Benoît Mandelbrot: Les fractales et l'art de la rugosité

Merci beaucoup. Permettez-moi de m'asseoir ; je suis très vieux. (Rires) Eh bien, le sujet dont je vais parler est dans un certain sens, très particulier parce qu'il est très vieux. La rugosité fait partie de la vie humaine depuis toujours et à jamais. Des écrivains de l'antiquité ont écrit sur ce sujet. C'était pratiquement incontrôlable. Et dans un certain sens, Ça semblait être l'extrême de la complexité, que le désordre, un bazar. Il y a de différents types de désordre. Or, en fait, tout à fait par hasard, je me suis impliqué il y a bien longtemps dans une étude de cette forme de complexité. J'ai été totalement ébloui, J'ai trouvé des traces -- de très fortes traces, il faut dire -- de l'ordre dans le chaos. Et donc je voudrais aujourd'hui vous présenter quelques exemples de ce que ça représente. Je préfère le mot "rugosité" à "irrégularité" parce que l'irrégularité -- pour quelqu'un ayant appris le Latin dans ma jeunesse bien lointaine -- signifie le contraire de la régularité. Mais ce n'est pas le cas. La régularité est le contraire de la rugosité parce que le monde, essentiellement, est très rugueux

Permettez-moi de vous montrer quelques objets. Quelques-uns sont artificiels. D'autres sont très réels, dans un certain sens. Alors ça c'est du réel. C'est un chou-fleur Eh bien pourquoi montrer un chou-fleur, un légume ordinaire et ancien? Parce que bien qu'il soit si ancien, Il est très compliqué et très simple, tous les deux en même temps. Si vous essayez de le peser, bien sûr c'est très simple. Et quand vous le mangez, le poids est important. Mais supposons que vous essayez de mesurer sa superficie. Et bien, c'est très intéressant. Si vous coupez, avec un couteau fin, un bouquet d'un chou-fleur et le regardez séparément, ça vous rappellera le chou-fleur entier, mais en plus petit. Et puis vous coupez encore, encore, encore, encore, encore, encore, encore, encore, encore. Et vous aurez toujours des petits choux-fleurs. Alors l'expérience de l'humanité nous présente depuis toujours certains formes qui ont cette propriété particulière, que chaque partie est comme le tout, mais en plus petit. Qu'est-ce que l'humanité a fait avec ça? Très, très peu. (Rires)

Donc je me suis mis à étudier ce problème, et j'ai trouvé quelque chose d'assez surprenant. Que l'on peut mesurer la rugosité avec des nombres, un nombre 2.3, 1.2, et parfois bien plus. Un jour, un de mes amis, pour m'embêter, m'as montré une photo en disant, "Quelle est la rugosité de cette courbe?" J'ai dit : "Eh bien, un peu moins de 1.5." C'était 1.48. Or, ça n'a pas pris beaucoup de temps. Je regarde ces trucs depuis si longtemps. Eh bien ces nombres-ci indiquent la rugosité de ces surfaces. Je m'empresse d'ajouter que ces surfaces sont complètement artificielles. Elles sont faites par un ordinateur. La seule donnée d'entrée est un nombre. Et ce nombre est la rugosité. Alors à gauche, J'ai entré la rugosité pris de beaucoup de paysages. A droite, j'ai entré une rugosité élevée. Donc l'œil, après an certain temps, peut très bien distinguer entre ces deux.

L'humanité a dû apprendre à mesurer la rugosité. Celui-là est rugueux, celui-ci est un peu lisse, et celui-ci est très lisse. Très peu de choses sont très lisses. Alors quand on essaye de se demander : Quelle est la superficie d'un chou-fleur? Et bien, on mesure et mesure et mesure. A chaque fois elle devient plus grande, jusqu'aux très très petites distances. Quelle est la longueur du littoral de ces lacs? Plus on se rapproche, plus elle devient longue. L'idée de la longueur d'un littoral, qui semble si naturelle parce qu'on nous la donne souvent, est, en fait, complètement fallacieuse ; ça n'existe pas. Il faut le faire différemment.

