Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

Am 30. Mai 1832 fiel ein Gewehrschuss im 13. Pariser Bezirk. (Gewehrschuss) Ein Bauer, der an diesem Morgen auf dem Weg zum Markt war, eilte in die Richtung, aus der der Schuss gekommen war. Dort fand er einen jungen Mann, der am Boden lag und sich vor Schmerzen wand. Er war offensichtlich bei einem Duell von einer Kugel getroffen worden. Der Name des jungen Mannes war Evariste Galois. Er war zu jener Zeit ein bekannter Pariser Revolutionär. Galois wurde ins Krankenhaus gebracht, wo er am nächsten Tag in den Armen seines Bruders starb. Das letzte, was er zu seinem Bruder sagte, war: „Weine nicht um mich, Alfred. Ich brauche allen Mut, den ich habe, um mit zwanzig zu sterben.“

Tatsächlich war es nicht seine revolutionäre politische Gesinnung, für die Galois berühmt war. Einige Jahre zuvor jedoch – er ging damals noch zur Schule – hatte er eines der größten mathematischen Probleme seiner Zeit gelöst. Er schrieb den Gelehrten an der Pariser Akademie und versuchte, ihnen seine Theorie darzulegen. Die Gelehrten aber verstanden kein einziges Wort von dem, was er schrieb. (Gelächter) So notierte er fast alle seine mathematischen Überlegungen.

In der Nacht vor dem Duell erkannte er, dass dies vermutlich seine letzte Chance war, seinen großen Durchbruch zu erklären. Und so blieb er die ganze Nacht auf, schrieb und schrieb und versuchte, seine Ideen verständlich zu machen. Als der Morgen dämmerte und er sich aufmachte, seinem Schicksal zu begegnen, hinterließ er auf dem Tisch diesen Stapel Papier für die kommende Generation. Vielleicht lag es daran, dass er die ganze Nacht durchgearbeitet hatte, dass er an diesem Morgen so schlecht zielte und tödlich getroffen wurde.

Aber in diesen seinen Dokumenten war eine neue Sprache enthalten: Eine Sprache, um eines der grundlegenden naturwissenschaftlichen Konzepte zu verstehen – nämlich Symmetrie. Fast könnte man Symmetrie als die Sprache der Natur bezeichnen. Sie erleichtert uns das Verständnis so vieler unterschiedlicher Aspekte in der Welt der Wissenschaft, zum Beispiel das Verständnis molekularer Strukturen. Welche Kristallformen möglich sind, verstehen wir durch die Mathematik der Symmetrie.

In der Mikrobiologie sind symmetrische Objekte nicht erwünscht, weil sie fast immer äußerst unangenehm sind. Der aktuelle Schweinegrippevirus ist ein symmetrisches Objekt. Er nutzt die Wirksamkeit der Symmetrie, um sich so schnell zu verbreiten, wie er es tut. In einem größeren biologischen Kontext ist Symmetrie jedoch äußerst wichtig, weil sie genetische Informationen kommunizieren kann.

Ich habe hier zwei Bilder, die ich künstlich symmetrisch gemacht habe. Wenn ich Sie fragen würde, welches davon Sie schöner finden, werden Sie sich vermutlich zu den beiden unteren hingezogen fühlen. Denn es ist schwer, Symmetrie zu erzeugen. Und wenn Sie sich symmetrisch machen können, signalisieren Sie damit, dass Sie gutes Erbmaterial haben, ein gutes Elternhaus, und dass Sie somit einen guten Partner abgeben. Symmetrie ist also eine Sprache, die helfen kann, genetische Informationen zu vermitteln.

Symmetrie kann uns auch dabei helfen, zu verstehen, was im Large Hadron Collider des CERN passiert. Beziehungsweise, was im Large Hadron Collider des CERN nicht passiert. Sie hilft uns, Voraussagen zu treffen über die grundlegenden Partikel die wir dort vielleicht finden werden. Es scheint, als ob sie alle Aspekte einer fremdartigen symmetrischen Form seien, die sich in einer höheren Dimension befindet.

