Ron Eglash sobre Fractales africanos

Quiero empezar mi historia en Alemania, en 1877, con un matemático llamado Georg Cantor. Y Cantor decidió que iba a tomar una línea y a borrar el tercio central de la línea, y a tomar esas dos líneas resultantes y a traerlas de vuelta al mismo proceso, un proceso recursivo. Así que comienza con una línea, luego con dos, luego cuatro, luego 16, y así sucesivamente. Y si hace esto un número infinito de veces, lo cual se puede hacer en matemáticas, termina con un número infinito de líneas, cada una de las cuales tiene un número infinito de puntos. Así que se dio cuenta que tenía un conjunto cuyo número de elementos era mayor que infinito. Y esto le sacudió la mente. Literalmente. Ingresó en un psiquiátrico. (Risas) Y cuando salió del psiquiátrico, estaba convencido que había venido a la Tierra para fundar la teoría de conjuntos transfinitos, porque el mayor conjunto de infinito sería Dios mismo. Era un hombre muy religioso. Era un matemático en una misión.

Y otros matemáticos hicieron cosas del mismo tipo. El matemático sueco, von Koch, decidió que en vez de restar líneas, las sumaría. Y así salió con esta hermosa curva. Y no hay una razón en particular para que tengamos que empezar con esta forma semilla; podemos empezar con cualquier forma semilla. Y voy a reorganizar esto y meter esto en algún lado -- ahí abajo, OK -- y ahora iterando, esa forma semilla como que se despliega en una estructura que se ve muy diferente. Así que todas estas tienen la propiedad de la autosimilitud: la parte se ve como el todo. Es el mismo patrón en muchas escalas diferentes.

Ahora, los matemáticos pensaron que esto era algo muy extraño, porque a medida que encoges una regla, mides una distancia cada vez más larga. Y como pasaron por las iteraciones un número infinito de veces, a medida que la regla se encoge infinitamente, la longitud se extiende hacia el infinito. Esto no tenía ningún sentido, así que relegaron estas curvas al final de los libros de matemáticas. Dijeron que éstas son curvas patológicas, y que no tenemos que discutirlas. (Risas) Y eso funcionó durante cien años.

Y luego en 1977, Benoit Mandelbrot, un matemático francés, se dio cuenta que si haces gráficas por computadora y usas estas formas que llamó fractales obtienes las formas de la naturaleza. Obtienes los pulmones humanos, obtienes acacias, obtienes helechos, obtienes estas hermosas formas naturales. Si miran su pulgar y su dedo índice y se fijan justo donde se encuentran -- adelante, háganlo ahora -- y relajen su mano, van a ver un pliegue, y luego una arruga dentro del pliegue, y un pliegue dentro de la arruga. ¿Verdad? Su cuerpo está cubierto de fractales. Los matemáticos que decían que éstas eran formas patológicamente inútiles. Ellos estaban respirando esas palabras con pulmones fractales. Es muy irónico. Y les voy a mostrar una pequeña recursión natural acá. De nuevo, tan solo tomamos estas líneas y las reemplazamos recursivamente con toda la figura. Asi que aquí está la segunda iteración, y la tercera, la cuarta, y así sucesivamente.

Así que la naturaleza tiene esta estructura autosimilar. La naturaleza usa sistemas auto-organizativos. En los años 80 me pasó que noté que si uno mira una fotografía aérea de una aldea africana, uno ve fractales. Y pensé: "¡Esto es fabuloso! Me pregunto: ¿por qué?" Y por supuesto tuve que ir a África y preguntarle a la gente por qué. Así que obtuve una beca Fulbright para viajar alrededor de Africa por un año preguntándole a la gente por qué estaban construyendo fractales, lo cual es un gran trabajo si pueden conseguirlo. (Risas)

Y finalmente llegué a esta ciudad, y había hecho un pequeño modelo fractal para la ciudad sólo para ver cómo se desplegaría -- pero cuando llegué ahí, llegué al palacio del jefe, y mi francés no es muy bueno, dije algo como: "Soy un matemático y quisiera subirme a su techo". Pero él estuvo realmente tranquilo con eso, y me subió ahí, y hablamos de fractales. Y dijo: "¡Oh si, si! Nosotros sabíamos de un rectángulo en un rectángulo, sabemos al respecto". Y resulta que la insignia real tiene un rectángulo dentro de un rectángulo dentro de un rectángulo, y el camino a través del palacio es en efecto esta espiral. Y a medida que uno atraviesa el camino, uno tiene que ser más y más educado. Así que están trazando el mapa de la escala social sobre una escala geométrica; es un patrón consciente. No es inconsciente como el montículo fractal de las termitas.

