베노이트 만델브로트: 프렉탈과 거칠기의 미학

대단히 감사합니다. 좀 앉도록 하겠습니다. 제가 나이가 좀 들어서요. (웃음) 오늘 제가 얘기할 주제는 아주 오래되어 어떤 의미에서는 매우 이상할 수도 있습니다. 거칠다는 것은 인간의 삶과 떼어놓을 수 없는 인간의 삶의 일부입니다. 고대의 작가들도 그것에 대해 썼습니다. 그것은 대단히 걷잡을 수 없었습니다. 그리고 어떤 의미에서 그것은 복잡성의 극한으로 보였고 그저 엉망, 엉망, 엉망이었습니다. 엉망에도 종류가 여러 가지가 있습니다. 이제, 사실은 전적으로 요행에 의해서 저는 오래 전에 이런 유형의 복잡성 연구에 참여하게 되었습니다. 그리고 저는 순전히 놀라움만으로 그 거칠은 속에서 질서의 흔적을 찾아냈습니다. 거칠기의 규칙에 관한 아주 강한 흔적이었습니다. 그래서 오늘 저는 여러분들께 이것이 의미하는 바를 예를 들어 설명 드리겠습니다. 저는 불규칙이라는 단어보다는 거칠기라는 단어를 선호합니다. 왜냐하면 불규칙은 아주 오래전 제가 어릴 때 라틴어를 배운 분들에게는 규칙의 반대를 의미하기 때문입니다. 그러나 그것은 그렇지 않습니다. 세계의 기본적인 양상은 굉장히 거칠기 때문에 규칙성은 거칠기의 반대입니다.

그러니까 제가 몇 가지 사물을 보여드리겠습니다. 일부는 인공의 사물입니다. 나머지는 한편으로는 정말 진짜입니다. 자 이것은 진짜입니다. 컬리플라워입니다. 아주 평범하고 오래된 야채인 컬리플라워를 왜 보여드렸을까요? 왜냐하면 오래된 옛날의 것이지만 그것은 대단히 복잡하면서 동시에 대단히 단순합니다. 무게를 재는 것은 물론 정말 쉽습니다. 그리고 드실 때, 무게는 중요합니다. 그러나 여러분이 표면을 측정한다고 생각해 보세요. 이것은 굉장히 흥미롭습니다. 컬리플라워의 꽃 부분을 날카로운 칼로 잘라서 따로 보면 작은 컬리플라워로 보입니다. 그리고 또 다시, 또, 또, 또, 또, 또, 또, 또, 또 자를 수 있습니다. 그래도 작은 컬리플라워를 얻습니다. 결국 인간은 이와 같이 특이한 속성에 의해 부분이 크기만 작은 전체를 나타내는 형태를 항상 경험해 왔습니다. 자, 인간이 그것으로 무엇을 했나요? 그다지. (웃음)

그래서 이 문제를 연구하기로 했고, 상당히 놀라운 것을 발견했습니다. 그것은 거칠기를 숫자로, 2.3, 1.2 또는 훨씬 더 많이 측정할 수 있다는 것입니다. 하루는 친구가 저를 괴롭히기 위해 사진 한 장을 들고 와서 말했습니다. "이 곡선의 거칠기는 얼마야?" 저는, "음, 1.5 조금 못 미칠 듯." 그것은 1.48 이었습니다. 이제는 시간이 걸리지도 않습니다. 저는 이런 것들을 너무 많이 봐 왔습니다. 결국 이런 숫자들은 이런 표면의 거칠기를 나타내는 숫자들입니다. 이러한 표면은 완전히 인위적입니다. 컴퓨터로 그린 것입니다. 그리고 유일한 입력은 숫자입니다. 그 숫자가 거칠기입니다. 왼쪽에, 제가 다양한 풍경에서 나타나는 거칠기를 복사했습니다. 그 오른쪽에, 더 높은 거칠기를. 그래서 잠시만 보면 눈으로 이 둘을 구분할 수 있습니다.

인간은 거칠기 측정에 대해 배워야 했습니다. 이것은 아주 거칠고, 이것은 약간 매끄럽고, 이것은 완벽하게 매끄럽습니다. 극히 일부만 아주 매끄럽습니다. 그러면 이렇게 물을 수 있습니다: 컬리플라워의 표면은 무엇인가? 음, 당신은 측정하고 측정하고 또 측정합니다. 매번 근접해 갈수록 그 값은 더 커지고, 아주, 아주 짧은 거리까지 갑니다. 이러한 호수의 해안선의 길이는 어떻게 될까요? 가까이서 측정할수록 더 길어 집니다. 해안선의 길이라는 개념은 많은 경우에 기정사실로 여겨 너무 자연스러워 보이지만 사실은 완전히 그릇된 생각입니다. 그런 것은 없습니다. 여러분은 다른 방법으로 해야 합니다.

