Νταν Μέγιερ: Το μάθημα των μαθηματικών χρειάζεται αλλαγή

Μπορώ να σας ζητήσω να θυμηθείτε μια φορά που πραγματικά αγαπούσατε κάτι, μία ταινία, ένα άλμπουμ, ένα τραγούδι ή ένα βιβλίο, και το προτείνατε ολόψυχα σε κάποιον που συμπαθούσατε, και αναμένατε με αγωνία την ίδια αντίδραση, την περιμένατε, και ήρθε, αλλά το άτομο αυτό, το μίσησε. Όπως και στην εισαγωγή, αυτή είναι ακριβώς η ίδια κατάσταση η οποία περνάω κάθε μέρα που δουλεύω εδώ και έξι χρόνια. Διδάσκω σχολικά μαθηματικά. Πουλάω ένα προϊόν σε μια αγορά που δεν το θέλει, αλλά είναι υποχρεωμένο από το νόμο να το αγοράσει. Είναι πραγματικά μια αποτυχημένη πρόταση.

Υπάρχει ένα χρήσιμο στερεότυπο σχετικά με τους μαθητές που βλέπω, ένα χρήσιμο στερεότυπο για όλους εσάς. Θα μπορούσα να σας δώσω εξετάσεις τύπου Άλγεβρα ΙΙ, και δεν θα περίμενα περισσότερο από ένα 25 τοις εκατό ποσοστό επιτυχίας. Και τα δύο γεγονότα λένε λιγότερα είτε για σας είτε για τους μαθητές μου παρά για αυτό που ονομάζουμε μαθηματική παιδεία στις ΗΠΑ σήμερα.

Ξεκινώντας, θα ήθελα να χωρίσω τα μαθηματικά σε δύο κατηγορίες. Η μία είναι η Υπολογιστική. Αυτά είναι τα πράγματα που ξεχάσατε. Για παράδειγμα, παραγοντοποιήσεις τετραγωνικών ριζών με μεγαλύτερους από έναν αρχικούς συντελεστές. Αυτό επίσης είναι πολύ εύκολο στο να ξαναμαθευτεί, δεδομένου ότι έχετε δυνατό υπόβαθρο στην λογική, μαθηματική λογική. Θα το ονομάσουμε εφαρμογή των μαθηματικών διεργασιών στον κόσμο γύρω μας. Αυτό είναι δύσκολο να διδαχθεί. Αυτό είναι που θα μας άρεσε να διατηρήσουν οι μαθητές, ακόμα και αν δεν καταλήγουν σε μαθηματικά πεδία. Αυτό είναι επίσης κάτι, που με τον τρόπο που το διδάσκουμε στις ΗΠΑ που το μόνο που εξασφαλίζει είναι ότι δεν το διατηρούν. Θα μιλήσω λοιπόν για τον λόγο που συμβαίνει αυτό, γιατί είναι τέτοια συμφορά για την κοινωνία, τι μπορούμε να κάνουμε γι'αυτό, και, κλείνοντας, γιατί αυτή είναι μια συναρπαστική εποχή για να είσαι καθηγητής μαθηματικών.

Αρχικά λοιπόν, πέντε συμπτώματα που δείχνουν ότι διδάσκετε λάθος την μαθηματική λογική στην τάξη σας. Ένα είναι η έλλειψη πρωτοβουλίας· οι μαθητές σας δεν παίρνουν τον λόγο πρώτοι. Τελειώνετε το κομμάτι της διάλεξής σας και αμέσως έχετε πέντε χέρια σηκωμένα που ζητάνε να εξηγήσετε ξανά το ίδιο πράγμα στα θρανία τους. Οι μαθητές έχουν έλλειψη επιμονής. Είναι ξεχασιάρηδες· Βρίσκεστε στην θέση του να ξαναεξηγείτε έννοιες τρεις μήνες αργότερα, από την αρχή. Υπάρχει αποστροφή στα προβλήματα λέξεων, το οποίο περιγράφει το 99 τοις εκατό των μαθητών μου. Και το άλλο ένα τοις εκατό περιμένουν διακαώς για τον τύπο που χρειάζεται να εφαρμόσουν στην συγκεκριμένη περίπτωση. Αυτό είναι πραγματικά καταστροφικό.

