Μπενουά Μάντελμπροτ: Φράκταλ και η τέχνη της τραχύτητας.

Σας ευχαριστώ πολύ. Συγχωρήστε με που είμαι καθιστός. Έχω γεράσει πολύ. (Γέλια) Λοιπόν, το θέμα που θα συζητήσω είναι από μια άποψη ιδιαίτερα περίεργο γιατί είναι πολύ παλιό. Η τραχύτητα είναι κομμάτι της ανθρώπινης ζωής για πάντα και πάντα. Και έχουν ασχοληθεί με αυτήν αρχαίοι συγγραφείς. Σε γενικές γραμμές ήταν ανεξέλεγκτη. Και κατά μία έννοια, φαινόταν πως είναι το ακραίο της πολυπλοκότητας, απλός χαμός, ένας χαμός. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά είδη χαμού. Στην πραγματικότητα, εντελώς κατά τύχη, ασχολήθηκα πριν από πολλά χρόνια με μια μελέτη αυτής της μορφής πολυπλοκότητας. Και προς έκπληξή μου, βρήκα ίχνη - πολύ δυνατά ίχνη, πρέπει να πω - τάξης μέσα στην τραχύτητα αυτή. Έτσι σήμερα, θα ήθελα να σας παρουσιάσω μερικά παραδείγματα του τι αντιπροσωπεύει αυτό. Προτιμώ τη λέξη τραχύτητα έναντι της λέξης ανωμαλία επειδή ανωμαλία - για κάποιον που έκανε Λατινικά στα πολύ μακρινά παιδικά μου χρόνια - σημαίνει το αντίθετο της ομαλότητας. Αλλά δεν είναι έτσι. Ομαλότητα είναι το αντίθετο της τραχύτητας επειδή η βασική εικόνα του κόσμου είναι πολύ τραχιά.

Επιτρέψτε μου να σας δείξω μερικά αντικείμενα. Κάποια είναι τεχνητά. Άλλα από αυτά είναι πολύ αληθινά, κατά μία έννοια. Αυτό είναι το αληθινό. Ένα κουνουπίδι. Γιατί δείχνω ένα κουνουπίδι, ένα πολύ συνηθισμένο και αρχαίο λαχανικό; Γιατί αν και είναι αρχαίο, είναι πολύπλοκο και πάρα πολύ απλό και τα δύο την ίδια στιγμή. Αν προσπαθήσετε να το ζυγίσετε, φυσικά είναι πολύ απλό. Και όταν το τρώτε, το βάρος μετράει. Υποθέστε όμως ότι προσπαθείτε να μετρήσετε την επιφάνεια του. Λοιπόν, είναι πολύ ενδιαφέρον. Αν κόψετε, με ένα κοφτερό μαχαίρι, ένα ανθύλλιο από το κουνουπίδι και το κοιτάξετε ξεχωριστά, σας φέρνει στο μυαλό ένα ολόκληρο κουνουπίδι, αλλά μικρότερο. Έπειτα το κόβετε ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά. Και συνεχίζετε να παίρνετε μικρότερα κουνουπίδια. Η εμπειρία της ανθρωπότητας λοιπόν ήταν ανέκαθεν πως υπάρχουν κάποια σχήματα που έχουν αυτή την ιδιόμορφη ιδιότητα, πως κάθε κομμάτι είναι σαν το ολόκληρο, αλλά μικρότερο. Τι έκανε λοιπόν η ανθρωπότητα με αυτό; Πολύ, πολύ λίγα. (Γέλια)