이런 것을 알아서 무슨 소용이 있을까요? 음, 뜻밖에도 많은 경우에 소용이 있습니다. 어느 정도 제가 만들고 영화관에서 항상 사용되는 인공 풍경을 예로 들수 있습니다. 먼 곳에 있는 산들을 본다고 합시다. 진짜 산일 수도 있지만, 공식에 의한 결과일수도 있습니다. 자 이것은 굉장히 하기 쉽습니다. 예전에는 시간이 많이 걸렸지만 이제는 아무것도 아닙니다. 저것을 보세요. 진짜 폐입니다. 폐라는 것은 정말 이상한 것입니다. 만약 이것을 측정해본다면 굉장히 가볍다는 것을 알 수 있습니다. 폐의 부피는 굉장히 작습니다. 그러나 폐의 면적은 어떻습니까? 해부학자들은 그것을 놓고 많은 논쟁을 벌였습니다. 어떤 이는 보통 남자 성인의 폐가 농구공 내부 면적과 같다고 얘기합니다. 다른 사람들은, 아니다. 농구공 다섯 개. 엄청난 차이입니다. 왜 그럴까요? 폐의 면적이라는 것이 굉장히 불분명하기 때문입니다. 기관지가 가지치고, 가지치고, 가지치고. 그리고 가지치는 것이 어떤 원칙 때문이 아니라 폐 안에 있는 점액의 물리적인 이유로 멈춥니다. 따라서 그것은 훨씬 더 큰 폐를 갖게 되는 이유이고, 그것이 가지치고, 가지치면 결국 고래나 사람이나 설치류나 대략 같은 길이에서 멈춥니다.

그럼 그것을 알아서 뭐가 좋을까요? 자, 의외로, 굉장히 놀랍게도, 해부학자들은 아주 최근까지도 폐의 구조에 대해 정말 형편없는 생각을 갖고 있었습니다. 그리고 저는 기하학적 구조가 없는 가지치기 체계를 나타낸 제 수학이 정말 놀랍게도 폐질환과 신장질환을 연구하는 외과 전문의들에게 많은 도움을 주었다고 생각합니다. 결국 저는 기하학적 구조가 없는 것들의 기하학적 구조를 만들고 있었습니다. 그리고 이것의 놀라운 점은 거의 대부분 기하학적 규칙이 굉장히 짧다는 것입니다. 저 정도 길이의 규칙이 있습니다. 그리고 여러 번 실행해 봅니다. 때때로 반복적으로, 다시, 다시, 다시. 같은 반복입니다. 마지막엔 이와 비슷한 것을 얻습니다.

이 구름은 100% 완전히 인공적입니다. 음, 99.9. 구름의 거칠기인 숫자는 자연에서 얻어 유일하게 자연스러운 부분입니다. 구름과 같이 아주 복잡하고, 불안정하며, 너무도 다양하지만 어떤 것도 간단한 규칙이 숨어 있습니다. 이 간단한 규칙이 구름을 설명하는 것은 아닙니다. 구름을 보는 사람이 이를 고려했어야합니다. 저는 이 오래된 그림들이 얼마나 진보된 것인지 모릅니다. 이것에 많이 관여는 했었지만 다른 현상에 관심을 돌리게 되었습니다.

자, 여기 상당히 흥미로운 것이 또 있습니다. 수학의 역사에서 엄청나게 충격적이고 많은 사람들이 진가를 제대로 모르는 130년 전쯤, 145년 전쯤 일어난 사건입니다. 수학자들은 존재하지 않았던 모양들을 만들기 시작했습니다. 자연이 모르는 것을 사람이 발명할 수 있다는 놀라운 사실에 수학자들은 자화자찬했습니다. 특히, 그런 방식을 이용해 면을 채우는 곡선 같은 것을 발명할 수 있었습니다. 곡선은 곡선이고, 면은 면이지 둘은 섞이지 않습니다. 아니 그 둘은 섞입니다. 페아노라는 사람이 그런 곡선을 정의했고 대단히 흥미로운 것이 되었습니다. 그것은 굉장히 중요하고 현실로부터의 수학과 순전히 사람의 생각에 의한 새로운 수학을 분리했다는 점에서 아주 흥미롭습니다. 인간의 순수한 지성이 오랫동안 보아왔던 것을 이제서야 제대로 보게 되었다는 점을 지적합니다. 그래서 제가 면을 채우는 곡선의 여러 집합에 대해 소개하겠습니다. 그리고, 그 자체의 이야기입니다. 때는 1875년부터 1925년, 수학이 스스로 세상으로부터 벗어나기 위해 준비한 놀라운 시기였습니다. 예를 들어 제가 어릴 때, 그리고 학생 때 수학과 현실을 분리하기 위해 사용하던 것들을 저는 완전히 뒤바꿔놨습니다. 저는 그것들을 자연의 일부 복잡한 측면을 설명하는데 사용했습니다.