Ο Ντέιβιντ Μιλτς, δημιουργός του "Ντεντγουντ" και άλλων φανταστικών τηλεοπτικών σόου, έχει μια πολύ καλή περιγραφή για αυτό. Ορκίστηκε να δημιουργεί σύγχρονο δράμα, σόου που λαμβάνουν χώρα στην σημερινή εποχή, επειδή πρόσεξε πως όταν οι άνθρωποι γεμίζουν το μυαλό τους τέσσερεις ώρες την ημέρα με, για παράδειγμα, "Two and a Half Men," με όλο τον σεβασμο, διαπλάθει τις νευρικές οδούς, είπε, με τέτοιο τρόπο που περιμένουν απλά προβλήματα. Το ονόμασε, "Ανυπομονησία με την αναποφασιστικότητα." Είστε ανυπόμονοι με πράγματα που δεν επιλύνονται γρήγορα. Περιμένετε κωμικού μεγέθους προβλήματα που ολοκληρώνονται σε 22 λεπτά, τρία διαλλείματα για διαφημίσεις και ένα καταγεγγραμένο γέλιο. Και θα σας το θέσω ως εξής, ό,τι γνωρίζετε ήδη, πως κανένα πρόβλημα άξιο επίλυσης δεν είναι τόσο απλό. Ανυσηχώ αρκετά με αυτό, επειδή θα συνταξιοδοτηθώ σε έναν κόσμο που θα διοικούν οι μαθητές μου. Κάνω άσχημα πράγματα στο μέλλον και την ευημέριά μου όταν διδάσκω με αυτό τον τρόπο. Είμαι εδώ για να σας πω πως ο τρόπος που τα εγχειρίδιά μας, και συγκεκριμένα, τα μαζικώς υιοθετημένα εγχειρίδια, διδάσκουν μαθηματική λογική και υπομονετική επίλυση προβλημάτων, είναι λειτουργικά παρόμοιο με το να ανοίξεις το "Two and a Half Men" και να αποσύρεσαι.

(Γέλια)

Σοβαρά τώρα, να ένα παράδειγμα από ένα εγχειρίδιο φυσικής. Εφαρμόζεται παρόμοια και στα μαθηματικά. Καταρχάς παρατηρήστε ότι εδώ έχετε ακριβώς τρία κομμάτια πληροφορίας, καθένα από τα οποία θα ενσωματωθεί σε έναν τύπο κάπου, τελικά, τον οποίο θα υπολογίσει ο μαθητής. Πιστεύω στην πραγματική ζωή. Και ρωτήστε τους εαυτούς σας, τι πρόβλημα έχετε λύσει, οποτεδήποτε, που άξιζε να λυθεί, όπου γνωρίζατε όλες τις παρεχόμενες πληροφορίες εκ των προτέρων, ή όπου δεν είχατε πλεόνασμα πληροφορίας και έπρεπε να το φιλτράρετε, ή όταν δεν είχατε αρκετές πληροφορίες και έπρεπε να ψάξετε να βρείτε. Είμαι σίγουρος πως όλοι συμφωνούμε ότι κανένα πρόβλημα άξιο επίλυσης δεν είναι έτσι. Και το εγχειρίδιο, νομίζω, γνωρίζει ότι αχρηστεύει τους μαθητές. Επειδή, προσέξτε αυτό, αυτό είναι το σέτ προβλημάτων εξάσκησης. Όταν έρχεται η ώρα να λυθεί το πραγματικό πρόβλημα, έχουμε προβλήματα όπως αυτό όπου απλώς αντικαθιστούμε αριθμούς και τροποποιούμε ελάχιστα το περιεχόμενο. Και αν ακόμα ο μαθητής δεν αναγνωρίζει το καλούπι από το οποίο παρήχθηκε, πρόθυμα εξηγεί σε ποιο δείγμα προβλήματος μπορεί να επιστρέψει για να βρεί τον τύπο. Θα μπορούσε κυριολεκτικά, και το εννοώ, να περάσει το συγκεκριμένο κομμάτι χωρίς να γνωρίζει καθόλου φυσική, απλώς γνωρίζοντας πως να αποκωδικοποιήσεί ένα εγχειρίδιο. Είναι κρίμα.

