מרקוס דו סאוטוי: סימטריה, חידת המציאות

ב-30 למאי 1832 נשמעה ירייה שהדהדה ברובע ה-13 בפריז (ירייה) איכר שהיה בדרכו לשוק באותו הבוקר רץ לכיוון המקום ממנו נשמעה הירייה ומצא אדם צעיר מתפתל בכאבים על הרצפה היה ברור שהוא נורה במסגרת דו קרב שמו של האדם הצעיר היה אווריסט גלואה הוא היה מהפכן ידוע בפריז של אותה התקופה גלואה נלקח לבית החולים הקרוב שם הוא נפטר למחרת בזרועות אחיו ומילותיו האחרונות לאחיו היו "אל תבכה עלי אלפרד אני צריך את כל האומץ שאני יכול לאזור בשביל למות בגיל 20"

למעשה, לא הפוליטיקה המהפכנית היא שפירסמה את גלואה אשר גלואה היה מפורסם בה אלא כמה שנים קודם לכן כשעוד היה בבית הספר כשהצליח לפצח את אחת החידות המתמטיות הגדולות באותה התקופה והוא כתב לאקדמאים בפריז וניסה להסביר את התאוריה שלו אך האקדמאים לא הבינו דבר ממה שכתב (צחוק) כך הוא כתב את רוב המתמטיקה שלו

לילה לפני הדו קרב, הוא הבין שיתכן וזו אולי הזדמנותו האחרונה להסביר את פריצת הדרך הגדולה שלו לכן הוא נשאר ער כל אותו הלילה וכתב בנסיון להסביר את רעיונותיו וכשהשחר עלה והוא יצא לפגוש את גורלו הוא השאיר ערימת ניירות על שולחנו למען הדורות הבאים אולי העובדה שהוא נשאר ער כל הלילה ועסק במתמטיקה היתה הסיבה שבגללה היה צלף גרוע באותו הבוקר ונהרג

אך במסמכים הללו היתה טמונה שפה חדשה, שפה להבנת אחד מהעקרונות הבסיסיים ביותר של המדע - הסימטריה סימטריה היא כמעט השפה של הטבע היא עוזרת לנו להבין כל כך הרבה חלקים שונים של עולם המדע למשל, המבנה המולקולרי. מהם הגבישים האפשריים אנו יכולים להבין דרך המתמטיקה של הסימטריה

במיקרוביולוגיה, לא רוצים למצוא אובייקטים סימטריים משום שהם בדרך כלל די זדוניים הוירוס הנוכחי של שפעת החזירים, הוא אובייקט סימטרי והוא מנצל את יעילותה של הסימטריה כדי להתרבות בצורה כה מוצלחת. אך גם בקנה מידה ביולוגי גדול יותר, הסימטריה מאוד חשובה כי היא מעבירה מידע גנטי

לקחתי כאן שתי תמונות, והפכתי אותן לסימטריות באופן מלאכותי ואם אשאל אתכם איזו יפה יותר בעינכם, בוודאי תמשכו לשתיים התחתונות משום שקשה ליצור סימטריה. ואם תוכלו להפוך את עצמכם לסימטריים, אתם שולחים מסר שיש לכם גנים טובים, שהיה לכם חינוך טוב ולכן אתם מהווים זיווג טוב כך שהסימטריה היא שפה שיכולה לסייע לנו להעביר מידע גנטי.

הסימטריה גם יכולה לעזור לנו להסביר מה קורה במאיץ החלקיקים האירופי CERN או מה לא קורה שם... כדי לאפשר חיזוי אילו חלקיקי יסוד נוכל לראות שם, נראה שהם כולם פאות של צורה סימטרית משונה שקיימת במימד גבוה יותר

ואני חושב שגלילאו סיכם יפה מאוד את יכולתה של המתמטיקה, להבין את העולם המדעי סביבנו הוא כתב: "לא נוכל לקרוא את היקום אם לא נלמד את השפה ונכיר את האותיות בהן הוא כתוב. הוא כתוב בשפת המתמטיקה. והאותיות הן משולשים, עיגולים וצורות גיאומטריות אחרות שבלעדיהן לא יוכל האדם להבין ולו מילה בודדת."