Αυτό που έκανα ήταν να μελετήσω το πρόβλημα, και βρήκα κάτι πολύ εκπληκτικό. Πως μπορεί κάποιος να μετρήσει την τραχύτητα με έναν αριθμό, έναν αριθμό 2.3, 1.2 μερικές φορές και περισσότερο. Μια μέρα, ένας φίλος μου, για να με πειράξει, έφερε μια φωτογραφία και είπε. ''Ποια είναι η τραχύτητα αυτής της καμπύλης;" Είπα, "Λοιπόν, κάτι λιγότερο από 1.5" Ήταν 1.48 Δεν πήρε καθόλου χρόνο. Μελετούσα τέτοια πράγματα για τόσο καιρό. Αυτοί οι αριθμοί λοιπόν είναι εκείνοι που υποδηλώνουν την τραχύτητα τέτοιων επιφανειών. Βιάζομαι να πώ πως αυτές οι επιφάνειες είναι εντελώς τεχνητές. Έγιναν μέσω υπολογιστή. Και το μόνο δεδομένο είναι ένας αριθμός. Και αυτός ο αριθμός είναι η τραχύτητα. Έτσι στα αριστερά, πήρα την τραχύτητα που αντέγραψα από πολλά τοπία. Στα δεξιά, πήρα μια υψηλότερη τραχύτητα. Το μάτι λοιπόν, μετά από λίγο, μπορεί να ξεχωρίσει πολύ εύκολα αυτά τα δύο.

Η ανθρωπότητα χρειάστηκε να μάθει πως να μετράει την τραχύτητα Αυτό είναι πολύ τραχύ, αυτό σχετικά λείο, και αυτό πολύ λείο. Πολύ λίγα πράγματα είναι πολύ λεία. Όταν προσπαθείς λοιπόν να κάνεις ερωτήσεις: πόση είναι η επιφάνεια ενος κουνουπιδιού; Μετράς και μετράς και μετράς. Κάθε φορά που πλησιάζεις γίνεται μεγαλύτερη, σε όλο και μικρότερες, πολύ μικρές αποστάσεις. Ποιό είναι το μήκος της ακτογραμμής αυτών των λιμνών; Όσο πιο κοντά μετράς, τόσο πιο μεγάλο γίνεται. Η έννοια του μήκους της ακτογραμμής, που μοιάζει τόσο φυσική επειδή δίνεται σε πολλές περιπτώσεις, αποτελεί στην πραγματικότητα πλάνη, δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα. Πρέπει να την υπολογίσεις διαφορετικά.

Σε τι βοηθάει, να γνωρίζουμε τέτοια πράγματα; Λοιπόν, παρότι αποτελεί έκπληξη βοηθάει σε πολλά. Καταρχήν, τεχνητά τοπία, τα οποία εφηύρα κατά κάποιο τρόπο, χρησιμοποιούνται στον κινηματογράφο συνέχεια. Βλέπουμε βουνά στο βάθος. Μπορεί να είναι βουνά, αλλα μπορεί να είναι απλοί τύποι, που απλά τρέξαμε. Πλέον είναι πολύ εύκολο να το κάνει κανείς. Παλιότερα απαιτούσε πολύ χρόνο, αλλά τώρα δεν είναι τίποτα. Κοιτάξτε τώρα αυτό. Αυτός είναι ένας πραγματικός πνεύμονας. Ένας πvεύμονας είναι κάτι πολύ περίεργο. Αν πάρουμε αυτόν γνωρίζετε πολύ καλά ότι ζυγίζει πολύ λίγο. Ο όγκος ενός πνεύμονα είναι πολύ μικρός. Αλλά πόση είναι η επιφάνεια του; Οι ανατόμοι διαφωνούσαν πολύ σχετικά με αυτό. Μερικοί υποστηρίζουν πως ο πνεύμονας ενός υγιούς αρσενικού έχει συνολική εσωτερική επιφάνεια ενός γηπέδου του μπάσκετ. Και οι υπόλοιποι λένε, όχι, πέντε γήπεδα. Τεράστιες διαφωνίες. Γιατί έτσι; Επειδή, στην πραγματικότητα, η επιφάνεια του πνεύμονα αποτελεί κάτι πολύ κακώς καθορισμένο. Τα βρογχίδια βγάζουν κλαδιά, κλαδιά, κλαδιά. Και σταματούν να διακλαδίζονται, όχι εξαιτίας κάποιας συγκεκριμένης αρχής αλλά εξαιτίας φυσικών συνθηκών, την βλέννα, που υπάρχει μέσα στον πνεύμονα. Αυτό λοιπόν που συμβαίνει είναι πως μ' αυτόν τον τρόπο έχεις έναν πολύ μεγαλύτερο πνεύμονα, αλλά αν διακλαδίζεται συνεχώς, σε μικρές αποστάσεις, περίπου οι ίδιες για φάλαινες, τον άνθρωπο και για ένα μικρό τρωκτικό.