A quoi ça sert, de connaître ces choses? Eh bien, bizarrement, C'est très utile. D'abord, les paysages artificiels, que j'ai inventés d'une façon, sont employés tout le temps dans le cinéma. On aperçoit des montagnes au loin. Ce sont peut-être des montagnes, peut-être juste des formules appliquées. Maintenant c'est très facile à faire. Avant ça prenait beaucoup de temps, de nos jours ce n'est rien. Maintenant regardez ça. C'est un vrai poumon. Le poumon est quelque chose de très étrange. Quand on le prend dans la main, On sait très bien que ça ne pèse pas beaucoup. Le volume d'un poumon est très petit. Et la surface du poumon alors? Des anatomistes se disputaient beaucoup à ce sujet. Certains disent que le poumon de l'homme moyen a la surface de l'intérieur d'un ballon de basket. D'autres disent, non, cinq ballons de basket. Des désaccords énormes. Pourquoi? Parce que, en fait, la surface du poumon est très mal définie. Les bronches bifurquent, bifurquent, et bifurquent. Et ils arrêtent de bifurquer, ce n'est pas une question de principes, mais le résultat de conditions physiques, les mucus, qui sont dans le poumon. Alors ce qui se passe c'est que d'une façon vous avez un poumon bien plus grand. mais si ça continue à bifurquer, jusqu'aux distances à peu près pareilles pour une baleine, un homme et pour un petit rongeur.

Et alors, à quoi ça sert? Eh bien, assez bizarrement, assez étonnamment, les anatomistes avaient une très petite idée de la structure du poumon jusqu'à très récemment. Et je pense que mes mathématiques, assez étonnamment, a beaucoup aidé les chirurgiens qui étudient les maladies pulmonaires et aussi les maladies rénales, tous ces systèmes qui bifurquent, pour lesquels il n'y avait pas de géométrie. Et donc, autrement dit, je construisais une géométrie, une géométrie des choses qui n'avaient pas de géométrie. Et un aspect surprenant de cela est que très souvent, les règles de cette géométrie, sont très courtes. Vous avez des formules longues comme ça. Et vous les appliquez plusieurs fois. Parfois à plusieurs reprises, encore, encore, encore. La même répétition. Et à la fin vous obtiendrez des choses comme ça.

Ce nuage est complètement, 100 pour cent artificielle. Bien, 99.9. Et la seule partie qui est naturelle c'est un nombre, la rugosité du nuage, qui est prise de la nature. Quelque chose d'aussi complexe qu'un nuage, si instable, si variable, devrait suivre une règle simple. Or cette règle simple n'est pas une explication des nuages. C'est au voyant de nuages de les expliquer. Je ne sais pas si ces images sont perfectionnées, elles sont vielles. Je me suis bien impliqué dans ce projet. mais j'ai dirigé mon attention vers d'autres phénomènes.

Maintenant, voilà une autre chose qui est assez intéressante. Un évènement bouleversant dans l'histoire des mathématiques, qui n'est pas très bien apprécié, s'est passé il y a environ 130 ans. 145 ans. Les mathématiciens ont commencé à créer des formes qui n'existaient pas. Les mathématiciens se vantaient à un degré absolument incroyable que l'homme peut inventer des choses que la nature ne connaissait pas. En particulier, il pouvait inventer des choses comme une courbe qui remplit un plan. Une courbe c'est une courbe, un plan c'est un plan, et les deux ne se mélangent pas. Mais si c'est possible. Un homme s'appelant Peano a défini de telles courbes, et c'était devenu un objet d'intérêt extraordinaire. C'était en effet très important, mais surtout intéressant parce qu'une sorte de rupture, une séparation entre les mathématiques venant de la réalité d'un côté et les nouvelles mathématiques purement issues de l'esprit de l'homme. Eh bien, j'étais très désolé de signaler que l'esprit de l'homme a, en fait, enfin reconnu ce qu'on avait vu depuis longtemps. Alors ici je vais présenter quelque chose, l'ensemble de rivières d'une courbe remplissant un plan. Mais alors, C'est tout une autre histoire. Alors c'était entre 1875 et 1925, une période extraordinaire lorsque les mathématiques se préparaient à s'échapper du monde réel. Et les objets employés en tant qu'exemples quand j'étais enfant et étudiant en tant qu'exemples de la rupture entre les mathématiques et la réalité visible -- ces objets, Je les ai complètement renversés, Je les ai employés pour décrire certains aspects de la complexité de la nature.