Galileo hat, wie ich finde, sehr treffend zusammengefasst, wie die Macht der Mathematik uns hilft, die naturwissenschaftliche Welt um uns herum zu begreifen. Er schrieb: „Wir können das Universum nicht lesen, bevor wir nicht seine Sprache beherrschen und uns mit den Zeichen vertraut machen, in denen es geschrieben ist. Es ist in einer mathematischen Sprache geschrieben. Und ihre Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Formen, ohne die es einem Menschen unmöglich wäre, ein einziges Wort zu verstehen.“

Aber nicht nur Wissenschaftler interessieren sich für Symmetrie. Auch Künstler lieben es, mit ihr zu spielen. Sie haben zudem ein etwas zwiespältigeres Verhältnis zu ihr. Das hier ist Thomas Mann, der in seinem „Zauberberg“ über Symmetrie spricht. Er lässt eine seiner Figuren eine Schneeflocke betrachten: „[Dem Leben] schauderte vor der genauen Richtigkeit, es empfand sie als tödlich, als das Geheimnis des Todes selbst.‟

Künstler lieben es, Erwartungshaltungen von Symmetrie aufzubauen und sie dann zu brechen. Ein wunderbares Beispiel hierfür entdeckte ich, als ich einen Kollegen in Japan besuchte, Professor Kurokawa. Er nahm mich mit zu den Tempeln von Nikko. Kurz nachdem dieses Foto aufgenommen wurde, stiegen wir die Stufen empor. Das Tor, das Sie im Hintergrund sehen, besteht aus acht Säulen, die mit wundervollen symmetrischen Mustern verziert sind. Sieben der Säulen sind absolut identisch; die achte steht auf dem Kopf.

Ich sagte zu Professor Kurrokawa: „Wow! Die Architekten müssen sich ja wirklich die Haare gerauft haben, als sie gemerkt haben, dass sie einen Fehler gemacht und diese hier falsch herum aufgestellt haben.‟ Und er sagte: „Nein, nein, nein. Das war Absicht.‟ Dann verwies er mich auf dieses wunderbare Zitat aus den japanischen „Betrachtungen aus der Stille“ aus dem 14. Jahrhundert. Darin schreibt der Autor: „In allen Dingen ist Gleichförmigkeit wenig wünschenswert. Etwas unvollendet zu lassen, macht es erst interessant, und gibt einem das Gefühl, dass Raum bleibt für Wachstum.“ Selbst wenn sie einen kaiserlichen Palast errichten, lassen sie immer einen Bereich unvollendet.

Aber wenn ich ein Gebäude auf der Welt wählen müsste, um darin auf einer einsamen Insel den Rest meines Lebens zu verbringen, dann würde ich – als Symmetriesüchtiger – die Alhambra in Granada wählen. Dieser Palast ist ein Loblied auf die Symmetrie. Vor kurzem nahm ich meine Familie mit dorthin. Wir unternehmen diese etwas nerdigen mathematischen Ausflüge; meine Familie liebt das. Dies ist meine Sohn Tamer. Wie Sie sehen, hat er viel Freude an unserem mathematischen Ausflug zur Alhambra. Aber ich wollte ihm etwas zeigen, das ihn bereichert. Ich glaube, eines der Probleme mit Schulmathematik ist die Tatsache, dass die Schulen Mathematik nicht im Kontext der Welt sehen, in der wir leben. Ich wollte ihm daher die Augen öffnen dafür, wie viel Symmetrie sich in der Alhambra finden lässt.

Sobald Sie eintreten, sehen Sie es sofort: die Spiegelsymmetrie im Wasser. Aber es sind die Wände, an denen sich das wirklich Aufregende abspielt. Die maurischen Künstler durften nichts abbilden, das eine Seele hat. Daher fanden sie zu einer eher geometrischen Kunst. Was also ist Symmetrie? Die Alhambra stellt gewissermaßen alle diese Fragen. Was ist Symmetrie? Wenn es zwei solche Wände gibt, besitzen sie dann dieselben symmetrischen Eigenschaften? Können wir behaupten, wir hätten alle Symmetrien der Alhambra entdeckt?

Es war Galois, der eine Sprache entwickelte, die in der Lage ist, einige dieser Fragen zu beantworten. Denn für Galois war Symmetrie – anders als für Thomas Mann, für den sie etwas Stilles und Tödliches bedeutete – für Galois ging es bei Symmetrie ausschließlich um Bewegung. Was können Sie mit einem symmetrischen Objekt tun, Wie können Sie es bewegen, so dass es anschließend genauso aussieht wie vorher? Ich nenne das gerne die magischen Züge. Was können Sie mit einem Objekt tun? Schließen Sie Ihre Augen. Ich bewege es und setze es wieder ab. Es sieht so aus wie vorher.