אבל לא רק המדענים מתעניינים בסימטריה גם האמנים אוהבים להשתעשע עם הסימטריה יש להם גם יחסים יותר שנויים במחלוקת איתה. הנה תומס מאן מדבר על סימטריה ב"הר הקסם" יש לו תו המתאר פתית שלג שהוא "נחרד לנוכח דיוקו המושלם ראה בו את המוות, את עצם מהות המוות."

אך מה שהאמנים אוהבים לעשות הוא ליצור ציפיות לסימטריה ואז לסכל אותן ודוגמא יפה לכך מצאתי, למעשה, כשביקרתי עמית שלי ביפן, פרופסור קורוקווה הוא לקח אותי למקדשים בניקו. ומיד לאחר שהתמונה הזו צולמה, עלינו במדרגות. ולשער שאתם רואים מאחור יש שמונה עמודים, עם דוגמאות סימטריות יפיפיות שבע מתוכן זהות לחלוטין, והשמינית הפוכה

ואז אמרתי לפרופסור קורוקווה "וואו, בטח האדריכלים בעטו בעצמם כשהם ראו שהם שמו את זה הפוך" ואז הוא אמר "לא, לא, לא זה היה מעשה מכוון" והוא הפנה אותי לציטוט הנחמד הזה מ"חיבורים על אי עשייה" היפני מהמאה ה-14 שם המחבר כתב "בכל דבר ודבר אין האחידות רצויה. השארת דבר לא גמור הופכת אותו למעניין, ונותנת את ההרגשה שיש מקום לצמיחה. אפילו כשבונים את ארמון הקיסר תמיד משאירים מקום אחד לא גמור"

אך אם הייתי צריך לבחור בניין אחד בעולם להינטש איתו על אי בודד, ולחיות איתו את שארית חיי כמי שמכור לסימטריה, הייתי ודאי בוחר באלהמברה שבגרנדה. ארמון זה הוא חגיגה לסימטריה לאחרונה לקחתי את משפחתי-- אנחנו עורכים טיולים מתימטיים חנוניים, שמשפחתי אוהבת. זה בני תומר, כפי שאתם רואים הוא מאוד נהנה מהטיול המתמטי שלנו לאלהמברה. אבל אני רציתי לנסות ולהרחיב את השכלתו. אני חושב שזו אחת מהבעיות במתמטיקה של בית הספר שלא רואים שם עד כמה המתמטיקה היא חלק מן העולם בעולם בו אנו חיים. ולכן, רציתי לפקוח את עיניו ולראות כמה הסימטריה מצויה בכל פרט באלהמברה.

רואים זאת מיד כשנכנסים, הסימטריה של ההשתקפות במים. אך הקירות הם היכן שכל הדברים המרגשים מתרחשים מהאמנים המורים נמנעה האפשרות לצייר דברים בעלי נשמה לכן הם חקרו אמנות יותר גיאומטרית ועל כן מהי סימטריה? האלאמברה איכשהו שואל את השאלות הללו מהי סימטריה? כשיש שני קירות כאלו האם יש להם סימטריה זהה? האם אנו יכולים לומר כי הם גילו את כל הסימטריה באלהמברה

והיה זה גלואה שיצר שפה שתוכל לענות על חלק מהשאלות הללו עבור גלואה, הסימטריה -- בניגוד לתומס מאן שעבורו זה היה דבר דומם ומת עבור גלואה סימטריה עסקה בתנועה. מה אפשר לעשות עם עצם סימטרי, איך להזיז אותו באיזושהי צורה כך שייראה זהה כפי שהיה לפני שהוזז? אני אוהב לתאר את זה כתעלול קסמים מה ניתן לעשות למשהו? אתם עוצמים עיניים אני עושה משהו, מניח אותו חזרה במקומו הוא נראה בדיוק כמו בתחילה.

