Marcus du Sautoy : la symétrie - énigme du réel

Le 30 mai 1832, un coup de feu retentit à travers le 13ème arrondissement de Paris. (coup de feu) Un paysan qui se rendait au marché ce matin-là courut dans la direction du bruit et trouva un jeune homme agonisant sur le sol, visiblement abattu au cours d'un duel. Ce jeune homme s'appelait Evariste Galois. C'était un révolutionnaire connu à Paris à cette époque. Galois fut emporté à l'hôpital Cochin où il succomba le lendemain dans les bras de son frère. Ses derniers mots pour son frère furent : "Ne pleure pas, Alfred, j'ai besoin de tout le courage possible pour mourir à l'âge de 20 ans."

En fait, Galois n'était pas connu pour ses opinions révolutionnaires. Quelques années auparavant, encore à l'école, il avait résolu l'un des plus grands problèmes mathématiques de son temps. Il avait écrit à l'Académie des Sciences pour essayer d'expliquer sa théorie. Les Académiciens ne purent comprendre ce qu'il avait écrit. (Rires) Voila comment il écrivait la plupart de ses mathématiques.

Alors, la nuit avant son duel, il réalisa que ce serait sûrement sa dernière chance pour tenter d'expliquer sa grande avancée. Il est resté éveillé toute la nuit à écrire pour expliquer ses idées. L'aube approcha et il alla affronter son destin en laissant une pile de documents sur la table pour la génération suivante. Le fait qu'il resta debout toute la nuit à faire des mathématiques fut peut-être la raison pour laquelle il fut touché au petit matin et tué.

Dans ces documents, il y avait un nouveau langage permettant de comprendre l'un des concepts les plus fondamentaux de la science - à savoir : la symétrie. De fait, la symétrie est pratiquement le langage de la nature. Il nous aide à comprendre tant de choses différentes du monde scientifique. Par exemple, la structure des molécules où des cristaux sont possibles peut être comprise par les mathématiques de la symétrie.

En microbiologie, on ne veut généralement pas obtenir d'objets symétriques parce qu'ils sont souvent plutôt méchants. Le virus de la grippe porcine, en ce moment, est un objet symétrique. Il utilise l'efficacité de la symétrie pour se propager si facilement. A une échelle plus large, en biologie, la vraie symétrie est très importante parce qu'elle communique en réalité de l'information génétique.

J'ai pris 2 photos que j'ai rendues symétriques artificiellement. Si vous vous demandez laquelle vous trouvez la plus belle, vous diriez probablement les 2 du bas. Parce qu'il est difficile de faire symétrique, et si vous pouvez vous rendre symétrique, vous envoyez le message que vous avez de bons gènes, que vous avez une bonne éducation et que vous êtes donc un bon parti. La symétrie est alors un langage qui aide à communiquer de l'information génétique.

La symétrie peut nous aider à comprendre ce qui se passe dans le Large Hadron Collider au CERN ou ce qui ne s'y passe pas pour faire des prédictions sur les particules fondamentales qu'on peut y découvre. Elles apparaissent comme des facettes d'une étrange forme symétrique issue d'un espace à plusieurs dimensions.

Je pense que Galilée a très bien résumé le pouvoir des mathématiques pour comprendre le monde qui nous entoure. Il a écrit : "L'Univers ne peut être compris si l'on n'a pas appris et si l'on n'est pas devenu familier avec l'alphabet dans lequel il est écrit. Il est écrit en langage mathématique. Son alphabet est constitué par les triangles, les cercles et les autres figures géométriques sans lesquelles il n'est pas humainement possible d'en comprendre le moindre mot."

Il n'y a pas que les scientifiques qui s'intéressent à la symétrie. Les artistes adorent jouer avec la symétrie aussi. Ils ont aussi une relation un petit peu plus ambigüe avec elle. Thomas Mann parle de symétrie dans "La Montagne Magique". L'un des personnages décrit un flocon de neige. Il dit qu'il "frémit devant sa perfection, ressemble à la mort, l'essence même de la mort."

