Benoit Mandelbrot: Fraktaalit ja rosoisuuden olemus

Kiitos erittäin paljon. Anteeksi, että istun; olen hyvin vanha. (Naurua) Aihe, josta aion kertoa, on yhdellä tapaa kummallinen, koska se on hyvin vanha. Rosoisuus on osa ihmiselämää aina ja ikuisesti. Muinaiset kirjoittajat ovat kirjoittaneet siitä. Se oli vaikeasti kontrolloitavissa. Ja jossain mielessä, se vaikutti olevan äärimmäisen monimutkainen, pelkää sotkua. On monenlaisia sotkuja. Itse asiassa, onnekkaasta sattumasta johtuen aloin useita vuosia sitten tutkia tällaista monimutkaisuutta. Ja suureksi hämmästyksekseni löysin jälkiä -- hyvin voimakkaita jälkiä -- järjestyksestä rosoisuudessa. Joten tänään haluaisin esittää teille muutaman esimerkin tästä aiheesta. Pidän enemmän sanasta 'rosoisuus' kuin 'epäsäännöllisyys', koska epäjärjestys tarkoittaa -- henkilölle, joka on lukenut latinaa kaukaisessa nuoruudessaan -- se tarkoittaa säännöllisyyden vastakohtaa. Mutta se ei ole sitä. Säännöllisyys on rosoisuuden vastakohta, koska maailman perusmuoto on hyvin rosoinen.

Näytän teille muutaman kuvan. Jotkut näistä ovat keinotekoisia. Jotkut ovat hyvin aitoja, jossain mielessä. Tämä on aito. Kukkakaali. Miksi näytän teille kukkakaalin, hyvin tavanomaisen ja vanhan vihanneksen? Koska huolimatta siitä, miten muinainen se on, se on hyvin monimutkainen ja yksinkertainen samaan aikaan. On helppoa punnita se. Jos aikoo syödä sen, paino ratkaisee. Mutta mitä jos yritätte mitata sen pinta-alan? Se on mielenkiintoista. Jos leikkaa terävällä veitsellä yhden kukinnon kukkakaalista ja katsoo sitä erillään, se näyttää kokonaiselta kukkakaalilta, vain pienemmältä. Ja leikkaa uudelleen ja uudelleen, ja uudelleen... Ja saa vain yhä pienempiä kukkakaaleja. Ihmiset ovat siis aina kokeneet, että on olemassa muotoja, joilla on tämä omituinen ominaisuus, että jokainen osa on kuin koko asia, mutta pienempi. Mitä ihmiset tekivät tällä tiedolla? Hyvin, hyvin vähän. (Naurua)

Joten itse asiassa tutkin tätä ongelmaa ja löysin melko yllättävän tuloksen; että rosoisuutta voi mitata numerolla, joka voi olla 2,3 tai 1,2 tai joskus paljon enemmän. Kerran yksi ystäväni ihan vain kiusallaan toi kuvan ja kysyi: "Mikä on tämän käyrän rosoisuus?" Sanoin: "No, vähän alle 1,5." Se oli 1,48. Minulta se ei kestänyt kauan. Olen katsonut näitä juttuja jo niin kauan. Nämä numerot kertovat pintojen rosoisuudesta. Kiirehdin sanomaan, että nämä pinnat ovat täysin keinotekoisia. Ne on tehty tietokoneella. Sille syötetään vain numero. Tuo numero on rosoisuus. Vasemmalla otin rosoisuuden, joka on ominainen useille maisemille. Oikealla otin korkeamman rosoisuuden. Nämä pystyy erottamaan jonkin ajan kuluttua silmällä oikein hyvin.

Ihmisten piti oppia mittaamaan rosoisuutta. Tämä on hyvin rosoinen, tämä melko sileä, ja tämä täysin sileä. Hyvin harvat asiat ovat täysin sileitä. Joten jos yrittää kysyä kysymyksen: mikä on kukkakaalin pinta-ala? Sitä voi mitata ja mitata. Aina kun on pääsee lähemmäs, se suurenee, aina hyvin pieniin etäisyyksiin asti. Mikä on rantaviivan pituus näissä järvissä? Mitä tarkemmin mittaa, sitä pidempi se on. Rantaviivan pituuden koko käsite, joka tuntuu niin luonnolliselta, koska se mainitaan usein, on itse asiassa harha; sitä ei ole olemassa. Se pitää tehdä eri tavalla.

