Ο Ρόν Έγκλας για τα Αφρικανικά Φράκταλ

Θέλω να ξεκινήσω την ιστορία μου στην Γερμανία, το 1877, με έναν μαθηματικό ονόματι Γκέοργκ Καντόρ. Ο Καντόρ αποφάσισε να πάρει μια γραμμή και να διαγράψει το μεσαίο τρίτο της γραμμής, και να πάρει τις δύο γραμμές που προκύπτουν και να τις επιφέρει στην ίδια διαδικασία, μια επαναληπτική διαδικασία. Αρχίζει λοιπόν με μία γραμμή, έπειτα δύο, μετά τέσσερις και μετά 16, και πάει λέγοντας. Και αν το κάνει αυτό άπειρες φορές, πράγμα που επιτρέπεται στα μαθηματικά, καταλήγει με έναν άπειρο αριθμό από γραμμές, η καθεμμία από τις οποίες περιέχει έναν άπειρο αριθμό σημείων. Συνειδητοποίησε λοιπόν ότι είχε ένα σύνολο του οποίου ο αριθμός των στοιχείων ήταν μεγαλύτερος από το άπειρο. Και αυτό του πήρε το μυαλό. Κυριολεκτικά. Μπήκε στο φρενοκομείο. (Γέλια) Και όταν βγήκε από το φρενοκομείο, ήταν πεπεισμένος πως ο σκοπός του στην Γή ήταν να ανακαλύψει την υπερπεπερασμένη θεωρία συνόλων, επειδή το μεγαλύτερο σύνολο απείρου θα ήταν ο ίδιος ο Θεός. Ήταν ένας πολύ θρήσκος άνθρωπος. Ήταν ένας μαθηματικός σε μία αποστολή.

Και άλλοι μαθηματικοί κάναν τα ίδια περίπου πράγματα. Ένας Σουηδός μαθηματικός,ο φον Κόχ, αποφάσισε ότι αντί να αφαιρεί γραμμές, θα τις προσέθετε. Κατέληξε επομένως σε αυτήν την όμορφη καμπύλη. Και δεν υπάρχει συγκεκριμένος λόγος γιατί να ξεκινήσουμε με αυτό το αρχικό σχήμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε αρχικό σχήμα επιθυμούμε. Θα αλλάξω αυτό και θα τοποθετήσω αυτό κάπου -- εκεί κάτω, ΟΚ -- και τώρα μετά από επανάληψη, αυτό το αρχικό σχήμα αναπτύσεται σε μια τελείως διαφορετική δομή. Όλα αυτά λοιπόν παρουσιάζουν την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας: το μέρος μοιάζει με το όλο. Είναι το ίδιο σχέδιο σε πολλές διαφορετικές κλίμακες.

Οι μαθηματικοί τώρα σκέφτηκαν ότι αυτό ήταν πολύ περίεργο, επείδη όσο μικραίνεις έναν χάρακα, μετράς μεγαλύτερες και μεγαλύτερες αποστάσεις. Και επειδή η επανάληψη γινόταν άπειρες φορές, ενώ ο χάρακας μικράινει επ'άπειρον, η απόσταση τείνει στο άπειρο. Αυτό δεν έβγαζε καθόλου νόημα, οπότε τοποθέτησαν αυτές τις καμπύλες στο πίσω μέρος των βιβλίων μαθηματικών. Είπαν, αυτές είναι παθολογικές καμπύλες, και δεν χρειάζεται να τις συζητήσουμε. (Γέλια) Αυτό λειτούργησε για εκατό χρόνια.

