수학 증명이 잘못된 점을 5가지 현상으로 설명하겠습니다. 첫째는 동기의 부족입니다.; 학생들은 스스로 공부하지 않습니다. 한 수업 분의 내용을 다 설명하고 나면, 즉시 5명 정도가 손을 들어 방금 배웠던 것을 처음부터 끝까지 그들의 책상에서 다시 가르쳐주길 요청합니다. 학생들은 인내심이 부족합니다. 지속적인 기억력이 부족합니다.; 약 3개월 후엔 재고처리 하듯 개념을 다시 설명해 주어야 합니다. 또 '문제(Problem)'라는 단어는 부정적인 뉘앙스가 있어서 제 수업의 99%의 학생들이 거부감을 드러내고 오직 1% 정도의 학생들만이 상황에 적당한 공식을 찾아내려는 의욕을 보입니다. 아주 비생산적인 방식입니다.

유명 방송 프로그램 "데드우드(Deadwood)"의 제작자인 데이비드 밀치(David Milch)는 이에 대해서 명쾌한 의견을 갖고 있습니다. 데이비드는 현대시대의 이야기를 보여주는 드라마는 만들지 않는다 선언했습니다. 데이비드는 사람들이 하루에 4시간 동안 "두 남자와 1/2" 같은 드라마를 보고 있으면서 사람들은 비교적 간단한 수준의 문제들을 예상하는 신경 경로를 구성한다고 합니다. 그는 이것을 "우유부단에 대한 초조함"이라고 불렀습니다. 사람들은 문제를 빨리 해결할 수 없다면 초조해합니다. 22분 동안 웃고, 광고하는 동안 잠깐 쉬었다가, 웃는 시트콤 같은 문제를 선호합니다. 여러분이 모두 아시는 것처럼, 단순한(쉬운) 문제는 풀만 한 가치가 없습니다. 전 언젠가 제 학생들이 만들어갈 세상을 보며 은퇴할 것이기 때문에, 이것이 좀 걱정스럽습니다. 제가 이런 식(간단한 문제를 기계적으로 풀어내는 것)으로 가르치는 건 저 혼자 잘 먹고 잘살려고 나쁜 짓을 하는 겁니다. 적어도 우리가 가르치는 교과서는, 특히 널리 쓰이고 있는 교과서는 수학적 추론과 참을성 있는 문제 해결방식을 가르쳐야 한다고 말씀드리려고 합니다. "두 남자와 1/2"를 켜고 오늘은 이제 쉬자 하는 소리와 기능적으로는 일치합니다.

(웃음)

진지해지겠습니다. 여기에 물리 교과서에서 가져온 예제가 하나 있습니다. 수학과 다를 것이 없죠. 첫 번째로 여기 정확하게 세개의 정보를 알려주고 있습니다. 이 세개는 공식 속 어딘가로 들어가서 결국은 학생들이 계산하게 될 것입니다. 전 진짜 삶에서의 것들을 믿습니다 스스로에게 직접 물어보세요. 지금까지 여러분께서 당면하여 풀어낸 문제 중에서 풀 만한 가치가 있었다는 전제하에 미리 어떤 정보 같은 걸 알고 있었던 적이 있었습니까? 아니면 정보가 많지 않아서 필요한 정보만 걸러내거나, 정보가 너무 부족한 나머지 스스로 찾아야만 했었습니까? 모든 분이 풀 가치가 있는 어떠한 문제도 이렇진 않았을 거라는데 동의하실 것입니다. 제 생각에 교과서는 학생들을 망치는 방법을 알고 있는 것 같습니다. 보세요. 이것은 예제 문제 세트입니다. 실제 문제를 풀려고 하면, 바로 이런 문제를 보게 됩니다. 숫자를 좀 바꿔놓고, 내용을 좀 꼬아놓습니다. 이 도장을 어디서 찍어낸 것인지 모르는 학생들을 위해서 친절하게도 공식을 찾으려면 어떤 예제 문제를 찾아야 하는지 알려줍니다. 어떤 물리학 법칙을 몰라도 누구나 이 문제를 풀 수 있다고 확신합니다. 교과서만 이해할 수 있다면요. 부끄러운 일입니다.

자 그럼 좀 더 수학 문제를 진단해보도록 하겠습니다. 이건 제가 좋아하는 아주 멋진 문제입니다. 스키 리프트를 사용해서 기울기와 경사를 찾아내는 문제입니다. 이것은 사실 4면으로 되어 있는 있습니다. 여러분 중 어떤 분이 이 4면이 보이시는지 궁금하네요. 특히, 이걸 합쳐서 놓고 학생들에게 한번에 보여줬을 때 어떻게 이 참을 수 없는 문제를 만들었는지 알 수 있을까요? 여기에 정리해보죠. 그림이 있습니다. 격자, 치수, 라벨 점, 축과 같은 것들로 이루어진 수학적 구조체가 있습니다. 하위단계가 있습니다. 문제에서 실제로 말하고 싶은 어떤 구역이 가장 가파른가 하는 것을 말하고 있습니다.