Ce que les artistes aiment faire, c'est susciter une attente de cette symétrie et la briser. En voci un bel exemple, que j'ai trouvé en rendant visite à un collègue au Japon, le professeur Kurokawa. Il m'a emmené aux temples de Nikko. Juste après avoir pris cette photo, nous avons monté les marches. Le porche que vous voyez derrière comporte 8 colonnes avec des beaux motifs symétriques. 7 sont exactement pareil et la 8ème est tournée à l'envers.

J'ai dit au prof. Kurokawa : "Les architectes ont dû se mordre les doigts en constatant leur erreur lorsqu'ils ont posé celle-ci à l'envers." Il m'a dit : "Non, non, non. Ils ont fait exprès." Il m'a rappelé cette merveilleuse citation japonaise issue des "Heures Oisives" au 14ème siècle. L'écrivain y disait : "Dans toute chose, l'uniformité est indésirable. Laisser une chose incomplète la rend intéressante et procure le sentiment qu'il reste de la place pour son développement. Même en construisant le Palais Impérial, ils ont toujours laissé un endroit inachevé."

Cela dit, si je devait choisir un édifice dans le monde, pour y être projeté comme sur une île déserte et y passer le reste de ma vie, étant accro à la symétrie, je choisirais sûrement l'Alhambra à Grenade. C'est un palais qui célèbre la symétrie. J'y ai récemment emmené ma famille. On fait ce genre de voyages pour fanas de maths que ma famille adore. Voici mon fils Tomer. Vous voyez qu'il adore notre balade pour matheux à l'Alhambra. J'ai voulu essayer de le cultiver. Je pense que l'un des problèmes des maths à l'école, c'est qu'elles ne montrent pas en quoi elles sont intégrées dans le monde dans lequel on vit. J'ai donc voulu lui ouvrir les yeux sur toutes ces symétries présentes à l'Alhambra.

Vous voyez déjà, dès que vous entrez, la symétrie qui apparaît dans l'eau. Mais c'est sur les murs que c'est excitant. Les artistes Maures ne pouvaient rien dessiner qui ait une âme. Alors, ils ont exploré un art plus géométrique. C'est quoi la symétrie ? L'Alhambra pose ce genre de questions. C'est quoi la symétrie ? Ces 2 murs ont-ils les mêmes symétries ? Peut-on dire s'ils ont découvert toutes les symétries possibles à l'Alhambra ?

C'est Galois qui a créé un langage nous permettant de répondre à certaines de ces questions. Pour Galois, la symétrie, contrairement à Thomas Mann pour qui elle était calme et mortelle, pour Galois, il s'agissait de mouvement. Que peut-on faire d'un objet symétrique ? Le bouger d'une certaine façon pour qu'il soit identique à ce qu'il était avant d'avoir été bougé ? J'aime dire qu'il s'agit d'un tour de magie. Que peut-on faire aux choses ? Fermez vos yeux. Je fais quelque chose et je le repose. Il ressemble à ce qu'il était avant que je ne commence.

Par exemple, les murs à l'Alhambra. Je prends toutes ces mosaïques et je les fixe par le point jaune, je les tourne de 90°, elles se retrouvent parfaitement en place. Si vous ouvrez vos yeux, vous ne verrez pas qu'elles ont bougé. Pourtant, c'est le mouvement qui caractérise la symétrie au sein de l'Alhambra. Il s'agit aussi de produire un langage pour la décrire. Le pouvoir des mathématiques réside souvent dans la capacité de changer une chose en une autre, de faire de la géométrie un langage.