Και έπειτα το 1977, ο Μπενουά Μάντελμπροτ, ένας Γάλλος μαθηματικός, συνειδητοποίησε πως αν κάνεις γραφικά με υπολογιστή και χρησιμοποιήσεις αυτά τα σχήματα που ονόμασε Φράκταλς προκύπτουν σχήματα της φύσης. Προκύπτουν οι ανθρώπινοι πνεύμονες, δέντρα ακακίας, φτέρες, προκύπτουν αυτές οι πανέμορφες φυσικές μορφές. Αν πάρετε τον αντίχειρα και τον δείκτη και κοιτάξετε εκεί που συναντιούνται -- κάντε το αυτή την στιγμή -- -- και χαλαρώσετε το χέρι σας, θα δείτε μια ζάρα, και μετα μια ρυτίδα μέσα στην ζάρα, και μια ζάρα μέσα στην ρυτίδα. Σωστα; Το σώμα σας είναι γεμάτο φράκταλς. Οι μαθηματικοί που έλεγαν ότι αυτές ήταν παθολογικά άχρηστα σχήματα; Αυτοί ανέπνεαν αυτά τα λόγια με φράκταλ πνεύμονες. Είναι μεγάλη ειρωνία. Και θα σας δείξω μια μικρή φυσική επανάληψη εδώ. Ξανά, απλά παίρνουμε αυτές τις γραμμές και τις αντικαθιστούμε επαναληπτικά με ολόκληρο το σχήμα. Εδώ είναι λοιπόν η δεύτερη επανάληψη, η τρίτη, η τέταρτη κ.ο.κ.

Η φύση λοιπόν έχει αυτήν την δομή αυτο-ομοιότητας. Η φύση χρησιμοποιεί αυτό-οργανωτικά συστήματα. Την δεκαετία του 80, πρόσεξα πως αν κοιτάξεις μια εναέρια φωτογραφία ενός Αφρικανικού χωριού, βλέπεις φράκταλς, Και σκέφτηκα, "Αυτό είναι φανταστικό! Αναρωτιέμαι γιατι;" Και φυσικά έπρεπε να πάω στην Αφρική και να ρωτήσω τον κόσμο γιατί. Έλαβα λοιπόν μια υποτροφία Φούλμπράιτ για να γυρίσω την Αφρική για έναν χρόνο ρωτώντας ανθρώπους γιατί έχτιζαν φράκταλς, που είναι μια φανταστική δουλειά αν μπορείς να την βρείς. (Γέλια)

Έφτασα λοιπόν τελικά σε μια πόλη, και έκανα ένα μικρό φράκταλ μοντέλο της πόλης απλά για να δώ πως θα βγεί περίπου -- όταν έφτασα όμως εκεί, πήγα στο παλάτι του αρχηγού, και τα Γαλλικά μου δεν είναι πολύ καλά, είπα κάτι σαν, "Είμαι μαθηματικός και θα ήθελα να σταθώ στην οροφή σας." Αλλά ήταν πολύ εντάξει με αυτό, με ανέβασε εκεί πάνω, και συζητήσαμε για φράκταλς. Και είπε, "Ω ναι, ναι! Γνωρίζαμε για το παραλληλόγραμμο μέσα σε ένα παραλληλόγραμμο, τα ξέρουμε όλα αυτά." Προκύπτει ότι το βασιλικό έμβλημα περιέχει ένα παραλληλόγραμμο μέσα σε ένα παραλληλόγραμμο μέσαν σε ένα παραλληλόγραμμο, και το μονοπάτι μέσα από το παλάτι είναι αυτή η σπείρα εδώ. Και όσο προχωράς στο μονοπάτι, πρέπει να γίνεις όλο και πιο ευγενικός. Αντιστοιχούν λοιπόν την κοινωνική κλίμακα επάνω στην γεωμετρική κλίμακα, Είναι ένα συνειδητό πρότυπο, Δεν είναι ασυνείδητο όπως το φράκταλ ενός αναχώματος τερμιτών.