Σε τι βοηθάει αυτό; Όσο απίστευτο κι αν φαίνεται οι ανατόμοι είχαν πολύ μικρή ιδεά της δομής του πνεύμονα μέχρι σχετικά προσφατα. Και πιστεύω πως τα μαθηματικά μου, εντελώς απρόσμενα, έχουν βοηθήσει πολύ τους χειρούργους να μελετήσουνε παθήσεις των πνευμόνων καθώς και των νεφρών, όλα αυτά τα διακλαδίζοντα συστήματα, για τα οποία δεν υπήρχε γεωμετρία. Βρήκα τον εαυτό μου, με άλλα λόγια να κατασκευάζει μια γεωμετρία, γεωμετρία για αντικείμενα που δεν είχαν γεωμετρία. Και μια αναπάντεχη πλευρά είναι ότι αρκετά συχνά, οι κανόνες αυτής της γεωμετρίας είναι εξαιρετικά σύντομοι. Έχεις τύπους τόσο μακρούς. Και τους τρέχεις αρκετές φορές. Μερικές φορές ξανά, ξανά, ξανά. Η ίδια επανάληψη. Και στο τέλος προκύπτουν πράγματα σαν αυτό.

Αυτό το σύννεφο είναι εντελώς, 100 τοις εκατό τεχνητό Εντάξει, 99.9. Και το μόνο κομμάτι που είναι φυσικό είναι ένας αριθμός, η τραχύτητα του σύννεφου, που είναι παρμένος από τη φύση. Κάτι τόσο περίπλοκο όπως ένα σύννεφο, τόσο ασταθές, τόσο μεταβλητό, να έχει έναν τόσο απλό νόμο από πίσω του. Αυτός ο απλός νόμος τώρα δεν αποτελεί εξήγηση για την ύπαρξή τους. Η μάζα από σύννεφα έπρεπε να τον λάβει υπόψιν της. Δεν γνωρίζω πόσο προχωρημένες είναι αυτές οι εικόνες, είναι παλιές. Είχα ασχοληθέι πολύ με αυτό, αλλά έπειτα έστρεψα την προσοχή μου σε άλλα φαινόμενα.

Ιδού και κάτι άλλο που είναι αρκετά ενδιαφέρον. Ένα από τα συνταρακτικότερα γεγονότα στην ιστορία των μαθηματικών, το οποίο δεν εκτιμάται από πολλούς ανθρώπους, συνέβη πριν από 130 χρόνια, 145 χρόνια πριν. Μαθηματικοί άρχισαν να δημιουργούν σχήματα που δεν υπήρχαν πιο πριν. Μαθηματικοί άρχισαν να επαινούνται σε βαθμό που ήταν απίστευτος ότι ο άνθρωπος μπορεί να εφεύρει πράγματα τα οποία η φύση δεν γνωρίζε. Συγκεκριμένα, μπορούσε να εφεύρει πράγματα όπως μια καμπύλη που γεμίζει το επίπεδο. Η καμπύλη είναι καμπύλη, το επίπεδο επίπεδο, και τα δύο δεν συνδυάζονται. Λοιπόν συνδυάζονται. Ένας άνδρας ονόματι Πεανό προσδιόρισε τέτοιες καμπύλες, οι οποίες γίνανε αντικείμενο ιδιαίτερου ενδιαφέροντος. Ήταν πολύ σημαντικό, αλλά κυρίως ενδιαφέρον εξαιτίας ενός χάσματος ενός διαχωρισμού μεταξύ των μαθηματικών που προέρχονται από την πραγματικότητα από τη μια πλευρά και των μαθηματικών που προέρχονται από την καθαρή ανθρώπινη σκέψη. Μετά λύπης μου έδειξα πως η καθαρή ανθρώπινη σκέψη έχει, στην πραγματικότητα, δει επιτέλους αυτό που ήδη έβλεπε τόσο καιρό. Εδώ λοιπόν παρουσιάζω κάτι, το σύνολο από ποτάμια μιας καμπύλης που γεμίζει τον χώρο. Και λοιπόν αποτελεί ολόκληρη ιστορία από μόνο του. Οπότε ήταν μεταξύ 1875 με 1925 μια συναρπαστική περίοδος στην οποία τα μαθηματικά ετοιμάζονταν να ξεφύγουν από το φυσικό κόσμο. Και τα αντικείμενα που χρησιμοποιήθηκαν σαν παραδείγματα όταν ήμουν παιδί και φοιτητής του χάσματος μεταξύ των μαθηματικών και της ορατής πραγματικότητας αυτά τα αντικείμενα τα γύρισα εντελώς ανάποδα. Τα χρησιμοποίησα για να περιγράψω μερικές από τις πλευρές της πολυπλοκότητας της φύσης.