Mitä hyötyä näiden asioiden tietämisestä on? Yllättävää kyllä, siitä on monenlaista hyötyä. Keinoteikoiset maisemat, jotka tavallaan keksin, ovat käytössä elokuvissa koko ajan. Näemme vuoria kaukaisuudessa. Ne voivat olla vuoria, mutta ne voivat olla vain yhtälöitä. Nykyään niitä on helppoa tehdä. Aiemmin se vei paljon aikaa, mutta nyt se on helppoa. Katsokaa tätä. Tämä on aito keuhko. Keuhko on hyvin omituinen. Tämä keuhko, tiedätte hyvin, että se painaa hyvin vähän. Keuhkojen tilavuus on hyvin pieni. Mutta mikä on keuhkojen pinta-ala? Anatomian tutkijat kiistelivät siitä paljon. Jotkut sanovat, että normaalien miesten keuhkojen pinta-ala oli sama kuin koripallon sisäpuolen. Toiset sanovat viiden koripallon. Melkoinen erimielisyys. Miksi? Koska itse asiassa keuhkojen ala on hyvin huonosti määritelty. Keuhkoputket haarautuvat haaroihin ja uusiin haaroihin. Ja lakkaavat haarautumasta, eivät minkään periaatteen vuoksi, vaan fyysisistä syistä, keuhkoissa olevan liman takia. Siis tavallaan meillä on isommat keuhkot, mutta jos ne haarautuvat ja haarautuvat aina etäisyyksiin, jotka ovat suunnilleen samat valaalle, ihmiselle ja pienelle jyrsijälle --

niin mitä hyötyä siitä on? Yllättävää kyllä, hämmästyttävää on, että anatomeilla oli hyvin hatarat käsitykset keuhkojen rakenteesta ihan viime aikoihin asti. Uskon, että minun matematiikkani, yllättävää kyllä, on ollut suuri apu kirurgeille, jotka tutkivat keuhkosairauksia ja myös munuaissairauksia, kaikkia haarautuvia systeemejä, joille ei ollut geometriaa. Toisin sanoen, huomasin rakentavani geometriaa asioille, joilla ei ollut geometriaa. Yllättävä näkökohta tässä on se, että tämän geometrian säännöt ovat hyvin lyhyitä. On tämän pituisia yhtälöitä. Niitä veivataan useita kertoja. Joskus uudelleen ja uudelleen. Toistuvasti. Lopulta saadaan tämän kaltaisia juttuja.

Tämä pilvi on täysin, sataprosenttisen keinotekoinen. Tai no, 99,9 %. Ainoa luonnollinen asia on numero, pilven rosoisuus, joka on otettu luonnosta. Jokin niin monimutkainen kuin pilvi, niin epästabiili, muuttuva, sillä täytyy olla yksinkertainen sääntö. Tämä sääntö ei ole pilvien selitys. Pilvien tarkkailijan täytyi ottaa se huomioon. En tiedä kuinka kehittyneitä nämä kuvat ovat; ne ovat vanhoja. Olin hyvin kiinnostunut niistä, mutta sitten kiinnitin huomioni muihin ilmiöihin.

On yksi toinen melko mielenkiintoinen asia. Yksi repivimmistä tapahtumista matematiikan historiassa, jota moni ei arvosta, tapahtui noin 130 vuotta sitten -- 145 vuotta sitten. Matemaatikot alkoivat luoda muotoja, joita ei ollut olemassa. Matemaatikot kehuivat itseään laajuudessa, joka oli käsittämätön, siitä, että ihminen voi keksiä asioita, joita luonto ei tuntenut. Erityisesti ihminen voi keksiä asioita kuten käyrän, joka täyttää tason. 'Käyrä on käyrä, taso on taso, ja nuo kaksi eivät sekoitu.' No, nepä sekoittuvat. Mies nimeltä Peano määritteli sellaisia käyriä, ja ne saivat suunnatonta huomiota. Se oli hyvin tärkeää, mutta enimmäkseen mielenkiintoista, koska se oli kuin aukko, eroavaisuus todellisuudesta tulevan matematiikan ja ihmismielestä tulevan uuden matematiikan välillä. Oli ikävä huomauttaa, että puhdas ihmismieli itse asiassa näki vihdoin sen, mitä oli nähty jo pitkän aikaa. Tässä näytän jokia, jotka ovat osa tason täyttävää käyrää. No, se on oma tarinansa. Vuosina 1875 - 1925 oli suuremmoinen kausi, jolloin matematiikka valmistautui irrottautumaan maailmasta. Objekteja, joita käytettiin esimerkkeinä, kun olin lapsi ja opiskelija, aukosta matematiikan ja näkyvän todellisuuden välillä -- nuo objektit käänsin täysin toisiksi. Käytin niitä kuvaamaan joitain näkökohtia luonnon monimutkaisuudesta.