Αυτό είναι ένα χωριό στην Νότια Ζάμπια. Οι Μπαί-λά έχτισαν αυτό το χωριό με διάμετρο 400 περίπου μέτρα. Έχεις έναν τεράστιο δαχτύλιο. Οι δαχτύλιοι που αναπαριστούν τα οικήματα των οικογενειών γίνονται όλο και μεγαλύτερα όσο πηγαίνεις προς τα πίσω, και μετά έχεις τον δαχτύλιο του αρχηγού προς τα πίσω και η άμεση οικογένεια του αρχηγού μέσα σ'αυτόν τον δαχτύλιο. Εδώ είναι λοιπόν ένα μικρό μοντέλο φράκταλ για αυτό. Εδώ είναι ένα σπίτι με τον ιερό βωμό, εδώ είναι το σπίτι από σπίτια, το οικογενειακό οίκημα, με τους ανθρώπους εκεί που θα βρισκόταν ο ιερός βωμός, και εδώ είναι το χωριό ολόκληρο -- ένας δαχτύλιος απο δαχτύλιους από δαχτύλιους με την επεκταμένη οικογένεια του αρχηγού εδώ, την άμεση οικογένεια εδώ, και εδώ υπάρχει ένα μικροσκοπικό χωριό τόσο μεγάλο. Μπορεί να αναρωτιέστε, πως χωράνε οι άνθρωποι σε ένα τόσο μικροσκοπικό χωριό; Αυτό γίνεται επειδή είναι πνεύματα. Είναι οι πρόγονοι. Και φυσικά τα πνεύματα έχουν ένα μικροσκοπικό χωριό μέσα στο δικό τους, σωστά; Είναι λοιπόν όπως έλεγε ο Γκέοργκ Καντόρ, η επανάληψη συνεχίζεται για πάντα.

Αυτά είναι τα βουνά Μαντάρα, κοντά στα Νιγηριανά σύνορα με το Καμερούν, Μούκουλεκ, Είδα αυτό το διάγραμμα που το είχε σχεδιάσει ένας Γάλλος αρχιτέκτονας, και σκέφτηκα, "Ουάου! Τι πανέμορφο φράκταλ!" Δοκίμασα λοιπόν να δημιουργήσω ένα αρχικό σχήμα, το οποίο μετά από επανάληψη θα ξεδιπλωνόταν σε αυτό εδώ το πράγμα. Κατέληξα σε αυτή την δομή εδώ πέρα. Ας δούμε, πρώτη επανάληψη, δεύτερη, τρίτη, τέταρτη. Αφού έκανα την προσομείωση, συνειδητοποίησα ότι ολόκληρο το χωριό ακολουθεί μια σπείρα, περίπου έτσι, και εδώ είναι η αναπαραγόμενη γραμμή -- μια αυτό-αναπαραγόμενη γραμμή που ξεδιπλώνεται σε ένα φράκταλ. Πρόσεξα λοιπόν ότι αυτή η γραμμή βρίσκεται εκεί όπου είναι το μοναδικό τετράγωνο κτίσμα στο χωριό. Όταν έφτασα λοιπόν στο χωριό, είπα, "Μπορείτε να με οδηγήσετε στο τετράγωνο κτίσμα; Νομίζω κάτι συμβαίνει εκεί πέρα." Και εκείνοι απάντησαν, "Μπορούμε να σε οδηγήσουμε, αλλά δεν μπορείς να μπεις μέσα επειδή αυτός είναι ο ιερός βωμός, όπου κάνουμε τις θυσίες μας κάθε χρόνο για να διατηρήσουμε τους ετήσιους κύκλους γονιμότητας για τα χωράφια." Και άρχισα να συνειδητοποιώ ότι οι κύκλοι γονιμότητας ήταν περίπου σαν τους επαναληπτικούς κύκλους στον γεωμετρικό αλγόριθμο που το κατασκεύασε. Και η επανάληψη σε κάποια από αυτά τα χωριά συνεχίζεται σε πολύ μικρές κλίμακες.