저는 여러분이 정말로 여러분께서 저희가 지금 여기서 하고 있는 것이 복잡한 문제, 복잡한 대답을 가져와서 한 지점에서 다른 점까지 부드러운 직진 노선을 그리는 것이고 학생들이 어떻게 하면 조그만 틈을 넘어서 가야 하는지를 알려주는 것입니다. 이것이 전부입니다. 그래서 저희가 이러한 것들을 여러 가지 방식으로 학생들과 함께 분리해 낸다면, 참을성 있는 문제 해결을 위한 모든 것을 찾아낼 수 있습니다.

자 그럼, 이 그림부터 시작하겠습니다. 한가지 여쭙겠습니다. 어떤 부분이 가장 가파른가요? 이렇게 대화를 시작합니다. 이 그림은 두 가지 해답이 나올 수 있는 방식으로 만들어졌습니다. 그러면 사람들이 이제 갑론을박을 시작할 것입니다. 친구끼리, 한 쌍이 돼서, 뭐 어떻게든요. 그럼 이제 화면에 왼쪽에 있는 사람이 어쩌고 중간 바로 위에 있는 사람 어쩌고 하는 게 귀찮아 질 겁니다. 우리가 각각 스키 타는 사람들에게 A,B,C,D와 같이 이름을 붙여준다면 아주 편리해질 것입니다. 이제 가파른 것이 무슨 의미인가를 정의하려 들 때 정확하게 가파른 것이 어떤 의미인지 한정하기 위해서 측정수단 같은 것이 있으면 좋을 것입니다. 그러고 나서야 이런 수학적 구조체를 그릴 수 있겠습니다. 수학은 대화를 도와줍니다. 대화가 수학을 도와주는 것이 아닙니다. 그런 의미에서 볼 때 10명 중 9명은 이 경사, 기울기 문제를 풀면 됩니다. 하지만 필요하다면 이러한 다음 단계의 문제들을 풀어 볼 수도 있겠습니다.

이제 어떤 부분이 수학적 추론, 즉 참을성 문제 풀기인지 보이십니까? 저한테는 아주 잘 보입니다. 아인슈타인에게 잠시 이 자리를 양보하겠습니다. 존경할만한 분이시죠. 아인슈타인은 문제 공식이 정말로 중요하다고 말씀하셨습니다. 하지만 여기 미국에서는 그저 학생들에게 문제를 던져줘 버립니다. 문제의 공식 속으로 학생들을 몰아넣지 못합니다.

제가 하는 일의 90퍼센트는 일주일에 5시간 정도 준비시간을 들여서 교과서에 있는 이런 형식의 복잡한 문제들을 가지고 수학적 추론과 참을성 있는 문제 풀기를 이끌어낼 방식으로 재구성하는 일입니다. 어떻게 하는지 보시죠. 이 문제를 좋아합니다. 물탱크에 관한 내용인데요. 이 탱크를 다 채울 때까지 얼마나 시간이 걸릴까? 하는 문제입니다. 첫째, 서브 문제들을 제거합니다. 학생들이 할 일입니다. 학생들이 공식화 할거에요. 여기 써져 있는 모든 정보는 나중에 필요할 것입니다. 복잡하게 할 뿐이니까 다 지우겠습니다. 학생들은 이제 결정할 것입니다. 높이는 어떻게 되지? 크기는 어떻게 되지? 수도꼭지는 무슨 색이고? 문제가 뭘까? 수학 교육과정에서는 거의 나오지 않는 질문입니다. 자 이제 물탱크가 있습니다. 이걸 채우는데 얼마나 걸릴까? 그것뿐입니다.

지금은 21세기인 데다가 사람들은 실제 세상에서 일어나는 일을 실물을 가지고 이야기하고 싶어합니다. 우리가 교과서에서 자주 보는 도형이나 선분 같은 것들은 말고요. 자 그럼 그림을 지우고 사진을 가져왔습니다. 이제 실질적인 문제입니다. 이걸 채우는데 얼마나 시간이 걸릴까? 누군가 이 물탱크를 채우는 것을 동영상으로 촬영하면 더 좋겠습니다. 자 이제 천천히 채우고 있습니다. 짜증 날 정도로 천천히요. 지루하네요. 학생들은 시계도 봤다가, 눈도 굴리고 하다가 결국 궁금증이 생기겠죠. "선생님, 그걸 채우는데 얼마나 오래 걸려요?" (웃음) 바로 이렇게 낚시에 걸리게 되는 거죠. 그렇죠?