Μπορώ να διαγνώσω το πρόβλημα λίγο πιο συγκεκριμένα στα μαθηματικά. Να ένα πραγματικά ενδιαφέρον πρόβλημα. Μου αρέσει. Έχει να κάνει με το να ορίζεις την κλίση και το πόσο απότομη είναι χρησιμοποιώντας έναν ανελκυστήρα του σκι. Αλλά αυτό που έχετε εδώ είναι στην πραγματικότητα τέσσερα ξεχωριστά επίπεδα. Και είμαι περίεργος ποιοι από σας μπορούν να δουν τα τέσσερα ξεχωριστά επίπεδα, και, συγκεκριμένα, πως όταν είναι συμπιεσμένα μεταξύ τους και παρουσιάζονται στον μαθητή όλα μαζί, πως αυτό δημιουργεί την ανυπόμονη επίλυση του προβλήματος. Θα τα ορίσω εδώ πέρα. Έχετε την εικόνα. Επίσης έχετε την μαθηματική υποδομή, σχετικά με πλέγματα, μετρήσεις, ετικέτες, σημεία, άξονες, τέτοια πράγματα. Έχετε υποβήματα, που όλα οδηγούν σ'αυτό για το οποίο θέλουμε πραγματικά να μιλήσουμε, ποιος τομέας είναι ο πιο απότομος.

Ελπίζω να μπορείτε να δείτε. Πραγματικά ελπίζω να μπορείτε να δείτε πως, αυτό που κάνουμε εδώ είναι να παίρνουμε μια ενδιαφέρουσα ερώτηση, μια ενδιαφέρουσα απάντηση, αλλά χαράζουμε ένα λείο, ευθύ μονοπάτι από το ένα στο άλλο, και επικροτούμε τους μαθητές μας για το πόσο καλά μπορούν να ξεπεράσουν τα μικρά ρήγματα στον δρόμο. Μόνο αυτό κάνουμε εδώ. Θέλω να σας εγγυηθώ, αν μπορούμε να τα χωρίσουμε με διαφορετικό τρόπο και να τα συγκεντρώσουμε με τους μαθητές. μπορούμε να έχουμε οτιδήποτε ψάχνουμε από την άποψη της υπομονετικής επίλυσης προβλημάτων.