Εδώ είναι λοιπόν το χωριό Νανκάνι στο Μάλι. Και βλέπετε, μπαίνετε μέσα στο οικογενειακό συγκρότημα -- μπαίνετε μέσα και εδώ είναι κεραμικά στο τζάκι, στοιβαγμένα αναδρομικά. Εδώ είναι κολοκύνθες που μόλις μας έδειχνε η Ίσσα, και είναι στοιβαγμένα αναδρομικά. Η μικρότερη κολοκύνθη εδώ πέρα περιέχει την ψυχή της γυναίκας. Και όταν πεθαίνει, έχουν μια τελετουργία όπου σπάνε αυτή την στοίβα που ονομάζεται ζαλάνγκα και η ψυχή της φεύγει προς την αιωνιότητα. Για ακόμη μια φορά, το άπειρο είναι σημαντικό.

Μπορεί τώρα, να κάνετε στον εαυτό σας τρείς ερωτήσεις. Αυτά τα κλιμακωτά σχέδια δεν είναι καθολικά σε όλες τις αυτόχθονες αρχιτεκτονικές; Και αυτή ήταν η αρχική μου υπόθεση. Όταν πρωτοείδα αυτά τα Αφρικανικά φράκταλς, σκέφτηκα, "Ουάου, κάθε αυτόχθονη ομάδα που δεν έχει μια κρατική κοινωνία, αυτού του είδους η ιεραρχία, πρέπει να έχει κάποιου είδους από τα κάτω προς τα άνω αρχιτεκτονική." Αλλά αυτό προκύπτει ότι δεν είναι αλήθεια.

Άρχισα να μαζεύω εναέριες φωτογραφίες αρχιτεκτονικής Ιθαγενών Αμερικανών και Νότιου Ειρηνικού μόνο οι Αφρικανικές ήταν φράκταλ. Και αν το σκεφτείτε, όλες αυτές οι διαφορετικές κοινωνίες έχουν διαφορετικά γεωμετρικά σχεδιαστικά θέματα που χρησιμοποιούν. Οι Ιθαγενείς Αμερικάνοι χρησιμοποιούν έναν συνδυασμό από κυκλική γεωμετρία και τετραπλής συμμετρίας. Μπορείτε να δείτε πάνω στα κεραμικά και τα καλάθια. Εδώ είναι μια εναέρια φωτογραφία από ερείπια των Ανασάζι μπορείτε να δείτε ότι είναι κυκλικό στην μεγαλύτερη κλίμακα, αλλά ορθογώνιο στην μικρότερη κλίμακα, σωστά; Δεν είναι το ίδιο σχέδιο σε δύο διαφορετικές κλίμακες.

Δεύτερον μπορεί να ρωτήσετε, "Λοιπόν, Δρ Έγκλας, δεν αγνοείτε την ποικιλότητα των Αφρικανικών πολιτισμών;" Και τρείς φορές, η απάντηση είναι όχι. Πρώτα απ' όλα, συμφωνώ με το θαυμάσιο βιβλίο του Μουντίμπε, "Η εφεύρεση της Αφρικής," ότι η Αφρική είναι μια τεχνητή εφεύρεση πρώτα του αποικισμού, και έπειτα αντιτιθέμενων κινημάτων. Όχι, επειδή μια ευρέως διαδεδομένη σχεδιαστική πρακτική δεν συνεπάγεται απαραίτητα ενιαίο πολιτισμό -- και σίγουρα δεν είναι στο DNA. Και τέλος, τα φράκταλς έχουν αυτό-ομοιότητα -- είναι όμοια με τον εαυτό τους, αλλά όχι απαραίτητα το ένα με το άλλο -- βλέπετε πολλές διαφορετικές εφαρμογές των φράκταλς. Είναι μια διαδεδομένη τεχνολογία στην Αφρική.