כך, לדוגמא הקירות באלהמברה, אני יכול לקחת את האריחים הללו, ולקבוע ציר בנקודה הצהובה לסובב אותן ב-90 מעלות, להחזירן למקומן, והן תתאמנה בדיוק. וכשתפקחו את עיניכם לא תדעו שהן זזו התנועה היא אשר באמת מאפיינת את הסימטריה בתוך האלהמברה. אך מדובר גם על יצירת שפה שתתאר את זה. ובכוחה של המתמטיקה לעתים תכופות לשנות דבר אחד לדבר אחר, ללהפוך את הגיאומטריה לשפה

אז אעשה לכם סיור מודרך, אולי אפילו אדחוף קצת מתמטיקה-- --אז תחזיקו חזק אדרבן אתכם מעט על מנת להבין איך השפה הזאת פועלת, ומאפשרת לנו לתפוס מהי הסימטריה. אז בואו ניקח את שני העצמים הסימטריים כאן. בואו ניקח את כוכב הים המעוות עם ששת הקודקודים. מה אוכל לעשות לכוכב הים שיגרום לו להיראות אותו הדבר? ובכן, הנה סובבתי אותו שישית הסיבוב, וזה עדיין נראה כפי שזה נראה לפני שהתחלתי. יכולתי לסובב אותו שליש הסיבוב, או חצי סיבוב, להחזירו למקומו, או שני שליש סיבוב. וסימטריה חמישית: אני יכול לסובב אותו חמש שישיות סיבוב. ואלו דברים שאני יכול לעשות בעצם הסימטרי שיגרמו לו להיראות בדיוק כמו לפני שהתחלתי.

לגלואה הייתה סימטריה שישית. משהו יכול לחשוב מה עוד אוכל לעשות בו שישאיר אותו בדיוק כמו שהיה לפני שהתחלתי? איני יכול להפוך אותו כי זה יעוות אותו מעט, נכון? אין לו סימטריית השתקפות. אך מה שאוכל לעשות הוא להשאיר אותו כפי שהוא, להרים אותו, ולהניח אותו חזרה. ועבור גלואה, זה היה כמו סימטריית האפס. למעשה המצאת המספר אפס היתה מושג מודרני מהמאה השביעית שהמציאו ההודים זה נראה טירוף לדבר על כלום. וזה אותו הרעיון. זה סימטרי-- כך שהכל יהיה סימטרי, אם תשאירו אותו במקומו.

אם כן, לעצם זה יש שש סימטריות. ומה לגבי המשולש? ובכן, אני יכול לסובב אותו שליש סיבוב עם כיוון השעון ושליש סיבוב נגד כיוון השעון. אך עכשיו יש לו קצת סימטרית השתקפות. אני יכול לשקף אותו בקו ישר דרך X או דרך Y או דרך Z חמש סימטריות וכמובן סימטרית האפס שבה אני פשוט מרים אותו ומשאיר אותו במקומו אם כן, לשני העצמים הללו יש שש סימטריות. כעת, אני מאמין גדול שהמתמטיקה איננה צפיה בספורט, וצריך לעסוק מעט במתמטיקה על מנת להבין אותה באמת.

אז הנה שאלה קטנה עבורכם ואני אתן פרס בסוף ההרצאה שלי למי שיתן את התשובה הקרובה ביותר הקוביה ההונגרית. כמה סימטריות יש לקוביה ההונגרית? כמה דברים אני יכול לעשות עם אובייקט זה ולהחזירו למקומו והוא עדיין יראה כמו קוביה? טוב? אז אני רוצה שתחשבו על הבעיה הזו בזמן שנמשיך הלאה, ותספרו כמה סימטריות ישנן. יהיה אפילו פרס לאדם שיגיע הכי קרוב בסוף.