Ξεκινάω λοιπόν με μια εικόνα, και αμέσως κάνω την ερώτηση: Ποιο τμήμα είναι το πιο απότομο; Και αυτό ξεκινάει συζήτηση επειδή η εικόνα δημιουργείται με τέτοιο τρόπο που μπορείς να υπερασπιστείς δύο απαντήσεις. Βάζεις λοιπόν τους ανθρώπους να διαφωνούν μεταξύ τους, φίλος ενάντια σε φίλο, σε ζευγάρια, περιγραφικά, όπως νά 'ναι. Και τελικά συνειδητοποιούμε πως γίνεται ενοχλητικό το να μιλάς για τον σκιέρ στην κάτω αριστερή πλευρά της οθόνης ή για τον σκιέρ που βρίσκεται λίγο πιο πάνω από την μεσαία γραμμή. Και αντιλαμβανόμαστε πόσο υπέροχο θα ήταν αν είχαμε απλώς ετικέτες τύπου Α, Β, Γ και Δ για να μιλήσουμε γι'αυτές πιο εύκολα. Και μετά, ενώ ξεκινάμε να ορίζουμε τι σημαίνει το απότομο της κλίσης, αντιλαμβανόμαστε ότι θα ήταν ωραίο να είχαμε μερικές μετρήσεις για να το περιορίσουμε, συγκεκριμένα στο τι σημαίνει. Και τότε και μόνο τότε, παραδίδουμε την μαθηματική δομή. Τα μαθηματικά εξυπηρετούν την συζήτηση. Η συζήτηση δεν εξυπηρετεί τα μαθηματικά. Και σε αυτό το σημείο, σας εγγυώμαι ότι εννιά στις 10 τάξεις είναι έτοιμες σχετικά για το όλο πρόβλημα της κλίσης. Αλλά αν χρειάζεται, οι μαθητές σας τότε μπορούν να αναπτύξουν αυτά τα υποβήματα μαζί.

Παρατηρείτε πως αυτό εδώ, σε σύγκριση με αυτό -- ποιο δημιουργεί την υπομονετική επίλυση προβλημάτων, την μαθηματική λογική; Έγινε προφανές από την δικιά μου εμπειρία, σε μένα. Και θα δώσω τον λόγο για λίγο στον Άινστάιν, ο οποίος, πιστεύω, έκανε το κομμάτι του. Είπε πως ο σχηματισμός ενός προβλήματος είναι τόσο εκπληκτικά σημαντικός, και παρόλα αυτά στη δουλειά μου, εδώ στις Η.Π.Α., απλά δίνουμε τα προβλήματα στους μαθητές· δεν τους εμπλέκουμε στον σχηματισμό του προβλήματος.

Άρα 90 τοις εκατό αυτού που κάνω με τις πέντε ώρες προετοιμασίας την εβδομάδα είναι το να παίρνω αρκετά σημαντικά στοιχεία προβλημάτων όπως αυτό από το εγχειρίδιό μου και να τα ξαναφτιάχνω με τρόπο που να υποστηρίζουν μαθηματική λογική και υπομονετική επίλυση προβλημάτων. Και ορίστε πως δουλεύει. Μ'αρέσει αυτή η ερώτηση. Έχει να κάνει με μια δεξαμενή νερού. Η ερώτηση είναι: Πόση ώρα θα πάρει για να το γεμίσεις; OK; Αρχικά, απαλείφουμε όλα τα υποβήματα. Οι μαθητές πρέπει να τα αναπτύξουν μόνοι τους. Αυτοί πρέπει να τα σχηματίσουν. Και μετά παρατηρήστε ότι όλες οι πληροφορίες που είναι γραμμένες εκεί είναι πράγματα που θα χρειαστείτε. Κανένα από αυτά δεν είναι παραπλανητικό, άρα το χάνουμε αυτό. Οι μαθητές πρέπει να αποφασίσουν, ωραία, λοιπόν, μετράει το ύψος; Μετράει το μέγεθός του; Παίζει ρόλο το χρώμα της βαλβίδας; Τι παίζει ρόλο εδώ; Τόσο υποεκπροσωπούμενη ερώτηση στην διδακτέα ύλη μαθηματικών. Άρα τώρα διαθέτουμε μια δεξαμενή νερού. Πόση ώρα θα σου πάρει να την γεμίσεις, και τέλος.