Nehmen wir beispielsweise die Wände der Alhambra. Ich kann all diese Kacheln nehmen und am gelben Punkt fixieren, sie um 90 Grad drehen, sie alle absetzen – und sie fügen sich wieder perfekt ein. Wenn Sie Ihre Augen wieder öffnen, würden Sie nicht merken, dass sich die Kacheln bewegt haben. Aber es ist gerade die Bewegung, die die Symmetrie in der Alhambra auszeichnet. Aber es geht auch darum, eine Sprache dafür zu entwickeln. Die Stärke der Mathematik besteht darin, etwas in etwas anderes zu verwandeln; Geometrie in Sprache.

Ich werde Sie dazu bringen, vielleicht auch mathematisch etwas antreiben, – also halten Sie sich gut fest – ich werde Sie dazu bringen, diese Sprache verstehen, die es uns erlaubt, zu begreifen, was Symmetrie ist. So. Nehmen wir diese beiden symmetrischen Objekte hier. Nehmen wir den sechsarmigen geschwungenen Seestern. Was kann ich mit dem Seestern alles tun, damit er unverändert aussieht? Nun, hier habe ich ihn um eine Sechsteldrehung rotieren lassen. Und er sieht immer noch genauso aus wie vorher. Ich könnte ihn um eine Dritteldrehung drehen, oder eine halbe. Ich könnte ihn auf sich selbst abbilden oder um eine 2/3-Drehung drehen. Es gibt noch eine fünfte Symmetrie: Ich kann ihm um eine Fünfsechstel-Drehung drehen. Das sind die Dinge, die ich mit einem symmetrischen Objekt tun kann, ohne es zu verändern.

Nun, Galois sah noch eine sechste Symmetrieeigenschaft: Weiß jemand, was ich noch damit tun könnte, ohne es zu verändern? Ich kann es nicht umdrehen, weil ich eine kleine Hürde eingebaut habe, nicht wahr? Es hat keine Spiegelachse. Aber ich kann es einfach dort lassen, wo es ist, es aufnehmen und wieder absetzen. Für Galois war das die nullte Symmetrie. Die Erfindung der Null war übrigens ein sehr modernes Konzept der Inder aus dem 7. Jahrhundert vor Christus. Es scheint verrückt, über Nichts zu reden. Und dies ist dieselbe Idee. Dies ist ein symmetrisches … Alles ist symmetrisch, wenn man es belässt, wo es ist.

Dieses Objekt hat also sechs Symmetrieeigenschaften. Und was ist mit dem Dreieck? Nun, ich kann es im Uhrzeigersinn um eine Dritteldrehung drehen, oder ein Drittel im Gegenuhrzeigersinn. Aber jetzt gibt es auch eine Spiegelsymmetrie. Ich kann es an der X-Achse spiegeln oder an der Y-Achse oder an der Z-Achse. Fünf Symmetrien und natürlich die nullte Symmetrie, wenn ich es anhebe und auf sich selbst ablege. Beide Objekte haben also sechs Symmetrieeigenschaften. Nun bin ich ja ein großer Anhänger der Idee, dass Mathematik kein Zuschauersport ist, und dass man Mathematik anwenden muss, um sie wirklich zu verstehen.

Hier also eine kleine Aufgabe für Sie: Und am Ende meines Vortrags erhält derjenige, der der Antwort am nächsten kommt, einen Preis. Der Zauberwürfel. Wie viele Symmetrien hat ein Zauberwürfel? Was kann ich damit tun, damit er hinterher immer noch wie ein Würfel aussieht? Alles klar? Ich möchte, dass Sie darüber nachdenken, während wir weitermachen, und zählen, wie viele Symmetrien er hat. Und wer der Antwort am nächsten kommt, erhält am Ende einen Preis.

Aber lassen Sie uns nun zurückkehren zu den Symmetrieeigenschaften dieser beiden Objekte. Galois hatte erkannt, dass es nicht nur um individuelle Symmetrien geht, sondern darum, wie sie miteinander interagieren: Das ist es, was die Symmetrie eines Objektes ausmacht. Wenn ich einen magischen Zug ausführe und dann noch einen, ergibt sich daraus eine dritte. Hier sehen wir, wie Galois begann, eine Sprache zu entwickeln, die helfen sollte, die Substanz der unsichtbaren Dinge sichtbar zu machen, die abstrakte Idee der Symmetrie, die diesem physikalischen Objekt zu eigen ist. Was passiert zum Beispiel, wenn ich den Seestern erst um eine Sechsteldrehung drehe und dann um eine Dritteldrehung?