Ένας άνδρας ονόματι Χάουσντορφ το 1919 εισήγαγε έναν αριθμό που αποτελούσε απλά μαθηματικό αστείο. Εγώ ανακάλυψα πως αυτός ο αριθμός ήταν ένα πολύ καλό μέτρο της τραχύτητας. Όταν το πρωτοείπα στους φίλους μου τους μαθηματικούς είπαν, "Μην είσαι ανόητος. Είναι απλά κάτι." Στην πραγματικότητα,δεν ήμουν ανόητος. Ο μεγάλος ζωγράφος Χόκουσαι το γνώριζε πολύ καλά. Τα αντικέιμενα στο έδαφος είναι άλγη. Δεν γνώριζε τα μαθηματικά, δεν υπήρχαν ακόμη. Και ήταν Ιάπωνας που δεν είχε καμία επαφή με τη Δύση. Αλλά ζωγραφίζοντας για πολύ καιρό είχε μια φράκταλ πλευρά. Θα μπορούσα να μιλάω γι αυτά πολύ ώρα. Ο πύργος του Άιφελ έχει μια φράκταλ άποψη. Και διάβασα το βιβλίο που ο κ. Άιφελ έγραψε για τον πύργο του. Και πραγματικά ήταν απίστευτο το πόσα πράγματα κατανοούσε.

Αυτός είναι ένας χαμός, χαμός, χαμός. Ένας βρόγχος Μπράουν. Μια μέρα αποφάσισα πως στα μισά της καριέρας μου, με απασχολούσαν τόσα πράγματα στη δουλειά μου, αποφάσισα να δοκιμάσω τον εαυτό μου. Μπορούσα απλά να κοιτάξω κάτι που όλοι παρατηρούσαν για πολύ καιρό και να βρω κάτι δραματικά καινούργιο; Οπότε μελέτησα αυτά τα αντικείμενα που ονομάζονται κίνηση Μπράουν - απλά γυρίζει. Έπαιξα με αυτό για λίγο και το ανάγκασα να γυρίσει στην προέλευση. Έπειτα έλεγα στο βοηθό μου, "Δεν βλέπω κάτι. Μπορείς να το σχεδιάσεις;" Και το σχεδίασε, που σημαίνει πως έβαλε τα πάντα μέσα μόνος του. Είπε: "Λοιπόν, εμφανίστηκε αυτό το πράγμα" Και εγώ είπα, "Σταμάτα! Σταμάτα! Σταμάτα! βλέπω, είναι ένα νησί" Και απίστευτο. Η κίνηση Μπράουν λοιπόν, η οποία τυχαίνει να έχει έναν αριθμό τραχύτητας στο 2, γυρίζει. Την μέτρησα, 1.33. Ξανά,ξανά, ξανά. Μεγάλες μετρήσεις, μεγάλες κινήσεις Μπράουν, 1.33. Πρόβλημα μαθηματικών: πως το αποδεικνύεις; Οι φίλοι μου χρειάστηκαν 20 χρόνια. Τρείς απ' αυτούς είχαν ημιτελείς αποδείξεις. Μαζεύτηκαν, και μαζί είχαν την απόδειξη. Έλαβαν λοιπόν ένα σπουδαίο μετάλλιο (Fields) στα μαθηματικά, ένα από τα τρία μετάλλια που έχουν δεχτεί άτομα που απέδειξαν πράγματα που είχα παρατηρήσει χωρίς να μπορώ να τα αποδείξω.