Και επειδή αυτός είναι ο 21ος αιώνας, και θα μας άρεσε να μιλάμε για τον πραγματικό κόσμο με τους δικούς του όρους, όχι με όρους γραμμικού σχεδίου ή προσχέδια που βλέπετε συχνά σε εγχειρίδια, πηγαίνουμε έξω και το βγάζουμε φωτογραφία. Τώρα λοιπόν διαθέτουμε το πραγματικό στοιχείο. Πόση ώρα θα σου πάρει να το γεμίσεις; Και, ακόμα καλύτερο είναι το να τραβήξουμε βίντεο, ένα βίντεο κάποιου που να το γεμίζει. Και γεμίζει αργά, βασανιστικά αργά. Είναι κουραστικό. Οι μαθητές κοιτάνε τα ρολόγια τους, ανοιγοκλείνουν τα μάτια τους, και όλοι αναρωτιούνται αργά η γρήγορα, "Ρε, πόση ώρα θα πάρει για να γεμίσει;" (Γέλια) Έτσι ξέρεις ότι έπιασε το δόλωμα.

Και αυτή η ερώτηση ακριβώς εδώ, έχει πολύ πλάκα κατ εμέ, επειδή, όπως και στην εισαγωγή, διδάσκω στα παιδιά, εξαιτίας της απειρίας μου, διδάσκω στα παιδιά που είναι τα πίο θεραπεύσιμα (εύκολο να βελτιωθούν). Και έχω παιδιά που δεν θα πάρουν μέρος σε μια συζήτηση για τα μαθηματικά επειδή κάποιος άλλος γνωρίζει τους μαθηματικούς τύπους, κάποιος άλλος γνωρίζει πως να χρησιμοποιήσει τον τύπο καλύτερα από μένα. Άρα δεν θα μιλήσω γι'αυτό. Αλλά εδώ, όλοι είναι στο ίδιο επίπεδο παίζοντας με την διαίσθησή τους. Όλοι έχουν γεμίσει κάτι με νερό στο παρελθόν, άρα βάζω τα παιδιά να απαντήσουν την ερώτηση, πόση ώρα θα πάρει. Έχω παιδιά που είναι μαθηματικώς και από άποψη συζήτησης, φοβισμένα να συμμετέχουν στην συζήτηση. Βάζουμε ονόματα στον πίνακα, τα συνδέουμε με υποθέσεις, και τα παιδιά συμμετέχουν σ'αυτό. Και μετά ακολουθούμε την διαδικασία που περιέγραψα. Και το καλύτερο μέρος, ή μάλλον ένα από τα καλύτερα, είναι ότι δεν παίρνουμε την απάντηση από την προκαθορισμένη απάντηση γραμμένη πίσω στο εγχειρίδιο του καθηγητή. Αντίθετα, απλώς παρακολουθούμε το τέλος της ταινίας. (Γέλια) Και αυτό είναι φοβερό. Επειδή τα θεωρητικά μοντέλα που πάντα δουλεύουν στην απάντηση στο πίσω μέρος του βιβλίου του καθηγητή, δεν λέω, καλό, αλλά είναι τρομακτικό να μιλάμε για πηγές λάθους όταν το θεωρητικό κομμάτι δεν ταιριάζει με το πρακτικό. Αλλά αυτές οι συζητήσεις ήταν τόσο πολύτιμες, ανάμεσα στα πιο πολύτιμα πράγματα.

Είμαι λοιπόν εδώ για να αναφέρω μερικά διασκεδαστικά κέρδη με τους μαθητές που έρχονται προεγκατεστημένοι με τους ιούς της "πρώτης μέρας στην τάξη". Αυτά είναι τα παιδιά που τώρα, μετά από ένα εξάμηνο, μπορώ να βάλω κάτι στον πίνακα, τελείως καινούργιο, τελείως ξένο, και θα έχουν συζήτηση σχετικά με αυτό για τρία ή τέσσερα λεπτά παραπάνω απ'ότι θα είχαν στην αρχή της χρονιάς, το οποίο είναι πολύ διασκεδαστικό. Δεν μας ενοχλούν πλέον τα προβλήματα με λέξεις, επειδή επαναπροσδιορίσαμε τι σημαίνει πρόβλημα με λέξεις. Δεν μας τρομάζουν πλέον τα μαθηματικά, επειδή σιγά σιγά επαναπροσδιορίζουμε το τι είναι μαθηματικά. Ήταν πολύ διασκεδαστικό.

