بنوا مندلبرو: فرکتال ها و هنر ناهمواري

.خیلی متشکرم .لطفا مرا برای نشستن ببخشید؛ من خیلی پیر هستم (خنده) خب، موضوعی که من می خواهم مطرح کنم موضوعی است که، از جهت خاصی، خیلی عجیب است .زیرا بسیار قدیمی است ناهمواری بخشی از زندگی انسان است ،همواره و همواره نویسندگاه قدیمی در مورد آن نوشته اند. ،همواره و همواره نویسندگاه قدیمی در مورد آن نوشته اند. ،بسیار غیر قابل کنترل، و از جهت خاصی ،بینهایت پیچیده به نظر می رسید .فقط یک آشفتگی، آشفتگی و آشفتگی انواع بسيار مختلفی از آشفتگی وجود دارد. در حقیقت، بطور کاملا اتفاقی، سالها پیش درگیر یک مطالعه از این شکل از پیچیدگی شدم، و با حیرت مطلق، نشانه هایی یافتم-- نشانه هایی بسیار قوی-- باید از نظم در آن ناهمواری بگویم. و بنابراين امروز، من می خواهم برای شما چند مثال از آنچه این بیانگر آن است را ارائه کنم. چند مثال از آنچه این بیانگر آن است را ارائه کنم. من کلمه ناهمواری را به کلمه بی نظمی ترجیح می دهم زیرا بی نظمی-- برای کسی که لاتین بداند در گذشته دور که من جوان بودم-- به معنی مخالف نظم است. اما این طور نیست. نظم معکوس ناهمواری است زیرا جنبه های اساسی جهان بسیار ناهموار است.

اجازه دهید به شما چند چیز نشان بدهم. برخی از آنها از مصنوعی هستند. بقیه آنها، از جهت خاصی بسیار واقعی هستند. این واقعی است. این یک گل کلم است. حالا چرا من یک گل کلم را نشان می دهم، گیاهی بسیار معمولی و باستانی ؟ زیرا از آنجا که ممکن است قدیمی و باستانی باشد در آن واحد، هم بسیار پیچیده و هم بسیار ساده است. در آن واحد، هم بسیار پیچیده و هم بسیار ساده است. اگر سعی در وزن کردن آن کنید – البته وزن کردن آن بسیار آسان است، و هنگامی که آن را بخورید، وزن اهمیت دارد-- اما فرض کنید سعی کنید که سطح آن را اندازه بگیرید. خب، بسیار جالب است. اگر با یک چاقوی تیز، یکی از گلچه های گل کلم را برش دهید و جداگانه به آن نگاه کنید، .فکر می کنید یک گل کلم کامل است، اما کوچکتر و سپس دوباره برش دهید، دوباره، دوباره، دوباره، دوباره، دوباره، دوباره، دوباره، دوباره، و شما هنوز گل کلم های کوچکتر بدست می آورید. بنابراین تجربه بشر همواره این بوده است که برخی از اشکال وجود دارند که این خاصیت عجیب را دارند، که هر قسمت به مانند کل است، اما کوچکتر. حالا، بشر با آن چه کرده است ؟ .خیلی، خیلی کم (خنده)

پس آنچه در واقع من انجام دادم مطالعه این مساله بود، و من چیزی کاملا شگفت انگیز کشف کردم. که می توان ناهمواری را اندازه گرفت توسط یک عدد، یک عدد، .1.2، 2.3 و گاهی اوقات بسیار بیشتر یک روز، یکی از دوستان من، برای اذیت کردن من، ،یک تصویر آورد و گفت "ناهمواری این منحنی چیست ؟" من گفتم: "خب، اندکی کمتر از 1.5" 1.48 بود. محاسبه آن کار هیچ وقتی از من نگرفت. من برای مدتی بسیار طولانی به این چیزها نگاه کرده بودم. بنابراین این اعداد، اعدادی هستند که ناهمواری این سطوح را مشخص می کنند. من باید بگویم که این سطوح کاملا مصنوعی هستند. ،آنها بر روی یک کامپیوتر ایجاد شده اند، و تنها ورودی یک عدد است، و آن عدد ناهمواری است. بنابراین در سمت چپ، من ناهمواری کپی شده از مناظر بسیاری را دارم. در سمت راست، من ناهمواری بیشتری دارم. خُب چشم، پس از مدتی می تواند این دو را به خوبی از هم تشخیص دهد.