Alors je vais vous faire voyager - vous pousser un peu mathématiquement - alors accrochez-vous. Je vais vous faire comprendre comment ce langage fonctionne afin de comprendre ce qu'est la symétrie. Prenons ces 2 objets symétriques là. Prenons cette étoile de mer tordue. Que puis-je lui faire subir pour qu'elle ait l'air pareil qu'avant ? Je peux lui faire faire 1/6 tour et elle n'a pas changé. Je peux lui faire faire 1/3 tour ou 1/2 tour ou la remettre en place ou 2/3 tour. D'une 5ème symétrie, je peux la faire tourner de 5/6 tour. Tout ce que j'ai fait subir à cet objet symétrique n'ont pas changé son aspect.

Pour Galois, il y avait même une 6ème symétrie. Quelqu'un peut-il penser à une autre chose à lui faire subir qui la laisse dans le même état ? Je ne peux pas le retourner car le tordrait. Non ? Il n'a pas d'axe de symétrie. Je pourrais le laisser tel qu'il est, le soulever et le reposer. Pour Galois, c'est une sorte de symétrie numéro zéro. En fait, l'invention du nombre zéro date du 7ème siècle avant notre ère par les Indiens - c'est très moderne... Ca paraît fou de parler de rien. C'est la même idée. Tout a une symétrie si vous n'y touchez pas.

Cet objet a donc 6 symétries. Et ce triangle alors ? Je peux le tourner d'1/3 tour dans le sens des aiguilles d'une montre ou d'1/3 de tour dans l'autre sens. Mais maintenant, il y a des symétries axiales. Je peux le retourner le long de l'axe passant par X, ou le long de l'axe passant par Y, ou le long de l'axe passant par Z. 5 symétries plus évidemment la symétrie nulle où je le soulève et le repose comme il était. Ces deux objets ont donc 6 symétries. Je suis convaincu que les mathématiques ne sont pas un sport à regarder et que vous devez en faire un peu pour vraiment les comprendre.

Alors, voici une petite question pour vous. A la fin de ma conférence, je donnerai une récompense à la personne qui aura donné la réponse la plus proche. Le Rubik's Cube. Combien a-t-il de symétries ? Combien d'opérations puis-je faire sur cet objet avant de le reposer pour qu'il ressemble toujours à un cube. OK ? Je voudrais que vous pensiez à ce problème pendant qu'on avance et que vous comptiez le nombre de symétries qu'il possède. J'offrirai un prix à la personne la plus proche à la fin.

Retournons aux symétries que j'ai trouvées pour ces 2 objets. Galois a compris que ce n'était pas juste les symétries individuelles mais la façon dont elles interagissent les unes avec les autres qui caractérise réellement les symétries d'un objet. Si j'effectue un tour de magie suivi par un second, cela donne un troisième tour de magie. On voit alors Galois développer un langage permettant de saisir la substance des choses non vues : le genre d'idée abstraite de la symétrie sous-jacente à cet objet physique. Par exemple, que se passe-t-il si je tourne l'étoile de mer d'1/6 tour puis d'1/3 tour.

Je leur donne des noms : les lettres majuscules A, B, C, D, E et F sont les noms de ces rotations. B tourne le petit point jaune vers le sommet B de l'étoile de mer. Ainsi de suite... Si je fais B, soit 1/6 tour, suivi par C, soit 1/3 tour ? Faisons-le. 1/6 tour, puis 1/3 tour : l'effet combiné est le même que si j'avais juste tourné 1/2 tour en une seule fois. Cette petite table enregistre le fonctionnement de cette algèbre. J'en fais une puis l'autre, la réponse : c'est la rotation D, 1/2 tour. Si je le fais dans l'ordre inverse ? Y aura-t-il une différence ? Voyons. 1/3 tour en premier puis 1/6 tour. Evidemment, cela ne change rien. Cela fait toujours 1/2 tour.