Mies nimeltä Hausdorff vuonna 1919 esitti numeron, joka oli vain matemaattinen vitsi. Huomasin, että tämä numero oli hyvä mitta rosoisuudelle. Kun kerroin siitä ensi kertaa matemaatikkoystävilleni, he sanoivat: "Älä ole hassu." Itse asiassa en ollutkaan hassu. Suuri maalari Hokusai tiesi sen hyvin. Maassa olevat jutut ovat levää. Hän ei tuntenut matematiikkaa; sitä ei ollut olemassa. Hän oli japanilainen, jolla ei ollut kontakteja länteen. Mutta maalaamisella oli pitkään fraktaalinen puoli. Voisin puhua siitä pitkään. Eiffelin tornilla on fraktaalinen muoto. Luin herra Eiffelin tornistaan kirjoittamansa kirjan. Oli hämmästyttävää, miten paljon hän ymmärsi.

Tämä on Brownin lenkki -- yhtä sotkua. Eräänä päivänä, puolivälissä uraani, olin niin kiinni työssäni, että päätin testata itseäni. Voisinko vain katsoa jotain, mitä kaikki ovlivat katsoneet pitkään ja löytää jotain dramaattisen uutta? Joten katsoin Brownin liikettä -- ne menevät ympäriinsä. Pyörittelin sitä jonkin aikaa, ja sain sen palaamaan alkupisteeseen. Kerroin assistentilleni: "En näe mitään. Voitko värittää sen?" Joten hän väritti sen kokonaan. Hän sanoi: "Tällainen siitä tuli" Ja minä sanoin: "Seis! Seis! Seis! Näen, että se on saari." Uskomatonta. Brownin liike, jolla sattuu olemaan rosoisuusarvo 2, palaa alkupisteeseensä. Mittasin sen: 1,33. Uudelleen ja uudelleen. Pitkiä mittauksia, isoa Brownin liikettä, 1,33. Matemaattinen ongelma: miten todistaa se? Ystäviltäni kesti se 20 vuotta. Kolmella heistä oli epätäydellisiä todistuksia. He tapasivat ja yhdessä he osoittivat sen. Joten he saivat suuren matemaatikkojen [Fieldsin] mitalin, yksi kolmesta mitalista, jonka ihmiset ovat saaneet todistaessaan asioita, jotka olen nähnyt osaamatta todistaa niitä.

Kaikki kysyvät minulta ennemmin tai myöhemmin "Miten kaikki sai alkunsa? Miten päädyit tähän kummalliseen bisnekseen?" Mikä teki minusta yhtä aikaa koneinsinöörin, maantietelijän, ja matemaatikon, fyysikon ja niin edelleen? Itse asiassa, kumma kyllä, aloitin tutkimalla pörssikursseja. Joten minulla oli teoria, ja kirjoitin kirjan talouden kasvusta. Vasemmalla näette dataa pitkältä ajalta. Oikealla ylhäällä näette teorian, joka on hyvin suosittu. Se oli hyvin helppo ja siitä voi kirjoittaa nopeasti kirjoja. (Naurua) Aiheesta on tuhansia kirjoja. Verratkaa tätä todellisiin pörssikursseihin. Missä ovat todelliset pörssikurssit? Nämä toiset viivat sisältävät joitain oikeita pörssikursseja ja joitain tekemiäni väärennöksiä. Ideana tässä oli, että pitäisi olla mahdollista mallintaa kurssien muutoksia. Ja se toimi hyvin 50 vuotta sitten. 50 vuoden ajan ihmiset pitivät minua höpsönä, koska he pystyivät tekemään sen paljon helpommin. Mutta uskokaa pois, tässä kohtaa ihmiset alkoivat kuunnella minua. (Naurua) Nämä kaksi käyrää ovat keskiarvoja. Standard & Poor, sininen käyrä. Punainen on Standard & Poor, josta viisi suurinta poikkeamaa on poistettu. Poikkeamat ovat kiusankappaleita. Monissa taloustutkimuksissa ne ohitetaan. "No, luonnonmullistukset." Jäljelle jää pötyä. Tässä kuvassa viisi luonnonmullistusta on yhtä tärkeitä kuin kaikki muu. Toisin sanoen, meidän ei pitäisi jättää pois luonnonmullistuksia. Se on koko ongelman ydin. Jos kykenee ennustamaan ne, voi ennustaa kaiken. Jos ei hallitse niitä, ennustaa vain sen pienen kohinan, mutta se ei ole tärkeää. Tässä kuvaajat.