Και τέλος, αυτό δεν είναι απλά διαίσθηση; Δεν είναι στην πραγματικότητα μαθηματική γνώση. Οι Αφρικανοί δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιούν στα αλήθεια φράκταλ γεωμετρία, σωστά; Δεν είχε ανακαλυφθεί, παρά μόνο την δεκαετία του 70. Λοιπόν, είναι αλήθεια ότι ορισμένα Αφρικανικά φράκταλ είναι απ' όσο γνωρίζω απλή διαίσθηση. Κάποια απ' αυτά τα πράγματα, τριγυρνούσα στους δρόμους του Ντακάρ ρωτώντας κόσμο, "Ποιός είναι ο αλγόριθμος; Ποίος είναι ο κανόνας για να κατασκευάσεις αυτό;" και εκείνοι λέγαν, "Λοιπόν, απλά το φτιάχνουμε έτσι επειδή φαίνεται ωραίο, χαζέ." (Γέλια) Μερικές φορές όμως, δεν έχουν έτσι τα πράγματα. Σε μερικές περιπτώσεις, υπήρχαν αλγόριθμοι, και πολύ εκλεπτυσμένοι αλγόριθμοι. Στην γλυπτική των Μανγκουέτου λοιπόν, θα βλέπατε αυτή την επαναληπτική γεωμετρία. Σε Εθιοπιανούς σταυρούς, βλέπετε ότι ξεδιπλώνετε αυτό το υπέροχο σχήμα.

Στην Ανγκόλα, οι Τσόκγουι σχεδιάζουν γραμμές στην άμμο, και είναι αυτό που ο Γερμανός μαθηματικός Όιλερ αποκαλούσε γραφική τώρα το αποκαλούμε διαδρομή Όιλερ -- δεν μπορείτε να σηκώσετε τον στυλό σας από την επιφάνεια και δεν μπορείτε να περάσετε πάνω από την ίδια γραμμή δύο φορές. Το κάνουν όμως επαναληπτικά, και το κάνουν με ένα ηλικιακό σύστημα, τα μικρά παιδιά λοιπόν μαθαίνουν αυτό, και τα μεγαλύτερα παιδιά εκείνο, η επόμενη ηλικιακή ομάδα, μαθαίνει αυτό. Και με κάθε επανάληψη του αλγορίθμου, μαθαίνεις τις επαναλήψεις του μύθου. Μαθαίνεις το επόμενο επίπεδο γνώσης.

Και τέλος, παντού στην Αφρική, βλέπεις αυτό το επιτραπέζιο παιχνίδι. Ονομάζεται Ογουάρι στην Γκάνα, όπου το μελέτησα Μανκάλα εδώ στην ανατολική ακτή, Μπάο στην Κένυα, Σόγκο αλλού. Λοιπόν, βλέπετε αυτό-οργανωτικά σχέδια που εμφανίζονται αυθόρμητα σ'αυτό το επιτραπέζιο παιχνίδι. Και οι άνθρωποι στην Γκάνα γνώριζαν για αυτά τα αυτό-οργανωτικά σχέδια και τα χρησιμοποιούσαν στρατηγικά. Αυτή είναι λοιπόν πολύ συνειδητή γνώση.

Εδώ είναι ένα θαυμάσιο φράκταλ. Οπουδήποτε και αν πας στο Σαχέλ, θα δείς αυτό το πέτασμα για τον άνεμο. Και φυσικά οι φράχτες ανά τον κόσμο είναι όλοι Καρτεσιανοί, όλοι αυστηρώς γραμμικοί. Αλλά εδώ στην Αφρική, έχεις αυτούς τους μη γραμμικούς κλιμακωτούς φράχτες. Εντόπισα λοιπόν έναν από τους ανθρώπους που φτιάχνει αυτά τα πράγματα, έναν τύπο στο Μάλι λίγο έξω από το Μπάμακο, και τον ρώτησα, "Πώς και φτιάχνεις φράκταλ φράχτες; Επειδή κανείς άλλος δεν το κάνει." Και η απάντηση του ήταν πολύ ενδιαφέρουσα. Είπε, "Αν ζούσα στην ζούγκλα, θα χρησιμοποιούσα μόνο μακριές σειρές από άχυρα, επειδή είναι πολύ γρήγορα, και είναι πολύ φτηνά. Δεν παίρνει πολύ χρόνο, δεν χρειάζεται πολύ άχυρο." Είπε, "Αλλά ο άνεμος και η σκόνη το διαπερνάνε πολύ εύκολα. Οι σφιχτές σειρές τώρα που βρίσκονται πάνω, κρατάνε απ'έξω τον άνεμο και την σκόνη. Αλλά παίρνει πολύ χρόνο, και πολύ άχυρο, επειδή είναι πολύ σφιχτά." "Τώρα," είπε, "γνωρίζουμε απο εμπειρία ότι όσο πιο ψηλά βρίσκεσαι, τόσο πιο δυνατα φυσάει ο άνεμος." Σωστα; Είναι σαν μια ανάλυση κόστους οφέλους. Και μέτρησα τα μήκη των αχύρων, τα έβαλα σε ένα λογαριθμικό διάγραμμα, έλαβα τον εκθέτη διακλιμάκωσης, και είναι σχεδόν ο ίδιος με τον εκθέτη διακλιμάκωσης για την σχέση μεταξύ ταχύτητας ανέμου και ύψους στο εγχειρίδιο μηχανικής ανέμου. Αυτοί οι τύποι λοιπόν βρήκαν ακριβώς μια πρακτική χρηση της τεχνολογίας διακλιμάκωσης.