אך בואו נחזור לסימטריות שקיבלתי בשני העצמים הללו. מה שגלואה הבין: לא הסימטריות הנפרדות, אלא יחסי הגומלין ביניהן הוא הדבר שבאמת מגדיר את הסימטריה של עצם. אם אעשה קסם ואחריו עוד אחד השילוב ביניהם יהיה קסם שלישי וכאן אנו רואים את גלואה מתחיל לפתח שפה להבנת המהות הדברים הלא-נראים, מעין רעיון מופשט של הסימטריה שביסוד העצם הפיסיקלי למשל, מה אם אני אסובב את כוכב הים שישית סיבוב, ואז שליש סיבוב נוסף?

אז השתמשתי באותיות ABCDEF כשמות לסיבובים B למשל, מסובבת את הנקודה הצהובה הקטנה ל-B שעל כוכב הים וכן הלאה אם כן, מה אם אבצע B, אשר הינה שישית סיבוב ואחריה C אשר הינה שליש סיבוב אז בואו נעשה זאת. שישית סיבוב, ואחריה שליש סיבוב, האפקט המשולב הוא כאילו סובבתי בחצי במהלך יחיד. כך שהטבלה הקטנה כאן מתעדת כיצד האלגברה של הסימטריות עובדת. אעשה את האחד אחרי השני, והתשובה היא זה סיבוב D, חצי סיבוב מה אם אעשה זאת בסדר אחר? האם זה ישנה? הבה נראה. בואו נעשה שליש סיבוב קודם, ואח"כ שישית סיבוב. כמובן, זה לא משנה. זה עדיין בסה"כ חצי סיבוב.

ויש גם סימטריה בדרך בה הסימטריות מגיבות זו עם זו. אך זה שונה לחלוטין מהסימטריה של משולש. בואו נראה מה יקרה אם נעשה שתי סימטריות עם המשולש, בזו אחר זו. בואו נעשה שליש סיבוב נגד כיוון השעון, ונשקף בקו העובר דרך X ובכן, האפקט הוא כאילו שיקפתי על הקו של Z מלכתחילה כעת נעשה זאת בסדר שונה. בואו נשקף קודם ב-X ואח"כ נסובב שליש סיבוב נגד כיוון השעון האפקט המשולב, המשולש הגיע למקום אחר לחלוטין כאילו שיקפנו אותו על הקו שעובר דרך ה-Y

זה משנה באיזה סדר תעשו את הפעולות וזה מאפשר לנו לזהות למה הסימטריות של העצמים הללו-- לשניהם יש שש סימטריות. מדוע איננו יכולים לומר שיש להם את אותן הסימטריות? יחסי הגומלין בין הסימטריות מאפשרים לנו -- יש לנו כעת שפה שמאפשרת לזהות מדוע הסימטריות הללו שונות. ותוכלו לנסות את זה כשתלכו לפאב, יותר מאוחר. תקחו תחתית בירה, ותסובבו אותה רבע סיבוב, לאחר מכן תהפכו אותה. אחר כך תעשו את זה בסדר אחר, והתמונה תפנה לכיוון ההפוך.

גלואה יצר חוקים לטבלאות הללו, כיצד הסימטריות מגיבות. זה כמעט כמו תשבצי סודוקו קטנים. לא רואים אף סימטריה פעמיים באף שורה או טור. ובעזרת החוקים הללו, הוא יכול היה לומר שיש למעשה רק שני עצמים בעלי שש סימטריות. והם יהיו זהות לסימטריות של משולש, או סימוטריות של כוכב ים בעל שישה קודקודים. אני חושב שזו התפתחות מדהימה. זה כמעט כמו המושג של פיתוח מספר תיאור הסימטריה יש כאן אחד, שניים, שלושה אנשים יושבים על אחד, שניים, שלושה כסאות האנשים על הכסאות מאוד שונים, אך המספר, הרעיון המופשט של המספר, זהה