Il y a une certaine symétrie dans la façon dont les symétries interagissent entre elles... Mais elles sont complètement différentes des symétries du triangle. Voyons ce qui passe si on fait 2 symétries avec le triangle, l'une après l'autre. Une rotation d'1/3 tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et une réflexion selon l'axe passant par X. L'effet combiné est celui que j'aurais obtenu en faisant une réflexion selon l'axe passant par Z au début. Maintenant, changeons l'ordre. Je commence par la réflexion selon X et poursuis par la rotation d'1/3 tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'effet combiné est un triangle qui finit de façon différente, comme s'il avait subi une réflexion selon l'axe passant par Y.

Dans ce cas, l'ordre dans lequel vous faites les opérations compte. Cela permet de distinguer les symétries de ces objets qui ont tous les deux 6 symétries. Pourquoi ne devrions-nous pas dire qu'ils ont les mêmes symétries ? La façon dont elles interagissent nous permettent - puisqu'on a un langage - de dire en quoi ces symétries sont fondamentalement différentes. Vous pouvez essayer quand vous descendrez au pub - plus tard. Prenez un sous-bock et tournez le d'1/4 tour puis retournez-le. Puis faites-le en changeant l'ordre. L'image se retrouvera dans la direction opposée.

Galois a produit des règles sur la façon dont ces tables fonctionnent. Ca ressemble presque à des grilles de Sudoku. Vous ne voyez pas de symétrie 2 fois dans la même ligne ou la même colonne. En utilisant ces règles, il a été capable de dire qu'il n'y a en fait que 2 objets avec 6 symétries. Soit ils ont les mêmes symétries que le triangle, soit ils ont les mêmes symétries que l'étoile de mer. Je pense que c'est un progrès incroyable. C'est presque comme le concept du nombre réinventé pour la symétrie. Là devant, il y a 1, 2, 3 personnes assises sur 1, 2, 3 chaises. Les personnes sur les chaises sont très différentes mais le nombre, l'abstraction derrière le nombre, est la même.

Maintenant, on peut retourner aux murs de l'Alhambra. Voici 2 murs très différents, des dessins géométriques très différents. En utilisant le langage de Galois, on peut comprendre que les symétries sous-jacentes de ces choses sont en fait les mêmes. Par exemple, prenons ce superbe mur avec des triangles légèrement tordus. Vous pouvez les tourner d'1/6 tour si vous ignorez les couleurs. On ne s'en occupe pas. Par contre, les formes correspondent si je les tourne d'1/6 tour autour du point où les triangles se touchent. Que dire du centre du triangle ? Je peut faire tourner d'1/3 de tour autour du centre d'un triangle et tout correspond. Ensuite, il y a un endroit intéressant un milieu d'un coté où je peux tourner de 180°. Tous les carreaux correspondent à nouveau. Une rotation autour du milieu d'un coté et ils correspondent.

Allons voir maintenant un mur qui a l'air différent. Nous y trouvons les même symétries et les mêmes interactions. Alors, on avait 1/6 tour, 1/3 tour où les pièces en Z se rencontrent, 1/2 tour à mi-chemin entre les étoiles à six branches. Même si ces murs ont l'air très différents, le langage produit par Galois prétend que les symétries sous-jacentes sont exactement les mêmes. C'est une symétrie que l'on appelle 6-3-2.

Voici un autre exemple dans l'Alhambra. Voici un mur, un plafond, un sol. Ils ont l'air très différents. Ce langage nous autorise à dire qu'ils sont la représentation du même objet symétrique abstrait qu'on appelle 4-4-2. Rien à voir avec le football. C'est parce qu'il y a 2 endroits où vous pouvez les tourner d'1/4 tour et 1 endroit par 1/2 tour.

La puissance de ce langage est encore supérieure parce que Galois peut dire ceci : "Les artistes Maures ont-ils découvert toutes les symétries possibles sur les murs de l'Alhambra ?" Il s'avère que oui - presque. Vous pouvez démontrer avec le langage de Galois qu'il n'y a que 17 symétries différentes que vous pouvez effectuer sur les murs de l'Alhambra. Si vous vouliez faire un mur avec une 18ème, il aurait les mêmes symétries que l'un de ces 17.