Το πιο πολύπλοκο παράδειγμα αλγοριθμικής προσέγγισης σε φράκταλς το οποίο βρήκα δεν βρισκόταν στην γεωμετρία, ήταν ένας συμβολικός κώδικας, και αυτό ήταν Μπάμανα μαντεία άμμου. Και το ίδιο σύστημα μαντείας εντοπίζεται σε όλη την Αφρική. Μπορείτε να το βρείτε στην Ανατολική Ακτή όσο στην Δυτική Ακτή, και συχνα τα σύμβολα διατηρούνται, το καθένα από αυτά τα σύμβολα έχει τέσσερα μπίτ -- είναι μια δυαδική λέξη με τέσσερα μπίτ -- σχεδιάζεις αυτές τις γραμμές στην άμμο τυχαία, και μετά μετράς, και αν είναι μονός αριθμός, χαράζεις μια φορά, και αν είναι ζυγός αριθμός, χαράζεις δύο φορές. Και το έκαναν αυτό πολύ γρήγορα, και δεν μπορούσα να καταλάβω από που έβρισκαν -- το έκαναν τυχαία μονάχα τεσσερις φορές -- δεν μπορούσα να καταλάβω από που έβρισκαν τα υπόλοιπα 12 σύμβολα. Και δεν μου έλεγαν. Λέγανε, "Όχι, όχι, δεν μπορώ να σου πώ για αυτό." Και είπα, "Κοιτάχτε, θα σε πληρώσω, μπορείς να γίνεις ο δάσκαλός μου, και θα 'ρχομαι κάθε μέρα και θα σε πληρώνω." Είπαν, "Δεν είναι θέμα χρημάτων. Αυτό είναι ένα θρησκευτικό θέμα."

Και τέλος, από απόγνωση, είπα, "Λοιπόν, αφήστε με να σας εξηγήσω για τον Γκέοργκ Καντόρ το 1877." Και άρχισα να εξηγώ γιατί ήμουν στην Αφρική, και άρχισαν να ενθουσιάζονται όταν είδαν το σύνολο Καντόρ. Και ένας από αυτόυς είπε, "Έλα εδώ, νομίζω ότι μπορώ να σε βοηθήσω." Μου έδειξε λοιπόν την διαδικασία έναρξης μιας τελετής ενός Μπάμανα ιερέα. Και φυσικά, ενδιαφερόμουν μόνο για τα μαθηματικά, όλη την ώρα λοιπόν, κουνούσε το κεφάλι του λέγοντας, "Ξέρεις, εγώ δεν το έμαθα με αυτόν τον τρόπο." Αλλά έπρεπε να κοιμάμαι με ένα καρύδι κόλα δίπλα στο κρεβάτι μου, θαμένο στην άμμο, και να δώσω επτά νομίσματα σε επτά λεπρούς και ούτω καθεξής. Και επιτέλους, αποκάλυψε την αλήθεια του θέματος. Και προκύπτει ότι είναι μια ψεύδο-τυχαία γεννήτρια αριθμών που χρησιμοποιεί ντετερμινιστικό χάος. Όταν έχεις ένα τετρά-μπιτο σύμβολο, το τοποθετείς στην συνέχεια δίπλα σε ένα άλλο. Έτσι ζυγός και μονός δίνει μονό. Μονός και ζυγός δίνει μονό. Ζυγός και ζυγός δίνει ζυγό. Μονός και μονός δίνει ζυγό. Έιναι modulo 2 πρόσθεση, ακριβώς όπως στον έλεγχο ισοτιμίας μπίτ στον υπολογιστή. Και μετά παίρνεις αυτό το σύμβολο, και το βάζεις πάλι πίσω είναι λοιπόν μία αυτο-παραγώμενη ποικιλομορφία συμβόλων. Χρησιμοποιούν πραγματικά ένα είδος ντετερμινιστικού χάους όταν το κάνουν αυτό. Τώρα, επειδή είναι δυαδικός κώδικας, μπορείς να το εφαρμόσεις σε υπολογιστές -- τι φανταστικό εργαλείο μάθησης θα ήταν για Αφρικανικές μηχανικές σχολές.