Eh bien, en 1919 un homme qui s'appelait Hausdorff a introduit un nombre qui n'était qu'une blague mathématique. Et j'ai trouvé que ce nombre est une bonne mesure de la rugosité. Quand je l'ai dit pour la première fois à mes amis mathématiciens ils ont dit : "Ne sois pas bête. C'est juste un truc." Mais en fait, je n'étais pas bête. Le grand peintre Hokusai le savait très bien. Les choses sur la terre sont des algues. Il ne connaissait pas les mathématiques; ça n'existait pas encore. Et il était un Japonais qui n'avait aucun contact avec l'Occident. Mais la peinture avait depuis longtemps un côté fractal. Je pourrais en parler pendant longtemps. La Tour Eiffel a un aspect fractal. Et j'ai lu le livre que M. Eiffel a écrit à propos de sa tour. Et en effet c'était étonnant combien il en avait conscience.

Ceci est un véritable bazar, le mouvement brownien. Un jour j'ai décidé que au milieu de ma carrière, j'étais préoccupé par tant de choses au travail, j'ai décidé de me mettre à l'épreuve. Est-ce que je pouvais examiner quelque chose que tout le monde examinait depuis longtemps et trouver quelque chose de radicalement nouveau? Eh bien, j'ai examiné ces trucs qu'on appelle le mouvement brownien -- ça tourne en rond. J'ai joué avec pendant quelque temps, et je l'ai fait retourner à l'origine. Et puis j'ai dit à mon assistant, "Je ne vois rien. Peux-tu le peindre?" Alors il l'a peint, ce qui veut dire qu'il a tout assimilé. Il a dit : "Et alors, ceci est apparu ... " Puis j'ai dit: "Stop! Stop! Stop! Je vois, c'est une île." Stupéfiant. Alors le mouvement brownien, qui a justement une indice de rugosité de deux, tourne en rond. Je l'ai mesuré, 1.33. Encore, encore, encore. De longs essais, de grands mouvements browniens, 1.33. Un problème mathématique: comment le démontrer? Il a fallu 20 ans à mes amis. Trois d'entre eux avaient des démonstrations incomplètes. Ils ont uni leurs forces, et ensemble ils avaient la démonstration. Alors ils ont obtenu une grande médaille [Fields] en mathématiques, l'un des trois prix que des gens ont obtenu pour avoir démontré des choses que j'avais vues sans être capable de les démontrer.

Tout le monde me demande à un moment ou un autre : "Comment est-ce que tout ça a commencé ? Qu'est-ce qui vous a poussé dans ces étranges affaires ?" Qu'est-ce qui vous a fait devenir, en même temps, un ingénieur mécanique, un géographe et un mathématicien et ainsi de suite? Et alors, j'ai commencée, curieusement, par étudier les prix boursiers. Et alors ici j'avais une théorie, et j'ai écrit des livres sur cela, Les incréments de prix boursiers. A gauche vous voyez des données d'une longue période. A droite, en haut, voilà une théorie qui est très, très à la mode. C'était très facile, et on peut écrire des volumes très vite sur cela. (Rires) Il y a des milliers de livres sur ce sujet. Comparez cela avec de vrais incréments de prix. Et où sont les vrais incréments de prix ? Et bien, ces autres lignes comprennent de vrais incréments de prix avec mes propres contrefaçons. Alors l'idée était que l'on pourrait sans doute -- comment dit-on? -- modéliser la variation des prix. Et ça marchait très bien il y a 50 ans. Pendant 50 ans des gens se méfiaient un peu de cela parce qu'ils pouvaient le faire plus facilement. Mais croyez-moi, maintenant, ils m'écoutent. (Rires) Ces deux courbes représentent des moyennes. Standard and Poor, la bleue. et la rouge est aussi Standard et Poor, dont les cinq discontinuités les plus grandes sont excluses. Alors, les discontinuités embêtent. Donc dans pas mal d'études sur les prix, elles sont mises de côté. "Mais bon, des forces majeures. Et vous avez les petits bruits qui restent. Des forces majeures." Dans cette image cinq forces majeures sont aussi important que tout le reste Autrement dit, Ce ne sont pas les forces majeures qu'il faut mettre de côté. Ça c'est l'essentiel, le problème. Si on maîtrise cela, on maîtrise les prix. Et si on ne maîtrise pas cela, on peut maîtriser les petits bruits de son mieux, mais ce n'est pas important. Alors, voici les courbes pour tout cela.