بشر باید در باره اندازه گیری ناهمواری یاد بگیرد. این بسیار ناهموار، و این تقریبا صاف و این کاملا صاف است. چیزهای خیلی کمی بسیار صاف هستند. پس اگر شما بپرسید: "سطح یک گل کلم چیست ؟" خب، شما اندازه گیری و اندازه گیری و اندازه گیری می کنید. هر قدر که شما نزدیک تر شوید، بزرگتر می شود، تا فاصله های بسیار، بسیار پایین. طول خط ساحلی این دریاچه ها چقدر است ؟ هرچه از نزدیک تر اندازه گیری کنید، طولانی تر می شود. مفهوم طول خط ساحلی، که بسیار طبیعی به نظر می رسد چون در موارد بسیاری داده می شود، در واقع، کاملا سفسطه‌ اميز است، همچین چیزی وجود ندارد. شما باید آن را به روش ديگری انجام دهید.

دانستن این چیزها چه سودی دارد ؟ خب، شگفت آور به اندازه کافی، از بسیاری جهات خوب است. برای شروع، مناظر مصنوعی، که من تقریبا اختراع کردم، همیشه در سینما استفاده می شوند. ما کوه ها را در دوردست می بینیم. آنها ممکن است کوه باشند، اما ممکن است فقط فرمول باشند ، که تولید شده اند. در حال حاضر انجام این کار بسیار آسان است. این کار در گذشته بسیار وقت گیر بوده، اما در حال حاضر اصلا کاری نیست. حالا به این نگاه کنید. این یک ریه واقعی است. ریه چیز بسیار عجیبی است. اگر شما آنرا بردارید، شما به خوبی می فهمید وزن آن بسیار کم است. حجم یک ریه بسیار کم است، اما مساحت ریه چطور ؟ آناتومیست ها در مورد آن بسیار بحث کرده اند. برخی می گویند که ریه یک مرد عادی مساحت داخل یک [زمین] بسکتبال را دارد. و دیگران می گویند، نه، پنج [زمین] بسکتبال. اختلافات عظیم. چرا؟ زیرا، در واقع، مساحت ریه چیزی بسیار بد تعریف شده است. انشعاب برونش، انشعاب، انشعاب و انشعاب آنها متوقف می شود، نه بدلیل هیچ قانونی، بلکه به دلیل ملاحظات فیزیکی: مخاط، که در ریه است. پس اتفاقی که می افتد این است که از جهتی شما یک ریه بسیار بزرگتر دارید، اما آن منشعب و منشعب می شود به ابعاد تقریبا یکسان برای یک نهنگ، یک مرد و یک موش کوچک.

حالا، داشتن آن چه سودی دارد ؟ ،خب، شگفت آور به اندازه کافی، حیرت آور به اندازه کافی آناتومیست ها یک ایده بسیار ضعیف از ساختار ریه تا همین اواخر داشتند. و من فکر می کنم که ریاضیات من، شگفت آور به اندازه کافی، کمک بزرگی به جراحان بوده است برای بررسی بیماری های ریوی و همچنین بیماری های کلیه، تمام این سیستم های انشعابی، که برایشان هندسه ای وجود ندارد. خُب من خودم رو پیدا کردم، به عبارت دیگر ساختن یک هندسه، یک هندسه از چیزهایی که هیچ هندسه ای ندارند. و یک جنبه شگفت آور از آن این است که اغلب، قوانین این هندسه به شدت کوتاه هستند. شما فرمول هایی دارید که طولانی هستند. و آن را چندین بار خم می کنید. گاهی اوقات مکررا: دوباره، دوباره، دوباره، همان تکرار. و در پایان، شما چیزهایی مانند این بدست می آورید.