Viimeinen asia, joka on joukko, johon nimeni on liitetty. Tavallaan se on elämäntarinani. Elin nuoruuttani saksalaisten miehittäessä Ranskaa. Koska ajattelin, että saattaisin kadota päivässä tai viikossa, minulla oli suuria unelmia. Sodan jälkeen näin enoni uudelleen. Enoni oli merkittävä matemaatikko ja hän kertoi minulle: "On ongelma, jota en voinut ratkaista 25 vuotta sitten, ja jota kukaan ei osaa ratkaista. Sen rakensi [Gaston] Julia sekä [Pierre] Fatou. Jos löytäisit siitä jotain uutta, mitä tahansa, saat siitä uran itsellesi." Hyvin yksinkertaista. Joten katsoin, ja kuten tuhannet aiemmin yrittäneet, en löytänyt mitään.

Mutta sitten tietokoneet tulivat. Päätin kokeilla tietokonetta, en uusiin matematiikan ongelmiin -- kuten värinäjuttuihin, se on uusi ongelma -- vaan vanhoihin ongelmiin. Joten etenin reaaliluvuista, jotka ovat pisteitä viivassa, imaginaarisiin, kompleksilukuihin, jotka ovat pisteitä tasossa, mitä piti tehdä. Ja tämä muoto tuli siitä. Tämä muoto on tavattoman monimutkainen. Yhtälö on piilotettu tänne, z on z potenssiin kaksi plus c. Niin yksinkertaista, niin kuivaa. Niin epämielenkiintoista. Jos pyöräytetään yhtälöä kerran, pari, pari kertaa, ihmeitä tulee ulos. Tämä tulee ulos. En halua selittää näitä juttuja. Tämä tulee ulos, tämäkin. Muotoja, jotka ovat niin monimutkaisia, harmonisia, kauniita. Tämä tulee toistuvasti, aina vain. Yksi suurimmista löydöistäni oli, että nämä saaret ovat samoja kuin koko kuvio, enemmän tai vähemmän. Ja sitten saa näitä eriskummallisia barokkikoristuksia joka paikkaan. Kaikki tämä tästä pikkuyhtälöstä, jossa on viisi symbolia. Ja tämä. Väri lisättiin kahdesta syystä. Ensinnäkin, koska nämä muodot ovat niin monimutkaisia, ettei numeroita voisi hahmottaa. On valittava jokin järjestelmä. Periaatteenani on ollut esittää muodot aina eri värityksin, koska jotkut väritykset painottavat yhtä ja toiset toista. Se on niin monimutkaista.

(Naurua)

Vuonna 1990 olin Cambridgessä vastaanottamassa palkintoa yliopistolta. Kolme päivää myöhemmin maiseman yli lentänyt lentäjä huomasi tämän. Mistä se tuli? Mitä ilmeisimmin avaruusolennoilta. (Naurua) Sanomalehti Cambridgessä julkaisi artikkelin tästä "löydöstä" ja sai seuraavana päivänä 5000 kirjettä ihmisiltä: "Mutta se on vain hyvin iso Mandelbrotin joukko."

Lopettelen nyt. Tämä muoto tuli puhtaan matematiikan harjoittamisesta. Yksinkertaisista säännöistä, joita toistetaan loputtomasti, syntyy pohjattomia ihmeitä.

Kiitos erittäin paljon.

(Suosionosoituksia)