אנו יכולים לראות כעת: אנו חוזרים לקירות של אלהמברה הנה שני קירות שונים מאוד, תמונות גאומטריות שונות מאוד. אך באמצעות השפה של גלואה, אנו יכולים להבין שהסימטריות המופשטות שביסוד הדברים הללו הן למעשה אותו הדבר. למשל, בואו ניקח את הקיר היפהפה הזה עם המשולשים עם הסיבוב הקל. אתם יכולים לסובב אותם שישית סיבוב אם תתעלמו מהצבעים. אנחנו לא מתאימים את הצבעים. אך הצורות מתאימות אם אסובב אותן שישית סיבוב סביב הנקודה בה כל המשולשים מתאימים. מה בנוגע למרכז המשולש? אני יכול לסובב שליש סיבוב סביב מרכז המשולש, והכל מתאים. ואז יש מקום מעניין במחצית הדרך לאורך הקצה, היכן שאני יכול לסובב ב-180 מעלות. וכל המרצפות מתאימות שוב. אם כן סובבו לאורך מחצית הדרך על הקצה, וכולם מתאימים שוב.

עכשיו, בואו נעבור לקיר שונה מאוד באלהמברה ונמצא כאן את אותן הסימטריות, ואותם יחסי גומלין ביניהן. אם כן, היתה שישית סיבוב. שליש סיבוב היכן שחלקי Z נפגשים ומחצית הסיבוב בין הכוכבים בעלי ששת הקודקודים. ולמרות שהקירות הללו נראים מאוד שונים, גלואה ייצר שפה שאומרת שלמעשה הסימטריות שעומדות ביסודם זהות לחלוטין. וזו סימטריה שאנו קוראים לה 6-3-2.

הנה דוגמא נוספת באלהמברה הנה קיר, תקרה ורצפה. הם נראים מאוד שונים. אך השפה מאפשרת לנו לומר שהם מייצגים את אותו עצם סימטרי מופשט, אשר אנחנו קוראים לו 4-4-2. אין שום קשר לפוטבול, אבל בגלל העובדה שישנם שני מקומות אותם ניתן לסובב ברבע סיבוב, ובחצי סיבוב.

כעת, הכח הזה של השפה הוא אפילו יותר גדול. משום שגלואה יכול לומר, "האם האומנים המוריים גילו את כל הסימטריות האפשריות על הקירות של אלהמברה"? ומסתבר שהם כמעט גילו. אתם יכולים להוכיח, בעזרת השפה של גלואה שיש למעשה רק 17 סימטריות שונות שאתם יכולים לעשות על קירות אלהמברה והם, אם תנסו ליצור קיר שונה עם הסימטריה ה18 היא תהיה חייבת להכיל את אותן הסימטריות של אחת מה17

אך אלו דברים שאנו יכולים לראות. וכוחה של השפה המתמטית של גלואה בכך שהיא גם מאפשרת לנו ליצור עצמים סימטרים בעולם הבלתי נראה, מעבר לדו מימד, ותלת מימד, הדרך עד המימד הרביעי או החמישי- או החלל בעל אינסוף המימדים ושם אני עובד, אני יוצר עצמים מתמטיים, עצמים סימטרים, בעזרת שפתו של גלואה בחללים בעלי מימדים גבוהים. כך שלדעתי זו דוגמא מצויינת לדברים סמויים מן העין, שהכח של השפה המתמטית מאפשר ליצור.

כמו גלואה, נשארתי ער אתמול בלילה יצרתי עצם מתמטי סימטרי עבורכם. ויש לי כמה תמונות שלו. ובכן, למרבה הצער זו לא באמת תמונה. לו היה לי הלוח שלי פה בצד, מצויין, מעולה. או-קיי, לצערי אני לא יכול להראות לכם תמונה של העצם הסימטרי. אך הנה השפה אשר מתארת כיצד הסימטריות מגיבות.