این ابر به طور کامل، ۱۰۰ درصد مصنوعی است . خب، 99.9 و تنها بخشی که طبیعی است یک عدد است، ناهمواری ابر، که از طبیعت گرفته شده است. چیزی بسیار پیچیده مثل یک ابر، بسیار ناپایدار، بسیار متنوع، باید یک قانون ساده در پشتش داشته باشد. این قانون ساده تعریف ابرها نیست. بیننده ابرها باید دلیل آن را بیان کند. من نمی دانم که این تصاویر چقدر پیشرفته هستند. آنها قدیمی هستند. من خیلی درگیر آنها بودم. اما سپس توجهم به پدیده های دیگر معطوف شد.

حالا، اینجا چیز دیگری است که نسبتا جالب است. یکی از مخرب ترین رویدادها در تاریخ ریاضیات، که توسط بسیاری از مردم درک نشده است، در حدود 130 سال پیش رخ داده است، سال پیش 145. ریاضیدانان شروع کردند به خلق کردن اشکالی که وجود نداشتند. ریاضیدانان شروع به خودستایی کردن به حدی مطلقا شگفت انگیزی، که انسان بتواند چیزهایی را اختراع کند .که طبیعت نمی دانست به طور خاص، توانست چیزهایی اختراع کند مانند یک منحنی که صفحه را پر می کند. یک منحنی، منحنی است، یک صفحه، صفحه است، و این دو ترکیب نخواهند شد. .خب، آنها ترکیب می شوند. مردی به نام پیانو چنین منحنی هایی تعریف کرد، و آن موضوعی فوق العاده مورد علاقه شد. آن بسیار مهم، اما بیشتر جالب توجه بود بدلیل یک نوع شکاف، یک جدایی بین ریاضیات آمده از واقعیت، از یک سو، و ریاضیات جدید آمده از ذهن ناب انسان. خب، من بسیار متاسف بودم برای تذکر اینکه ذهن ناب انسان در حقیقت، آنچه را برای یک مدت طولانی دیده شده بود بالاخره دیده است. و بنابراین من اینجا چیزی را معرفی می کنم، مجموعه ای از جریان های یک منحنی صفحه پر کن. و خب، این یک داستان جزء داستان خودش است. خب در سال 1875 تا 1925، یک دوره فوق العاده بود که در آن ریاضیات خود را برای بیرون ریختن از جهان آماده کرد. و اشیائی که مورد استفاده قرار گرفت به عنوان نمونه، زمانی که من یک کودک و یک دانش آموز بودم، به عنوان نمونه ها یی از شکاف بین ریاضیات و واقعیت قابل رویت-- من این اشیاء را، کاملا متحول کردم. من آنها را برای توصیف برخی از جنبه های پیچیدگی طبیعت استفاده کردم.

خب، مردی بنام هاسدورف در سال 1919 عددی معرفی کرد که فقط یک شوخی ریاضی بود، و من متوجه شدم که این عدد مقیاس خوبی از ناهمواری بود. وقتی که من برای اولین بار آنرا به دوستانم در ریاضیات گفتم ".آنها گفتند: "احمق نباش. این فقط یک چیز [احمقانه] است. خب در واقع، من احمق نبودم. نقاش بزرگ هوکوسای این را به خوبی می دانست. .این چیزها بر روی زمین جلبک هستند. او ریاضیات نمی دانست؛ ریاضیات هنوز وجود نداشت. و او اهل ژاپن بود که هیچ تماسی با غرب نداشت. اما نقاشی او برای مدت طولانی یک جنبه فراکتالی داشت. من می توانم در مورد آن برای مدت طولانی صحبت کنم. برج ایفل یک جنبه فراکتالی دارد. من کتابی که آقای ایفل درباره برج خود نوشت را خوانده ام، و در واقع شگفت آور بود که او چقدر این موضوع را فهمیده بود.