Ich habe mal Namen verteilt. Die Großbuchstaben A, B, C, D, E, F sind die Namen für die Drehungen. B zum Beispiel lässt den kleinen gelben Punkt zum B am Seestern wandern und so weiter. Was also, wenn ich zuerst B ausführe, was einer Sechsteldrehung entspricht, und dann C, eine Dritteldrehung? Nun, lassen Sie uns das tun. Eine Sechsteldrehung gefolgt von einer Dritteldrehung: Das Ergebnis aus beiden ist dasselbe, als ob ich den Stern auf einmal um eine halbe Drehung gedreht hätte. Diese kleine Tabelle hier hält fest, wie die Algebra hinter diesen Symmetrien funktioniert. Ich führe erst eine aus und danach eine andere. Die Antwort ist D, eine halbe Drehung. Würde das in der umgekehrten Reihenfolge auch funktionieren? Machte das einen Unterschied? Mal sehen. Zuerst also eine Dritteldrehung und dann eine Sechsteldrehung. Natürlich macht das keinen Unterschied. Es ergibt sich eine halbe Drehung.

Auch die Interaktion der Symmetrien ist hier also symmetrisch. Ein Dreieck hingegen hat völlig andere Symmetrieeigenschaften. Sehen wir uns an, was passiert, wenn wir am Dreieck zwei Symmetrien ausführen, eine nach der anderen. Zuerst eine Dritteldrehung gegen den Uhrzeigersinn und dann eine Spiegelung an der X-Achse. Nun, der addierte Effekt ist so, als hätte ich gleich eine Spiegelung an der Z-Achse vorgenommen. Jetzt in umgekehrter Reihenfolge. Zuerst die Spiegelung an der X-Achse, dann eine Dritteldrehung gegen den Uhrzeigersinn. Der Effekt addiert sich zu etwas, was das Dreieck völlig anders aussehen lässt. Es sieht aus, als hätte man es an der Y-Achse gespiegelt.

Jetzt spielt die Reihenfolge der Operationen also eine Rolle. Und dadurch können wir die Symmetrieeigenschaften dieser Objekte unterscheiden: Beide besitzen sechs Symmetrien. Warum also nicht einfach sagen, dass sie dieselben Symmetrien besitzen? Die Art und Weise, wie die Symmetrien interagieren, erlaubt uns (denn jetzt haben wir eine Sprache dafür), zu zeigen, dass diese Symmetrien vollkommen verschieden sind. Sie können das selbst ausprobieren, wenn Sie später in einem Lokal sitzen. Nehmen Sie einen Bierdeckel und lassen sie ihn um eine Vierteldrehung rotieren, dann drehen Sie ihn um. Und dann dasselbe in umgekehrter Reihenfolge. Das Bild wird in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

Galois hat eine Reihe von Gesetzen aufgestellt dafür, wie diese Tabellen, diese Symmetrien, interagieren. Es sind beinahe kleine Sudokutabellen. Keine Symmetrie taucht zweimal in einer Zeile oder Spalte auf. Diese Gesetzmäßigkeiten erlaubten ihm die Aussage, dass es insgesamt nur zwei Objekte gibt, die sechs Symmetrien aufweisen. Und es sind die Symmetrien des Dreiecks oder des sechsarmigen Seesterns. Ich finde, das ist eine unglaubliche Entwicklung. Es ist fast so, als ob er die Idee der Zahl für Symmetrien entwickelt hätte. Hier vorne sind ein, zwei, drei Menschen auf ein, zwei, drei Stühlen. Die Menschen auf den Stühlen sind sehr verschieden, die Zahl aber, die abstrakte Idee der Zahl, ist dieselbe.