Παροτρύνω τους καθητητές μαθηματικών με τους οποίους μιλάω να χρησιμοποιούν πολυμέσα, επειδή φέρνει τον πραγματικό κόσμο μέσα στην αίθουσα σε υψηλη ανάλυση και γεμάτο χρώματα, να ενθαρρύνουν την διαίσθηση των μαθητών για το συγκεκριμένο επίπεδο παιχνιδιού, να ρωτάνε την συντομότερη ερώτηση που μπορούν και να αφήνουν τις πιο συγκεκριμένες ερωτήσεις να βγουν μόνες τους στην συζήτηση, να αφήσουν τους μαθητές να χτίσουν το πρόβλημα, επειδή το είπε ο Άινστάιν, και τέλος, στο σύνολο, να είναι λιγότερο βοηθητικοί, επειδή το εγχειρίδιο σε βοηθάει με όλους τους λάθος τρόπους. Σε εξαγοράζει από την υποχρέωση της υπομονετικής επίλυσης προβλημάτων και μαθηματικής λογικής, από το να είσαι λιγότερο βοηθητικός.

Και γιατί είναι καταπληκτική εποχή για να είσαι καθητητής μαθηματικών είναι επειδή έχεις τα εργαλεία για να δημιουργήσεις αυτή της υψηλής ποιότητας ύλη στο μπροστινό μας τσεπάκι. Είναι διαθέσιμα παντού και αρκετά φθηνά. Και τα εργαλεία για να την διανέμετε ελεύθερα, με δωρεάν άδειες δεν ήταν ποτέ φθηνότερα και πιο εύκολα διαθέσιμα. Έβαλα μια σειρά από βίντεο στο μπλογκ μου, όχι πριν πολύ καιρό, και μάζεψε 6,000 προβολές μέσα σε δύο εβδομάδες. Δέχομαι emails από καθηγητές σε χώρες που δεν έχω επισκεφτεί ποτέ που λένε, "Ουάου, ναι. Είχαμε μια πολύ καλή συζήτηση πάνω σ'αυτό. α, και παρεμπιπτόντως, δες πως έκανα τα πράγματά σου καλύτερα," το οποίο, ουάου. Πρόσφατα, έβαλα αυτό το πρόβλημα στο μπλογκ μου. Σε ένα μανάβικο, σε ποια γραμμή προτεραιότητας μπαίνεις, σ'αυτήν που έχει ένα καροτσάκι και 19 αντικείμενα ή σ'αυτήν με τέσσερα καροτσιάκια και τρία, πέντε, δύο και ένα αντικείμενα. Και η γραμμική μοντελοποίηση που περιλαμβανόταν σ'αυτό ήταν αρκετά καλή για την τάξη μου, αλλά τελικά με πήγε στο "Καλημέρα Αμερική" μερικές εβδομάδες αργότερα, το οποίο είναι απλά περίεργο, σωστά;

Και από όλα αυτά, μπορώ μόνο να συμπεράνω, ότι ο κόσμος, όχι μόνο οι μαθητές, είναι πραγματικά πολύ πεινασμένοι για κάτι τέτοιο. Τα μαθηματικά βοηθούν στην κατανόηση του κόσμου. Τα μαθηματικά είναι το λεξιλόγιο για την διαίσθησή σας. Σας ενθαρρύνω, όποιος και αν είναι ο ρόλος σας στην εκπαίδευση, είτε είστε μαθητής, γονιός, καθηγητής, ασφαλιστικός σύμβουλος, οτιδήποτε, επιμένετε για καλύτερη εξεταστέα ύλη στα μαθηματικά. Χρειαζόμαστε περισσότερους υπομονετικούς επιλυτές προβλημάτων. Σας ευχαριστώ.