این یک حلقه براونی (حرکت تصادفی احتمالای از ذرات معلق در یک سیال مایع و یا گاز ) آشفته، آشفته، آشفته است. یک روز من تصمیم گرفتم--- در وسط کارم، بوسیله چیزهای زیادی که در محل کارم بود-- خودم را امتحان کنم. من می توانم فقط به چیزی نگاه کنم که همه مدت طولانی به آن نگاه کرده اند و چیزی به طرز چشمگیری جدید پیدا کنم ؟ خب، پس من به این چیزهایی که حرکت براونی(حرکت تصادفی احتمالای از ذرات معلق در یک سیال مایع و یا گاز ) نامیده می شود نگاه کردم -- فقط حرکت می کنند. با آن برای مدتی بازی کردم، و آنرا به مبدا بازگرداندم. سپس من به دستیارم گفتم، "من هیچ چیزی نمی بینم. می توانید آنرا رنگ کنید ؟" بنابراین او آن را رنگ آمیزی کرد، که یعنی او همه چیز را در قسمت داخلی قرار داد. او گفت: خب، این چیز بیرون آمد ..." و من گفتم: "بایست! بایست! بایست!" می بینم؛ این یک جزیره است." و شگفت انگیز پس حرکت براونی، که اتفاقا عدد ناهمواری 2 دارد، کنار می رود. من آن را 1.33 اندازه گیری کردم. .دوباره، دوباره، دوباره اندازه گیری های طولانی، حرکات براونی بزرگ، 1.33 مشکل ریاضی: چگونه این را اثبات کنم ؟ این 20 سال زمان از دوستان من گرفته است. سه نفر از آنها دلایل ناقصی داشتند. آنها دور هم جمع شدند، و همه با هم دلیل را داشتند. بنابراین آنها مدال [زمینه های] بزرگ در ریاضیات را دریافت کردند، یکی از سه مدالی که مردم دریافت کرده اند برای اثبات چیزهایی که من دیده ام بدون اینکه قادر به اثبات آنها باشم.

حالا همه در یک مورد و یا موارد دیگر از من می پرسند، "چگونه آن شروع شد ؟ شما در این کار عجیب چه بدست آورده اید ؟ می خواهید چه باشید، ،در یک زمان، یک مهندسی مکانیک یک جغرافیدان و یک ریاضیدان و ...، یک فیزیکدان ؟ خب در واقع، به اندازه کافی عجیب، من شروع به بررسی قیمت ها در بازار سهام کردم. خب، در اینجا من این نظریه را داشتم، و من کتاب هایی درباره آن نوشتم-- ارزش مالی افزایش می یابد. در سمت چپ شما اطلاعات یک دوره طولانی را می بینید. در سمت راست، بالا، شما یک نظریه بسیار، بسیار شیک را می بینید. این بسیار آسان بود، و شما می توانید خیلی سریع کتاب های بسیاری در مورد آن بنویسید. (خنده) هزاران کتاب در مورد آن وجود دارد. حالا آنرا با افزایش قیمت واقعی مقایسه کنید. افزایش قیمت واقعی کجاها هستند ؟ خب، این خطوط دیگر شامل مقداری افزایش قیمت واقعی هستند و مقداری جعلی که من انجام دادم. بنابراین این ایده وجود داشت که یکی باید قادر به -- شما چه می گویید ؟--- .تغییرات مدل قیمت و آن 50 سال پیش واقعا خوب پیش رفت. برای 50 سال، مردم در حال پیف-پیف کردن من بودند زیرا آنها توانستند آنرا بسیار، بسیار آسان تر انجام دهند. اما من به شما می گویم، در این نکته، مردم به من گوش کردند. (خنده) این دو منحنی میانگین هستند: استاندارد و ضعیف، آبیه؛ و قرمزه استاندارد و ضعیف است که پنج ناپیوستگی بزرگتر از آن گرفته شده است. حالا ناپیوستگی ها یک مزاحمت است، بنابراین در مطالعات بسیاری از قیمت ها، آنها را کنار می گذارند. .خب، حوادث غیر قابل پیش بینی" و شما مزخرفات کمی که باقی می ماند را دارید. حوادث غیر قابل پیش بینی." در این تصویر، پنج حادثه غیر قابل پیش بینی همانقدر مهم هستند که هر چیز دیگری هست. به عبارت دیگر، این حوادث غیر قابل پیش بینی نیست که ما باید کنار بگذاریم. مشکل، این قسمت اصلی است. اگر شما بر اینها مسلط شوید، شما بر قیمت تسلط یافته اید، و اگر شما بر اینها مسلط نشوید ، شما می توانید بر نویز کم به اندازه ای که می توانید، تسلط یابید، اما این مهم نیست. خب، در اینجا منحنی هایی برای آن هستند.