1919년에 하우스도르프라는 사람이 하나의 수를 소개했는데 그것은 수리적인 장난에 불과했습니다. 하지만 저는 이 수가 거칠기를 측정하기에 좋다는 것을 발견했습니다. 제가 처음에 수학과 친구들에게 얘기하자, 이렇게 답했습니다. "바보 같은 소리 하지마. 그것은 그냥 바보 같은 짓이야." 사실, 저는 바보가 아니었습니다. 위대한 화가 호쿠사이는 그것을 잘 알았습니다. 바닥에 있는 것은 조류입니다. 그는 수학을 몰랐고 그땐 존재하지도 않았습니다. 그리고 그는 일본인으로 서양과 교류가 없었습니다. 그러나 오랜 시간 그림을 그려 프랙탈적인 양상을 띠었습니다. 저는 그것에 대해 오랫동안 이야기할 수 있습니다. 에펠탑도 프랙탈적인 양상을 띱니다. 저는 에펠 선생이 자신의 탑에 대해 쓴 책을 읽었습니다. 그의 이해는 매우 놀라운 수준이었습니다.

이것은 엉망, 엉망, 엉망, 브라운 루프입니다. 제 인생의 중간쯤에서 제가 제 일의 너무 많은 부분에 집착해서, 하루는 제 스스로를 시험해 보기로 했습니다. 모든 사람들이 오랫동안 찾아왔던 것을 제가 그냥 봐서 전혀 새로운 것을 발견 할 수 있을까요? 그래서 저는 브라운 운동이라 불리는 불규칙한 운동을 쳐다보았습니다. 저는 이것을 갖고 잠깐 놀다가 원점으로 되돌려놨습니다. 그리고 조교에게 말했습니다. "나는 아무것도 안 보이는데, 이것을 그려줄 수 있니?" 그래서 그는 그것을 그렸습니다. 다시 말해서, 모든 것을 넣고 그가 말했습니다. "이렇게 됐습니다..." 그리고 제가 말했습니다. "멈춰! 멈춰! 멈춰! 보인다. 그것은 섬이야." 그리고 놀라웠습니다. 결국 브라운 운동은 거칠기 수가 2인 불규칙 운동이었습니다. 저는 그것을 측정했습니다. 1.33 다시, 다시, 다시 오랜 측정, 큰 브라운 운동, 1.33. 수학적 문제: 어떻게 증명하죠? 제 친구들은 20년이 걸렸습니다. 그 중에 셋은 미완성 증명이었습니다. 그들은 함께, 모여서 증명했습니다. 그래서 그들은 수학 분야에서 위대한 상[필즈상]을 받았습니다. 셋 중 하나의 메달은 제가 관찰은 했지만 증명하지 못한 것을 증명한 업적으로 수여되었습니다.

이제 모든 분들이 한 시점에서 또는 다른 시점에 저한테 묻습니다. "이 모든 것이 어떻게 시작되었습니까? 어떻게 그렇게 이상한 것에 빠지셨습니까?" 무엇이 저를 동시에 기계 공학자이며 지리학자이며 수학자이며 물리학자 등으로 만들었을까요? 사실 저는 주식 시장 가격을 공부하면서 굉장히 특이하게 시작했습니다. 그래서 저는 제 이론이 있었고 그것으로 책들을 썼습니다. 금융의 물가 상승. 좌측에 오랜 기간의 정보가 있습니다. 오른쪽 위에 아주, 아주 세련된 이론을 볼 수 있습니다. 그것은 아주 쉬웠고 여러분도 그에 대해 많은 책을 금방 쓸 수 있습니다. (웃음) 그것에 대해 수천 가지의 책들이 있습니다. 그럼 그것과 실제 물가 상승을 비교해 보면 실제 물가 상승은 어디 있습니까? 음, 여기 다른 선들이 일부 실제 물가 상승과 저의 조작을 약간 포함합니다. 결국 목적은 누구든, 어떻게 얘기 할까요?, 물가 변동을 모형화 할 수 있어야 한다는 것입니다. 그리고 그것은 50년 전에 아주 잘 되었습니다. 50년간 사람들은 훨씬 쉽게 할 수 있었기 때문에 저에게 콧방귀를 뀌었습니다. 그러나 이제 사람들이 정말로 저에게 귀 기울입니다. (웃음) 이 두 곡선은 평균입니다. 파란 선은 S&P. 그리고 빨간 선은 S&P에서 가장 큰 다섯 개의 불연속을 뺀 것입니다. 불연속은 골칫거리입니다. 그래서 많은 사람들은 물가 연구에서 그것들을 제쳐놓습니다. "글쎄, 불가항력. 그리고 약간 허튼소리입니다. 불가항력." 이 사진에서 다섯 개의 불가항력이 다른 모든 것과 같이 중요합니다. 다시 말해서 불가항력이라고 제쳐놓아서는 안 됩니다. 그것이 골자이면서 문제입니다. 여러분이 이것의 달인이 되면 물가의 달인이 됩니다. 그리고 여러분이 이것들을 통달하지 못하면 여러분은 사소한 잡음만의 달인이 될 것입니다. 하지만 이것은 중요하지 않습니다. 자, 여기 그것을 위한 곡선입니다.