Και το πιο ενδιαφέρον που έμαθα για αυτό ήταν ιστορικό. Τον 12ο αιώνα, ο Χιούγκο της Σάνταλλια το έφερε από Ισλαμιστές μυστικιστές στην Ισπανία. Και εκεί εισήλθε στην αλχημική κοινότητα ως γεωμαντία: μαντεία μέσω της γής. Αυτό είναι ένα γεωμαντικό διάγραμμα σχεδιασμένο για τον βασιλιά Ριχάρδο II το 1390. Ο Λάιμπνιτζ,ο Γερμανός μαθηματικός, αναφέρθηκε στην γεωμαντία στην διατριβή του με τίτλο "Μέθοδος της γεωμετρικής ερεύνης." Και είπε, "Αντίν να χρησιμοποιούμε μία γραμμή και δύο γραμμές, ας χρησιμοποιήσουμε ένα και μηδέν, και μπορούμε να μετράμε με δυνάμεις του δύο." Σωστά; Μηδέν και ένα, ο δυαδικός κώδικας. Ο Τζώρτζ Μπούλ πήρε των δυαδικό κώδικα του Λάιμπνιτζ και δημιούργησε την άλγεβρα Μπούλ, και ο Τζον φον Νόιμαν πήρε την άλγεβρα Μπούλ και δημιούργησε τον ψηφιακό υπολογιστή. Όλα αυτά λοιπόν τα PDA και τα λάπτοπ -- κάθε ψηφιακό κύκλωμα στον κόσμο -- άρχισε στην Αφρική. Και γνωρίζω ο Μπράιαν Ένο λέει ότι δεν υπάρχει αρκετή Αφρική στους υπολογιστές, ξέρετε, νομίζω ότι δεν υπάρχει αρκετή Αφρικανική ιστορία στον Μπράιαν Ένο. (Χειροκρότημα)