Λοιπόν όλοι με ρωτάνε κάποια στιγμή, "Πως ξεκίνησαν όλα; Τι σας έφερε σε αυτήν την περίεργη ενασχόληση;" Τι με έκανε να γίνω, την ίδια στιγμή, ένας μηχανικός, ένας γεωγράφος και ένας μαθηματικός και ούτω καθεξής, ένας φυσικός; Στην πραγματικότητα άρχισα, όλως περιέργως, μελετώντας τιμές στο χρηματιστήριο. Εδώ λοιπόν είχα αυτή τη θεωρία, έγραψα και βιβλία για αυτήν, δημοσιονομικές αυξήσεις τιμών. Στα αριστερά σας βλέπετε δεδομένα μιας μεγάλης περιόδου. Στα δεξιά, πάνω, βλέπετε μια θεωρία η οποία είναι πολύ, πολύ δημοφιλής. Ήταν πολύ εύκολο. και μπορεί κάποιος να γράψει γρήγορα πολλά βιβλία γι' αυτό. (Γέλια) Υπάρχουν χιλιάδες βιβλία πάνω σε αυτό. Συγκρίνετε τα τώρα με πραγματικές αυξήσεις τιμών, και που βρίσκονται πραγματικές αυξήσεις τιμών; Λοιπόν, αυτές οι άλλες γραμμές περιλαμβάνουν μερικές πραγματικές αυξήσεις τιμών και μερικές πλαστές που έκανα. Η ιδέα λοιπόν ήταν πως κάποιος θα μπορούσε - πως να το πούμε; - να φτιάξει ένα μοντέλο των αυξομειώσεων των τιμών. Και πήγε πολύ καλά 50 χρόνια πριν. Για 50 χρόνια πολλοί δυσαρεστούσαν μαζί μου κατά κάποιο τρόπο επειδή μπορούσαν να το κάνουν πολύ, πολύ πιο εύκολα. Σας λέω όμως, σε αυτό το σημείο, ο κόσμος με ακούσε. (Γέλια) Αυτές οι δύο καμπύλες είναι μέσοι όροι. Standard & Poor , η μπλέ. Και η κόκκινη είναι της Standard & Poor, από την οποία οι πέντε μεγαλύτερες ασυνέχειες έχουν αφαιρεθεί. Οι ασυνέχειες τώρα είναι μπελάς. Οπότε σε πολλές μελέτες τιμών, παραλείπονται. "Πράξεις Θεού" Και παίρνουμε άχρηστα πράγματα που απομένουν. Πράξεις Θεού σε αυτήν την εικόνα πέντε πράξεις Θεού είναι τόσο σημαντικές όσο οτιδήποτε άλλο. Με άλλα λόγια, δεν πρέπει να παραλείπουμε αυτές τις πράξεις Θεού. Αυτές είναι το ζουμί, το πρόβλημα. Αν τις κατέχεις αυτές, κατέχεις τις τιμές. Και αν δεν τις κατέχεις, μπορείς να κατέχεις τον θόρυβο όσο περισσότερο μπορείς αλλά είναι άνευ σημασίας. Ορίστε λοιπόν οι καμπύλες για αυτό.

Φτάνω λοιπόν, στο τελευταίο πράγμα, που είναι το σύνολο με το οποίο το όνομά μου έχει συνδεθεί. Κατά κάποιο τρόπο είναι η ιστορία της ζωής μου. Την εφηβική μου ηλικία την πέρασα κατά την διάρκεια της γερμανικής κατοχής της Γαλλίας. Και μιας και πίστευα πως μπορεί να χαθώ από μέρα σε μέρα, είχα πολύ μεγάλα όνειρα. Μετά τον πόλεμο, είδα ξανά έναν θείο μου. Ο θείος μου ήταν ένας πολύ εξέχων μαθηματικός και μου είπε, "Κοίτα, υπάρχει ένα πρόβλημα το οποίο δεν μπόρεσα να λύσω 25 χρόνια πριν, και το οποίο κανένας δεν μπορεί να λύσει. Είναι η κατασκευή ενός άνδρα με το όνομα (Γκαστόν) Τζούλια και ενός άνδρα με το όνομα (Πιέρ) Φατού. Αν μπορούσες να βρείς κάτι καινούριο, οτιδήποτε, θα φτιάξεις την καριέρα σου." Πολύ απλό. Οπότε κοίταξα και όπως χιλιάδες άνθρωποι που είχαν προσπαθήσει προηγουμένως, δεν βρήκα κάτι.