Il s'agit cependant des choses visibles. La puissance des mathématiques de Galois, c'est qu'elles permettent de créer des objets symétriques du monde invisible au-delà de 2, 3 dimensions, dans des espaces à 4, 5 ou un nombre infini de dimensions. C'est dans ça que je travaille. Je crée des objets mathématiques, symétriques, en utilisant le langage de Galois dans des espaces avec beaucoup de dimensions. Je pense que c'est un bel exemple de choses invisbles que la puissance des mathématiques nous permet de créer.

Comme Galois, je suis resté debout la nuit dernière pour créer un objet mathématique symétrique pour vous. En voici une représentation. Malheureusement, ce n'est qu'une représentation. Puis-je avoir mon tableau ici, super. Voila. Malheureusement, je ne peux vous montrer une image de cet objet symétrique. Voici le langage qui décrit les interactions entre ses symétries.

Ce nouvel objet symétrique n'a pas encore de nom. Les gens aiment bien donner leur nom aux choses, aux cratères de la Lune ou aux nouvelles espèces animales. Je vais vous donner une chance de donner votre nom à un nouvel objet symétrique qui n'a pas encore été baptisé. Les espèces disparaissent et les lunes sont heurtées par des météorites et explosent mais cet objet mathématique vivra éternellement. Il vous rendra immortel. Pour gagner cet objet symétrique, vous devez répondre à la question que je vous ai posée tout à l'heure. Combien le Rubik's Cube a-t-il de symétries ?

Je vais vous départager. Au lieu de tous hurler, je veux que vous comptiez le nombre de chiffres de ce nombre. OK ? Si l'avez en tant que produit, vous devez le développer. Si vous voulez jouer, je vous demande de vous lever. Si vous pensez avoir une bonne estimation du nombre de chiffres... Nous avons un concurrent ici... Si vous restez assis, il gagne automatiquement... OK. Excellent. Vous êtes 4, 5, 6... OK. Excellent. Ca nous suffit. Bon...

Tous ceux qui ont 5 chiffres ou moins, asseyez-vous parce que c'est trop peu. 5 chiffres ou moins. Si vous en êtes à des dizaines de milliers, rasseyez-vous. 60 chiffres ou plus, asseyez-vous parce que c'est trop. 20 chiffres ou moins, assis. Combien de chiffres dans votre nombre ? 2 ? Vous auriez dû vous asseoir avant ! (Rires) Voyons les autres. Qui s'est assis à la vingtaine ? Relevez-vous. OK ? 20 ou moins, debout. Je crois qu'il y en avait par là... Les gens qui viennent de se rasseoir...

Combien de chiffres dans votre nombre ? (Rires) 21. OK bien. Combien dans le vôtre ? 18. Alors, il va à la dame ici. 21 est le plus proche. Le nombre de symétries dans le Rubik's Cube est un nombre à 25 chiffres. Je doit baptisé cet objet. Quel est votre nom ? Votre nom de famille ? Epelez-le moi. G-H-E-Z Non, SO2 a déjà été utilisé, en fait, dans les mathématiques mais vous pouvez avoir celui-là. Alors Ghez, nous y voila. Voici votre nouvel objet symétrique. Vous voilà immortelle. (Applaudissements)

Si vous voulez votre propre objet symétrique, j'ai un projet de fonds de charité pour le Guatemala et je resterai éveillé toute la nuit à créer un objet pour vous et pour un don pour aider ces enfants à recevoir une éducation au Guatemala. Ce qui me guide en tant que Mathématicien, ce sont les choses invisibles, les choses que nous n'avons pas découvertes. Ce sont toutes les questions ouvertes qui font des mathématiques un sujet vivant. J'en reviens toujours à cette citation des "Heures Oisives" japonaises : "Dans toute chose, l'uniformité est indésirable. Laisser une chose incomplète la rend intéressante et procure le sentiment qu'il reste de la place pour son développement." Merci.