Αφήστε με να τελειώσω με λίγα λόγια για κάποιες εφαρμογές που βρήκαμε για αυτό. Και μπορείτε να πάτε στην ιστοσελίδα μας, οι εφαρμογές είναι όλες δωρεάν, τρέχουν απλά στον περιηγητή. Οποιοσδήποτε στον κόσμο μπορεί να τα χρησιμοποιήσει. Το πρόγραμμα National Science Foundation's Broadening Participation in Computing μας απένειμε πρόσφατα μια χορηγία για να φτιάξουμε μία προγραμματιζόμενη εκδοχή αυτών των εργαλείων, έτσι σε τρία χρόνια, ο καθένας θα μπορεί να μπεί στο διαδίκτυο και να φτιάξει την δικιά του προσομείωση και το δικό του τεχνούργημα. Επικεντρωθήκαμε στις Η.Π.Α. , πάνω σε Αφρικάνο-Αμερικανούς φοιτητές όπως επίσης και σε Αυτόχθονες Αμερικανούς και Λατίνους. Βρήκαμε στατιστικά σημαντική βελτίωση με παιδιά που χρησιμοποιούσαν αυτό το λογισμικό σε μια τάξη μαθηματικών σε σχέση με μία ομάδα ελέγχου που δεν είχε αυτό το λογισμικό. Είναι λοιπόν πολύ πετυχημένο να διδάσκεις σε παιδιά ότι έχουν μια κληρονομιά που αφορά τα μαθηματικά, ότι δεν πρόκειται μόνο για τραγούδια και χορούς. Ξεκινήσαμε ένα πιλοτικό πρόγραμμα στην Γκάνα, λάβαμε μια αρχική υποτροφία, για να δούμε αν ο κόσμος ήταν διατεθειμένος να δουλέψει με μας πάνω σε αυτό, είμαστε πολύ ενθουσιασμενοι για τις μελλοντικές δυνατότητες.

Δουλέψαμε επίσης πάνω στον σχεδιασμό. Δεν έβαλα το όνομά του εδώ -- ο συνάδελφος μου, ο Κέρυ, στην Κένυα, σκέφτηκε αυτήν την σπουδαία ιδέα για χρήση φράκταλ δομών για ταχυδρομικές διευθύνσεις σε χωριά που έχουν φράκταλ δομή, επειδή αν προσπαθήσεις να επιβάλεις ένα πλεγματικό ταχυδρομικό σύστημα σε ένα φράκταλ χωριό, δεν χωράει ακριβώς. Ο Μπέρναρντ Τσούμι στο Πανεπιστήμιο του Κολούμπια το χρησιμοποίησε σε ένα σχέδιο για ένα μουσείο Αφρικανικής τέχνης O Ντέιβιντ Χιούς στο Πανεπιστήμιο του Οχάιο έχει γράψει ένα αλφαβητάρι πάνω στην Αφροκεντρική αρχιτεκτονική στο οποίο έχει χρησιμοποιήσει κάποιες από αυτές τις φράκταλ δομές.

Και τέλος, ήθελα απλά να τονίσω ότι αυτή η ιδέα της αυτό-οργάνωσης, όπως ακούσαμε νωρίτερα, είναι στον εγκέφαλο. Είναι μέσα -- είναι στην μηχανή αναζήτησης της Google. Στην πραγματικότητα, ο λόγος που η Google ήταν τέτοια επιτυχία είναι επειδή ήταν οι πρώτοι που εκμεταλεύτηκαν τις αυτ'ο-οργανωτικές ιδιότητες του διαδικτύου. Είναι στη οικολογική αειφορία. Είναι στην αναπτυξιακή δύναμη της επιχειρηματικότητας, της ηθικής δύναμης της δημοκρατίας. Είναι επίσης σε μερικά άσχημα πράγματα. Η αυτό-οργάνωση είναι που ο ιός του AIDS διαδίδεται τόσο γρήγορα. Και αν δεν νομίζετε ότι ο καπιταλισμός, που είναι αυτό-οργανωτικός, έχει καταστροφικές συνέπειες, δεν έχετε ανοίξει τα μάτια σας αρκετά. Πρέπει να σκεφτούμε λοιπόν, όπως ειπώθηκε νωρίτερα, τις παραδοσιακές Αφρικανικές μεθόδους για αυτό-οργάνωση. Αυτοί είναι εύρωστοι αλγόριθμοι. Αυτοί είναι τρόποι αυτοοργάνωσης -- για επιχειρηματικότητα -- που είναι ευγενείς, που είναι ισότιμοι. Αν θέλουμε λοιπόν να βρούμε έναν καλύτερο τρόπο να κάνουμε αυτού του είδους την δουλειά, δεν χρειάζεται να κοιτάξουμε μακρύτερα από την Αφρική για να βρούμε αυτους τους εύρωστους αυτό-οργανωμ'ενους αλγόριθμους. Σας ευχαριστώ.