حالا، من به بحث پایانی می رسم، که مجموعه ایست که نام من به آن ضمیمه شده است. از جهتی، آن داستان زندگی من است. جوانی من در دوران اشغال فرانسه، توسط آلمان سپری شد. از آنجا که فکر کردم که ممکن است من ،ظرف یک روز یا یک هفته ناپدید شوم رویاهای بسیار بزرگی داشتم. و پس از جنگ، عمویم را دوباره دیدم. عموی من یک ریاضیدان بسیار برجسته بود، و او به من گفت، نگاه کن، یک مشکل وجود دارد" که من نتوانستم 25 سال پیش حل کنم و هیچ کس نمی تواند آن را حل کند. این یک ساختار از مردی به نام [گاستون] جولیا و [پیر] فاتو است. اگر شما می توانید چیزی جدیدی را پیدا کنید، هر چیزی "شما حرفه خود را خواهید ساخت. بسیار ساده است. بنابراین من نگاه کردم، و مثل هزاران نفر از مردم که قبلا سعی کرده بودند، هیچ چیز پیدا نکردم.

اما سپس کامپیوتر آمد، و من تصمیم به استفاده از کامپیوتر گرفتم، نه برای مشکلات جدید در ریاضیات -- مانند این wiggle wiggle، که یک مشکل جدید است-- بلکه برای مشکلات قدیمی. و من از آنچه اعداد حقیقی نامیده می شود که نقاط روی یک خط هستند، به موهومی، اعداد مختلط ، که نقاط روی یک صفحه هستند، رفتم که کاری است که اینجا باید انجام داد، و این شکل بیرون آمد. این شکل دارای پیچیدگی فوق العاده ای است. معادله در آنجا پنهان شده است، C ، به توان دو، به علاوه Z مساوی است با Z. این خیلی ساده است، خیلی خشک است. خیلی جالب نیست. حالا شما دسته را یک بار، دو بار بچرخانید: دوبار، شگفتی بیرون آمد. یعنی این بیرون آمد. من نمی خواهم این چیزها را توضیح دهم. این بیرون آمد. این بیرون آمد. اشکالی که دارای چنین پیچیدگی هستند، چنان هماهنگ و چنان زیبا. این بیرون آمد مکررا، دوباره، دوباره، دوباره و این یکی از اکتشافات مهم من بود، کشف اینکه این جزایر یکسان بودند مانند کل آن، کم یا بیش. و سپس شما به این .دکوراسیون فوق العاده عجیب و غریب در همه جا می رسید ،همه از این فرمول کوچک که هر آنچه دارد، پنج نماد در آن است. و سپس این یکی. رنگ به دو دلیل اضافه شد. اول از همه، زیرا این اشکال آنقدر پیچیده هستند که کسی نمی تواند هیچ حسی از اعداد داشته باشد. و اگر شما آنها را رسم کنید، شما باید برخی از سیستم ها را انتخاب کنید. و قانون من این بوده است که همیشه اشکال را با رنگ های مختلف ارائه کنید چون برخی از رنگ آمیزی ها بر آن تاکید می کنند، و بقیه اینطور هستند. خیلی پیچیده است.

(خنده)

در سال 1990، من در کمبریج، انگلیس بودم برای دریافت یک جایزه از دانشگاه، و سه روز بعد، یک خلبان درحال پرواز بر فراز چشم انداز بود و این را پیدا کرد. خب پس این از کجا آمده است ؟ بدیهی است، از موجودات فرازمینی. (خنده) خب، روزنامه ای در کمبریج یک مقاله در مورد این "کشف" چاپ کرد و روز بعد 5,000 نامه از مردمی دریافت کرد که می گفتند: "اما این تنها یک مجموعه مندلبرو خیلی بزرگ است."

خب، اجازه دهید تمام کنم. این شکل در اینجا تنها از یک تمرین در ریاضیات محض بوجود آمد. ظهور شگفتی های بی پایان از قواعد ساده، که بی نهایت تکرار می شوند.

بسیار متشکرم.

(تشویق)