Esto es una aldea en el sur de Zambia. Los ba-ila construyeron esta aldea de alrededor de 400 metros de diámetro. Hay un anillo enorme. Los anillos que representan los recintos familiares se agrandan cada vez más, a medida que uno va hacia atrás, y luego uno tiene el anillo del jefe acá hacia atrás y el recinto de la familia inmediata del jefe en ese anillo. Así que aquí hay un pequeño modelo fractal de él. Acá hay una casa con el altar sagrado, acá está la casa de casas, el recinto familiar, con los humanos acá donde estaría el altar sagrado, y luego acá está la aldea como un todo -- un anillo de anillo de anillos con la familia extensa del jefe acá, la famiia inmediata del jefe acá, y acá hay una diminuta aldea tan sólo así de grande. Ahora podrán ustedes preguntarse: ¿cómo puede la gente caber en una diminuta aldea tan solo así de grande? Eso es porque ellos son gente espíritu. Son los ancestros. Y, por supuesto, la gente espíritu tiene una pequeña aldea miniatura en su aldea, ¿verdad? Así es que es tal como dijo Georg Cantor, la recursión continúa para siempre.

Esto sucede en el macizo de Mandara, cerca de la frontera nigeriana con Camerún, en Mokoulek. Vi este diagrama dibujado por un arquitecto francés, y pensé: "¡Guau! ¡Qué fractal tan hermoso!" Así que traté de salir con una forma semilla, la cual, iterándola, se desplegaría en esta cosa. Llegué a esta estructura de acá. Veamos, primera iteración, segunda, tercera, cuarta. Ahora, después de que hice la simulación, me di cuenta que toda la aldea gira en espiral, justo así, y acá está esa línea de recurrencia -- una línea autorrecurrente que se desdobla en un fractal. Bueno, noté que esa línea está más o menos donde está el único edificio cuadrado de la aldea. Así que, cuando llegué a la aldea, dije: "¿Me pueden llevar al edificio cuadrado? Creo que algo está pasando ahí". Y ellos dijeron: "Bueno, lo podemos llevar ahí, pero usted no puede entrar porque ese es el altar sagrado, donde hacemos sacrificios cada año para mantener esos ciclos anuales de fertilidad en los campos". Y comencé a darme cuenta que los ciclos de fertilidad eran justo como los ciclos recursivos del algoritmo geométrico que construye esto. Y la recursión en algunas de estas aldeas continúa hasta escalas diminutas.

Acá hay una aldea nankani en Mali. Y pueden ver, uno entra al recinto familiar -- uno entra y acá hay ollas en el fogón, apiladas recursivamente. Acá hay calabazas que Issa justo nos mostraba, y están apiladas recursivamente. Ahora, la más pequeña de las calabazas guarda el alma de la mujer. Y cuando muere hacen una ceremonia en la que rompen la pila llamada la zalanga y su alma viaja a la eternidad. De nuevo, el infinito es importante.

Ahora, ustedes pueden hacerse tres preguntas en este punto. ¿No son estos patrones de escala simplemente universales en toda arquitectura aborigen? Y esa era en efecto mi hipótesis inicial. Cuando vi por primera vez esos fractales africanos, pensé: "¡Guau! Así que cualquier grupo aborigen que no tiene sociedad estatal, esa especie de jerarquía, debe tener algún tipo de arquitectura de abajo hacia arriba." Pero eso resulta no ser cierto.

Comencé a recolectar fotografías aéreas de arquitectura aborigen de EE.UU. y del Pacífico Sur; y sólo las africanas eran fractales. Y si piensan al respecto, todas estas distintas sociedades usan diferentes temas de diseños geométricos. Así que los aborígenes de EE.UU. usan una combinación de simetría circular y simetría cuádruple. Lo pueden ver en la cerámica y la cestería. Acá hay una fotografía aérea de una de las ruinas anasazi; pueden ver que es circular en la escala más amplia, pero rectangular en la escala más pequeña, ¿verdad? No es el mismo patrón en dos escalas diferenrtes.

Segundo, podrían preguntar: "Bueno, Dr. Eglash, ¿no está Ud. ignorando la diversidad de culturas africanas?" Y, tres veces, la respuesta es no. En primer lugar, estoy de acuerdo con el maravilloso libro de Mudimbe, "La Invención de África". en que África es un invento artificial, primero, del colonialismo y, luego, de los movimientos opositores. No, porque una práctica de diseño ampliamente compartida no implica necesariamente una unidad cultural -- y definitivamente no está en el ADN. Y finalmente, los fractales tienen autosimilitud -- así que son similares a sí mismos pero no son necesariamente similares entre sí -- uno ve usos muy diferentes de los fractales. Es una tecnología compartida en África.