Maintenant, j'en arrive au dernier sujet, l'ensemble mathématique qui porte mon nom. D'une manière, c'est ma biographie. J'ai passé mon adolescence pendant l'occupation allemande de la France. Et parce que je pensais que j'allais disparaître dans un jour ou une semaine, J'avais de grands rêves. Et après la guerre, J'ai vu à nouveau un oncle. Mon oncle était un mathématicien très éminent et il m'a dit : "Tiens, il y a un problème que je ne pouvais pas résoudre il y a 25 ans, et que personne ne peut résoudre. C'est la construction d'un homme qui s'appelait [Gaston] Julia et [Pierre] Fatou. Si tu peux trouver quelque chose de nouveau, quoi que ce soit, ta carrière sera réussie." Très simple. Alors j'ai jeté un coup d'œil. et comme ces milliers de gens qui avaient déjà essayé, Je n'ai rien trouvé.

Mais ensuite arriva l'ordinateur. Et j'ai tâché d l'utiliser pour s'attaquer pas aux nouveaux problèmes en mathématiques -- comme ce petit tortillement, c'est un nouveau problème -- mais aux anciens problèmes. Je suis allé de ce qu'on appelle des nombres réels, qui sont des points sur une ligne, aux nombres imaginaires, complexes, qui sont des points sur un plan, c'est ce qu'il faut faire là. Et cette forme est apparue. Cette forme est d'une complexité extraordinaire. L'équation est cachée là, z devient z carré, plus c. C'est si simple, si sec. Tellement sans intérêt. Et puis vous l'appliquez une fois, deux fois, deux fois, des merveilles apparaissent. Franchement, on voit ça. Je ne veux pas expliquer ces choses. On voit ça. On voit ça. Formes d'une telle complexité, d'une telle harmonie et d'une telle beauté. On voit ça plusieurs fois, encore, encore, encore. Et c'était l'une de mes grandes découvertes de découvrir que ces îlots étaient identiques au tout, plus ou moins. Et puis vous avez ces décorations extraordinairement baroques partout. Tout cela d'une petite formule, qui contient cinq symboles, bof. Et puis celui-ci. La couleur est ajoutée pour deux raisons. Premièrement, parce que ces formes sont si complexes, que l'on n'arriverait jamais à comprendre ces chiffres. Et si on va les entrer, il faut choisir une système. Et alors, par principe, je présente toujours les formes avec des couleurs différentes, parce que certaines couleurs mettent ceci en valeur, d'autres couleurs cela. C'est si complexe.

(Rires)

En 1990, j'étais à Cambridge, Royaume-Uni. pour recevoir un prix de l'université. Et trois jours après, Un pilote qui survolait le paysage a trouvé ce truc. D'où est-il venu, ce truc-là ? Évidemment, des extraterrestres. (Rires) Et alors le journal a publié un article sur cette découverte et a reçu le prochain jour 5 000 lettres des gens disant : "Mais ce n'est qu'un ensemble de Mandelbrot très grand."

Alors, laissez-moi terminer. La forme ici est sortie d'une exercice dans les mathématiques purs. Des merveilles sans fond viennent de règles simples, qui sont répétées sans cesse.

Merci beaucoup.

(Applaudissements)