לעצם הסימטרי החדש אין שם עדיין. אנשים אוהבים להנציח את שמותיהם על דברים, על מכתשים על הירח, או על מינים חדשים של בעלי חיים אני עומד לתת לכם הזדמנות לתת את שמכם לעצם סימטרי חדש שטרם ניתן לו שם. והדבר הזה -- מינים מתים להם, וירחים נפגעים על ידי מטאורים ומתפוצצים-- אך הצורה המתמטית תחיה לנצח. היא תהפוך אתכם לבני אלמוות. על מנת לזכות בצורה הסימטרית, מה שתצטרכו לעשות זה לענות על השאלה ששאלתי בהתחלה. כמה סימטריות יש בקוביה ההונגרית?

טוב, אני אתחיל לסנן אתכם. במקום שכולכם תצעקו, אני רוצה שתספרו כמה ספרות יש במספר הזה, בסדר? אם יש לכם את זה כעצרת, תצטרכו ללפרוש את העצרות אוקיי, מי שרוצה להשתתף במשחק, שיעמוד בבקשה. אני רוצה שתעמדו, טוב? אם אתם חושבים שיש לכם אומדן לגבי כמות הספרות, בסדר -- יש לנו מתחרה אחד כאן-- אם כולכם תשארו לשבת, הוא יזכה אוטומטית. טוב, מעולה. יש לנו כבר ארבעה, חמישה, שישה. מצויין, מעולה. אפשר להתחיל עם זה. בסדר.

כל מי שיש לו חמש ספרות ומטה נא לשבת. בגלל שהאומדן שלכם נמוך מדי. חמש ספרות או פחות. אם אתם בעשרות אלפים תצטרכו לשבת. שישים ספרות או יותר, אתם תצטרכו לשבת. האומדן שלכם גבוה מדי. עשרים ספרות או פחות, לשבת. כמה ספרות יש במספר שלך? שתיים? היית צריך לשבת קודם. (צחוק) הבה נבקש מאלו שישבו ב-20 ספרות לעמוד שוב, בסדר? אם אמרתי לכם 20 או פחות, עימדו. בגללו, אני חושב שהיו עוד כמה כאן. האנשים שישבו אחרונים.

טוב, כמה ספרות היו לך במספר? (צחוק) 21. טוב, כמה יש בשלך? 18. הפרס מגיע לגברת כאן. 21 זה הכי קרוב. יש לו למעשה -- למספר הסימטריות בקוביה ההונגרית יש 25 ספרות אז עכשיו צריך לתת שם לאובייקט הזה. מה שמך? אני זקוק לשם המשפחה שלך. עצמים סימטריים בד"כ-- תאייתי לי G-H-E-Z לא נעשה שימוש מעולם ב-SO2 בשפה המתמטית, אז את זכאית לו. אז גץ, הנה הצורה הסימטרית החדשה שלך. את עכשיו בת אלמוות. (מחיאות כפיים)

ואם אתם רוצים אובייקט סימטרי משלכם, יש לי פרוייקט שמגייס כספים לצדקה בגואטמאלה, ואני אשאר ער כל הלילה ואתכנן עצם בשבילכם, כתרומה לצדקה כדי לסייע לילדים לזכות בחינוך בגואטמאלה. ואני חושב שמה שמניע אותי, כמתמטיקאי, הם הדברים הללו אשר לא נראים, הדברים שלא התגלו. כל השאלות שלא נענו, ואשר עושות את המתמטיקה לנושא חי ואני תמיד חוזר לציטוט היפני מ"חיבורים על אי עשייה" "בכל דבר, אחידות היא לא רצויה להשאיר דבר מה לא גמור עושה אותו מעניין ונותן את ההרגשה שיש מקום לצמיחה" תודה רבה (מחיאות כפיים)