이제,마지막으로 제 이름이 붙여진 집합입니다. 어떤 면에서는 제 인생 이야기입니다. 저는 독일 치하의 프랑스에서 제 청소년기를 보냈습니다. 그랬기 때문에 저는 하루 또는 일주일 안으로 사라질 수도 있다고 생각했습니다. 저는 큰 꿈을 가졌었습니다. 전쟁이 끝난 이후에 저는 다시 삼촌을 만났습니다. 제 삼촌은 굉장히 유명한 수학자였으며 제게 말했습니다. "봐라, 지난 25년간, 나와 그 누구도 풀지 못했던 문제가 있다. 이것은 가스통 쥘리아와 피에르 파투가 만든 작도 문제다. 만약 네가 어떤 것이든 새로운 것을 찾는다면 출세할 것이다." 아주 간단합니다. 그래서 저는 살펴보았고, 그 전에 시도했던 수천 명과 마찬가지로 아무 것도 못 찾았습니다.

그러나 이후에 컴퓨터가 나왔습니다. 그리고 이와 같이 꿈틀꿈틀한(번역자: 프렉탈) 새로운 문제가 아닌 오래된 문제들을 컴퓨터에 적용해보기로 했습니다. 그래서 저는 누구든 그랬어야만 하는 선 위의 점으로 이루어진 실수에서부터 허수까지 면 위의 점인 복소수를 적용해 보기로 했습니다. 결과적으로 이런 모양이 나왔습니다. 이 모양은 보기 드물게 복잡합니다. 여기에 등식이 숨어있습니다. z는 z 제곱 더하기 c. 너무 간단하고 재미없습니다. 너무 흥미롭지 못합니다. 여러분들이 등식을 돌리면 한 번, 두번, 두 번 돌리면 경이로운 결과가 나옵니다. 제 말은 이게 나온다는 것입니다. 이것을 설명 드리고 싶지는 않습니다. 이것이 나오고, 이것이 나옵니다. 굉장히 복잡하면서 굉장히 조화롭고 굉장히 아름다운 모양입니다. 이것이 나오고 반복적으로, 다시, 다시, 다시. 그리고 저것이 저의 중요한 발견중 하나로 섬들이 전체와 거의 같다는 것을 찾는 것이었습니다. 그러면 여러분은 이와 같이 놀라운 바로크 장식을 사방에 얻습니다. 모든 것이 단지 다섯 개의 기호로 이루어진 이 작은 공식으로부터 나옵니다. 그리고 이것. 두 가지 이유로 색을 입혔습니다. 먼저, 모양들이 너무나 복잡해서 수들을 이해하기가 어렵습니다. 만약 그래프를 그리고자 하면 특정 체계를 선택해야 합니다. 그래서 저는 항상 모양을 나타낼 때 각각 다른 색을 이용했습니다. 다른 색을 이용하면 어떤 색은 이것을 강조하고 다른 색은 다른 것을 나타냅니다. 너무나 복잡합니다.

(웃음)

1990년 저는 대학으로부터 상을 받기 위해 영국 케임브리지에 갔었습니다. 그리고 3일 후에, 한 비행사가 하늘 위를 날다가 이것을 발견했습니다. 이것은 어디에서 왔을까요? 당연히, 외계에서 왔습니다. (웃음) 그래서 케임브리지에 있는 신문사에서 그 "발견"에 대한 기사를 게재하고 다음날 사람들로부터, "그것은 단지 아주 큰 만델브로트 집합이다." 라고 하는 5천여통의 편지를 받았습니다.

자, 마무리하겠습니다. 이 모양은 순전히 수학적인 과정을 통해 만들어졌습니다. 끝없이 반복되는 이 단순한 규칙으로부터 무한한 호기심이 나오게 됩니다.

대단히 감사합니다.

(박수)