Y finalmente, bueno, ¿no es esto tan solo intuición? No es realmente conocimiento matemático. No es posible que los africanos realmente estén usando geometría fractal, ¿cierto? No fue inventada sino hasta los años 70. Bueno, es verdad que algunos fractales africanos son, hasta donde yo sé, sólo pura intuición. Así que algunas de estas cosas, yo recorrería las calles de Dakar pregutándole a la gente: "¿Cuál es el algoritmo? ¿Cuál es la regla para hacer esto?" y me dirían, "Bueno, sólo lo hacemos así porque se ve bonito, estúpido". (Risas) Pero algunas veces no es ese el caso. En algunos casos hay, en efecto, algoritmos y algoritmos muy sofisticados. Así en la escultura manghetu uno vería esta geometría recursiva. En las cruces etíopes uno ve este maravilloso desdoblamiento de la forma.

En Angola la etnia chokwe dibuja líneas en la arena y es lo que el matemático alemán Euler llamó un grafo; ahora lo llamamos un camino euleriano -- nunca puedes levantar tu bolígrafo de la superficie y nunca puedes pasar sobre la misma línea dos veces. Pero lo hacen recursivamente, y lo hacen con un sistema de gradación por edades, así que los niños pequeños aprenden éste, y luego los mayores aprenden éste, luego en la siguiente iniciación por grado de edad, uno aprende éste. Y con cada iteración del algoritmo, uno aprende las iteraciones del mito. Uno aprende el siguiente nivel de conocimiento.

Y finalmente, en toda África, uno ve este juego de tablero. Se llama owari en Ghana, donde yo lo estudié; se llama mancala acá en la costa este, bao en Kenia, sogo en otras partes. Bueno, uno ve patrones auto-organizados que ocurren espontáneamente en este juego de tablero. Y la gente en Ghana sabe de estos patrones auto-organizados y los usan estratégicamente. Así que éste es un conocimiento muy consciente.

Acá hay un maravilloso fractal. Donde quiera que vayan en Sahel, verán esta pantalla de viento. Y por supuesto las cercas del mundo son cartesianas, todas estrictamente lineales. Pero acá en África, Uds. tienen estas cercas no lineales en escalas. Así que busqué a una de las personas que fabrican estas cosas. un tipo en Mali justo en las afueras de Bamako, y le pregunté: "¿Cómo es que Ud. anda haciendo cercas fractales? Porque nadie más las hace". Y su respuesta fue muy interesante. Dijo: "Bueno, si viviera en la selva, sólo usaría las hileras largas de paja, porque son rápidas, y son muy baratas. No lleva mucho tiempo ni consume mucha paja". Dijo: "Pero el viento y el polvo se filtran muy fácilmente. Ahora, las filas apretadas en lo más alto, realmente detienen el viento y el polvo. Pero lleva mucho tiempo, y mucha paja, porque están realmente apretadas". "Ahora", dijo, "sabemos por experiencia que entre más arriba del piso vayas, más fuerte sopla el viento". ¿Verdad? Es justo como en el análisis costo-beneficio. Y yo medí las longitudes de la paja, lo puse en una matriz bi-logarítmica, saqué el exponencial de escala, y casi exactamente equivale al exponencial de escala para la relación entre altura y velocidad del viento del manual de ingeniería de vientos. Así que estos tipos dan justo en el blanco con el uso práctico de tecnología de escala.

El ejemplo más complejo que encontré de una aproximación algorítmica a los fractales en realidad no fue en geometría, sino en un código simbólico, y esto fue la adivinación bahmani en arena. Y el mismo sistema de adivinación se encuentra por toda África. Lo pueden encontrar en la costa este y en la costa oeste, y usualmente los símbolos están muy bien preservados, así que cada uno de estos símbolos tiene cuatro bits -- es una palabra binaria de cuatro bits -- uno dibuja esta líneas aleatoriamente sobre la arena, y luego cuenta, y si es un número impar, uno dibuja un trazo, y si es un número par, uno dibuja dos trazos. Y hacían esto muy rápidamente y yo no podía entender hacia qué iban -- ellos sólo hicieron la aleatoridad cuatro veces -- Yo no podía entender de dónde sacaban los otros 12 símbolos. Y no me lo dirían. Decían: "No, no, no te puedo hablar de esto". Y yo decía: "Bueno, mira, te pago, puedes ser mi profesor, y yo vengo cada día y te pago". Ellos dijeron: "No es cuestión de dinero. Este es un asunto religioso".