저는 이 문제가 정말 재밌습니다. 서두에 말씀드렸던 것처럼 저는 학생들을 가르칩니다. 전, 경험이 부족해서 치료단계에 있는 학생들을 주로 가르칩니다. 그래서 저는 절대 수학 얘기를 안 할 학생들도 가르칩니다. 그 아이들은 다른 애들은 공식도 알고 있고, 다른 애들은 공식을 적용하는 방법을 나보다 잘 아니까, 난 얘기 안 해. 이렇게 생각합니다. 하지만 이런 방식은 아이들에게 그저 직관적인 능력만 필요로 합니다. 다들 물탱크 같은 걸 채워본 적이 있으니까요. 그러면 학생들이 제게 물어봅니다. 시간이 얼마나 걸려요? 저는 수학이나 대화를 거북해하던 아이들이 수학 얘기에 끼어드는 걸 봐왔습니다. 칠판에 이름을 적고 추측한 걸 옆에 적어 놓습니다. 학생들이 그걸 여기에 가져오죠 그리고나서 우리는 지금까지 설명했던 과정을 따라갑니다. 여기서 가장 좋은 부분, 혹은 보다 나은 부분은, 저희는 교사용 교과서에서 나온 답변 예시를 가지고 답을 만들지 않는다는 것입니다. 대신, 끝까지 동영상을 봅니다. (웃음) 놀라운 일입니다. 이론 모델은 언제나 교사용 책 뒤에 있는 답변 모델을 가지고 해야만 말이 되니까요. 물론 좋죠. 하지만 이론이 현실에 적용되지 않으면 근본적인 문제점을 찾기가 어려워집니다. 하지만, 저희가 하는 방식은 무엇보다도 아주 가치 있습니다.

그러면 여기서 제가 수업 첫날 발견한 지금까지 어떠한 바이러스에 학생들이 걸렸는지 보여 드리겠습니다. 한 학기가 지나자, 이 학생들은 이제 제가 칠판에 완전히 새롭고 본적이 없는 것을 적으면 이것에 대한 이야기를 나눕니다. 학년 초보다 3~4분 더 길어졌습니다. 재밌는 현상입니다. 우리는 더 이상 수학 용어에 대한 거부감을 느끼지 않습니디. 우리가 용어를 다시 만들었기 때문이죠. 수학에 주눅들지 않습니다. 천천히 수학을 다시 정의했기 때문이죠. 정말 재밌었습니다.

전 다른 수학 선생님들께 몇 가지를 권유합니다. 멀티미디어를 활용하세요. 수학을 실제 생활로 가져오기 때문입니다. 해상도 높고 컬러 화면이 학생들이 스스로의 직관을 사용할 수 있게 하세요. 가능한 짧고 명확한 문제를 물어보세요. 좀 더 명확한 질문이 대화의 화제가 되어야 합니다. 학생들 스스로가 문제를 만들게 하세요. 아인슈타인이 그렇게 말했으니까요. 결정적으로 도움을 조금만 주세요. 교과서는 잘못된 방법을 가르쳐 줄 뿐입니다. 당신의 의무를 면해줄 뿐입니다. 참을성 있는 문제 해결과 수학적 추론을 위해서는 도움이 적어야 합니다.

지금 제가 수학 선생이어서 정말 좋은 일은 어렵지 않은 방법으로 높은 수준의 교육 과정을 만들 수 있는 도구가 있기 때문입니다. 어디에나 있고 가격도 저렴합니다. 이 도구들은 저작권도 없이 자유롭게 쓸 수 있습니다. 이렇게 저렴하고, 접근이 쉬웠던 적이 여지껏 없었습니다. 전 얼마 전에 제가 만든 동영상들을 블로그에 올렸습니다. 단 2주 동안 6천 명이 보고 갔습니다. 전 아직 제가 가본 적도 없는 나라의 선생님들한테 이메일을 받고 있습니다. 이렇게 말합니다. "와, 좋아요. 이 문제를 가지고 참 괜찮은 수업을 했습니다. 아, 그런데, 여기 좀 수정할 것이 있어서 해봤어요" 멋지지 않습니까? 전 최근에 이 문제를 제 블로그에 올려 놓았습니다. 슈퍼에서, 한 사람이 19개 물건을 산 계산대와 3,5,2,1개의 물건을 산 네 사람이 있는 계산대 중 어떤 계산대에 줄을 서야 할까 하는 문제입니다. 수업에서 이렇게 그림을 가지고 다루어도 좋습니다. 하지만, 전 몇 주 후 실제로 "굿모닝 아메리카"에서 이 상황을 만났습니다. 재밌지 않습니까?

그렇습니다. 저는 학생들뿐만 아니라 많은 사람이 이것을 알고 싶어한다고 생각합니다. 수학은 세상을 설명합니다. 수학은 당신의 직관을 표현하는 어휘입니다. 저는 여러분이 어떤 교육을 받으셨든, 학생이든, 부모님이든, 선생이든, 정치가든 누구든 더 나은 수학 교육과정을 요구하셨으면 합니다. 우리는 참을성 있게 문제를 풀 사람들이 필요합니다. 감사합니다.