Τότε όμως εμφανίστηκε ο υπολογιστής. Και αποφάσισα να εφαρμόσω τον υπολογιστή όχι σε νέα προβλήματα στα μαθηματικά - σαν εκείνο, αυτό είναι ένα καινούριο πρόβλημα - αλλά σε παλιά προβλήματα. Και πέρασα από αυτό που αποκαλούμε πραγματικούς αριθμούς, που αποτελούν σημεία σε μια γραμμή, στους φανταστικούς, μιγαδικούς αριθμούς, που αποτελούν σημεία σε ένα επίπεδο αυτό που θα έπρεπε να κάνει κάποιος σε αυτή την περίπτωση. Και προέκυψε αυτό το σχήμα. Το σχήμα αυτο είναι απίστευτα περίπλοκο. Η εξίσωση είναι κρυμμένη εκεί, το z πάει σε z τετράγωνο, συν c. Είναι τόσο απλό, τόσο βαρετό. Δεν έχει καθόλου ενδιαφέρον. Γυρίζετε τώρα τον μοχλό μια φορά, δύο, δύο, και θαύματα προκύπτουν. Εννοώ πως εμφανίζεται αυτό. Δεν θέλω να εξηγήσω αυτά τα πράγματα. Εμφανίζεται αυτό. Αυτό. Σχήματα που είναι τέτοιας πολυπλοκότητας, τέτοιας αρμονίας και ομορφιάς. Εμφανίζεται αυτό συνεχόμενα, ξανά, ξανά, ξανά. Και αυτή ήταν μια από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις μου, να βρω πως αυτά τα μικρά νησιά ήταν τα ίδια με το ολόκληρο αρχικό τμήμα, πάνω κάτω. Έπειτα προκύπτουν αυτά τα θαυμάσια μπαρόκ σχήματα παντού. Όλα αυτά από αυτή την μικρή εξίσωση, που αποτελείται από πέντε σύμβολα. Και μετά αυτό. Το χρώμα προστέθηκε για δύο λόγους. Πρώτα απ' όλα, επειδή αυτά τα σχήματα είναι τόσο περίπλοκα, που δεν θα μπορούσε κάποιος να βγάλει νόημα από τους αριθμούς. Και αν τους σχεδιάσεις σε μια γραφική παράσταση, πρέπει να διαλέξεις κάποιο σύστημα. Οπότε η βασική μου αρχή είναι να αναπαριστώ πάντα τα σχήματα με διαφορετικές αποχρώσεις, επειδή κάποιες αποχρώσεις τονίζουν αυτό, άλλες εκείνο ή το άλλο. Είναι τόσο περίπλοκο.

(Γέλια)

Το 1990, ήμουν στο Κέιμπριτζ, στο Ηνωμένο Βασίλειο. για να δεχτώ ένα βραβείο από το πανεπιστήμιο. Και τρείς μέρες μετά, ένας πιλότος πετούσε πάνω από το τοπίο και βρήκε αυτό το πράγμα. Από που προήλθε λοιπόν; Προφανώς, από τους εξωγήινους. (Γέλια) Η εφημερίδα στο Κέιμπριτζ λοιπόν δημοσίευσε ένα άρθρο για αυτήν την "ανακάλυψη" και έλαβε την επόμενη μέρα 5,000 γράμματα από ανθρώπους που λέγανε, "Μα αυτό είναι απλά ένα πολύ μεγάλο σύνολο Μάντελμπροτ."

Τελειώνοντας λοιπόν. Αυτό εδώ το σχήμα προήλθε από μια εργασία στα καθαρά μαθηματικά. Απύθμενα θαύματα ξεπηδούν από απλούς νόμους, που επαναλαμβάνονται χωρίς τέλος.

Ευχαριστώ πάρα πολύ.

(Χειροκροτήματα)