Y finalmente, de la desesperación, yo dije: "Bueno, déjenme explicar Georg Cantor en 1877". Y empecé a explicar por qué estaba yo en África, y se emocionaron mucho cuando vieron el conjunto de Cantor. Y uno de ellos dijo: "Ven acá. Creo que te puedo ayudar con esto". Y así me llevó por el proceso de iniciación ritual de un sacerdote bahmani. Y por supuesto, yo sólo estaba interesado en la matemática, así que todo el tiempo, él sacudía su cabeza diciendo: "Tu sabes, yo no lo aprendí de esta manera". Pero yo tenía que dormir con una nuez de cola al lado de la cama, enterrada en la arena, y darle siete monedas a los siete leprosos y todo eso. Y finalmente, él me reveló la verdad del asunto. Y resulta que es un generador de números pseudo-aleatorios que usa caos determinístico. Cuano uno tiene un símbolo de cuatro bits, uno puede juntarlo con otro de costado. Así, par más impar da impar. Impar más par da impar. Par más par da par. Impar más impar da par. Es adición módulo 2, justo como en la prueba de paridad de bits de su computadora. Y, luego, uno toma este símbolo y lo vuelve a meter así que es una diversidad de símbolos autogenerada. Realmente están usando un tipo de caos determinístico al hacer esto. Ahora, como es un código binario, uno puede en efecto implementar esto en hardware -- qué fantástica herramienta de enseñanza sería esto en las escuelas africanas de ingeniería.

Y lo más interesante que encontré al respecto fue algo histórico. En el siglo 12, Hugo Santillana lo trajo de los místicos musulmanes a España. Y ahí entró en la comunidad alquimista como geomancia: adivinación a través de la tierra. Esto es una carta geomántica dibujada por el rey Ricardo II en 1390. Leibniz, el matemático alemán, habló de geomancia en su disertación llamada "De Combinatoria" Y dijo: "Bueno, en vez de usar un trazo y dos trazos, usemos un uno y un cero, y podemos contar por potencias de dos". ¿Correcto? Unos y ceros: el código binario. George Boole tomó el código binario de Leibniz y creó el álgebra booleana, y John von Neumann tomó el álgebra boolena y creó la computadora digital. Así que todos estos pequeños PDAs y computadores portátiles -- todo circuito digital en el mundo -- comenzó en África. Y sé que Brian Eno dice que no hay suficiente África en las computadoras; saben, yo no creo que haya suficiente historia africana en Brian Eno. (Aplausos)

Así que déjenme terminar con unas pocas palabras sobre aplicaciones que hemos encontrado para esto. Y pueden ir a nuestro sitio web, las aplicaciones son gratuitas; simplemente corren en el browser. Cualquier persona en el mundo puede usarlas. El programa de Ampliación de la Participación en la Computación de la Fundación Nacional de la Ciencia recientemente nos otorgó una beca de investigación para hacer una versión programable de estas herramientas de diseño, así que esperamos que en tres años cualquiera pueda entrar a la Web y crear sus propias simulaciones y sus propios artefactos. Nos hemos centrado en EE.UU., en estudiantes afro, aborigenes y latinos de EE.UU. Hemos encontrado mejorías estadísticamente significativas en niños que usan este software en clases de matemáticas en comparación con un grupo de control que no tenía el software. Así que es realmente muy exitoso enseñándole a los niños que tienen una herencia que es sobre matemáticas, que no es sólo sobre canto y danza. Hemos comenzado un programa piloto en Ghana, tenemos una pequeña beca semilla, sólo para ver si la gente está dispuesta a trabajar con nostros en esto; estamos muy emocionados de las posibilidades futuras para eso.

También hemos estado trabajando en diseño. No puse su nombre acá -- mi colega, Kerry, en Kenia, salió con esta gran idea de usar estructuras fractales para direcciones de correo en aldeas que tienen estructura fractal porque si uno trata de imponer un sistema postal con estructura matricial en una aldea fractal, no se ajusta muy bien. Bernard Tschumi en la Universidad de Columbia ha terminado de usar esto en un diseño para un museo de arte africano. David Hughes en la Universidad Estatal de Ohio ha escrito un manual de arquitectura afrocéntrica en el que usa algunas de estas estructuras fractales.

Y finalmente, yo sólo quería apuntar que esta idea de auto-organización, como oímos más temprano, está en el cerebro. Está en -- está en el motor de búsqueda de Google. De hecho, la razón por la cual Google ha sido tan exitoso es porque fueron los primeros en tomar ventaja de las propiedades auto-organizativas de la red. Está en la sostenibilidad ecológica. Está en el poder del emprendimiento para el desarrollo, en el poder ético de la democracia. También está en algunas cosas malas. La auto-organización es la razón por la cual el SIDA se esparce tan rápido. Y si Uds. no creen que el capitalismo, que es auto-organizativo, puede tener efectos destructivos, es que no han abierto suficientemente los ojos. Así que debemos pensar sobre, como fue dicho antes, los métodos africanos tradicionales para hacer auto-organización. Estos son algoritmos robustos. Estas son maneras de hacer auto-organización -- de hacer emprendimiento -- que son delicadas, que son igualitarias. Así que si queremos encontrar una mejor manera de hacer ese tipo de trabajo, no necesitamos buscar más allá de África para encontrar estos robustos algoritmos auto-organizativos. Gracias.