Und jetzt können wir es verstehen: Gehen wir zurück zu den Wänden der Alhambra. Zwei völlig unterschiedliche Wände, zwei verschiedene geometrische Bilder. Aber durch die Sprache Galois' können wir verstehen, dass die zugrunde liegenden abstrakten Symmetrien dieselben sind. Nehmen wir zum Beispiel diese wundervolle Wand hier mit leicht geschwungenen Dreiecken. Man kann sie um eine Sechsteldrehung drehen, wenn man die Farben ignoriert. Die Farben müssen nicht übereinstimmen. Aber die Formen stimmen überein, wenn ich eine Sechsteldrehung ausführe und als Rotationsachse den Punkt wähle, an dem sich die Dreiecke berühren. Wie sieht es aus mit dem Mittelpunkt eines Dreiecks? Ich lasse es um eine Dritteldrehung um seinen Mittelpunkt rotieren, und alles passt zueinander. Und dann gibt es da einen interessanten Punkt, die Mitte einer Seitenkante, wo ich es um 180 Grad drehen kann. Und wieder sind die Kacheln deckungsgleich. Drehen wir sie also um den Rotationspunkt auf der Mitte der Seitenkante, und sie sind deckungsgleich.

Jetzt gehen wir zu einer anderen Wand in der Alhambra, die ganz anders aussieht. Dort finden wir dieselben Symmetrien und dasselbe Verhalten. So, das war eine Sechsteldrehung. Und eine Dritteldrehung dort, wo sich die Z-Stücke berühren. Und die Achse für die halbe Drehung ist in der Mitte der sechszackigen Sterne. Und obwohl diese Wände völlig unterschiedlich aussehen, hat Galois eine Sprache entwickelt, die aussagt, dass die zugrunde liegenden Symmetrien identisch sind. Eine solche Symmetrie nennen wir 6-3-2.

Hier ist ein weiteres Beispiel aus der Alhambra. Eine Wand, eine Decke, ein Fußboden. Alle sehen unterschiedlich aus. Aber diese Sprache ermöglicht uns die Aussage, dass sie alle Abbildungen desselben symmetrischen abstrakten Objektes sind, das wir 4-4-2 nennen, was jetzt aber nichts mit Fußball zu tun hat. Es gibt zwei Rotationspunkte, an denen man eine Vierteldrehung ausführen kann, und einen, an denen man eine halbe Drehung ausführen kann.

Diese Sprache ist aber noch viel mächtiger, denn Galois kann fragen: „Haben die maurischen Künstler alle nur möglichen Symmetrien an den Wänden der Alhambra entdeckt?“ Wie sich herausstellt, lautet die Antwort beinahe „Ja“. Man kann mit Galois’ Sprache beweisen, dass es nur siebzehn unterschiedliche Symmetrien an den Wänden der Alhambra gibt. Wollten Sie eine andere Wand mit dieser achtzehnten Symmetrie gestalten, müsste sie dieselbe Symmetrie aufweisen wie eine der anderen siebzehn hier.

Aber dies sind Dinge, die wir sehen können. Und die Macht der Galoischen mathematischen Sprache erlaubt es uns, symmetrische Objekte in der unsichtbaren Welt zu erschaffen, jenseits des Zwei- oder Dreidimensionalen, bis hin zur vierten oder fünften oder einer nten Dimension. Auf diesem Gebiet arbeite ich. Ich erschaffe mathematische, symmetrische Objekte, indem ich die Sprache Galois’ benutze; und das in Räumen mit sehr vielen Dimensionen. Ich glaube, dies ist ein wundervolles Beispiel für die unsichtbaren Dinge, die wir dank der Sprache der Mathematik erschaffen können.

Wie Galois bin also auch heute Nacht aufgeblieben und habe ein neues mathematisches Objekt für Sie geschaffen. Hier ist ein Bild davon. Leider ist es nicht wirklich ein Bild. Kann ich bitte meinen Zeichenblock haben? Danke, wunderbar. OK. Leider kann ich Ihnen nicht zeigen, wie das symmetrische Objekt aussieht. Aber dies ist die Sprache, die beschreibt, wie die Symmetrien interagieren.

Dieses neue symmetrische Objekt hat noch keinen Namen. Nun, Menschen lieben es, Dingen ihren Namen zu geben, wie Mondkratern oder neuen Tierarten. Sie haben nun also die Gelegenheit, einem neuen symmetrischen Objekt, das noch keinen Namen hat, Ihren Namen zu geben. Und dieses Objekt – während Tierarten aussterben und Mondkrater von Meteoren getroffen werden und explodieren – dieses Objekt ist unsterblich. Es wird Sie unsterblich machen. Um dieses symmetrische Objekt zu gewinnen, müssen Sie die Frage beantworten, die ich Ihnen eingangs gestellt habe. Wie viele Symmetrien besitzt der Zauberwürfel?

Okay, ich bringe hier mal etwas Ordnung hinein. Statt dass alle durcheinander rufen, möchte ich wissen, wie viele Stellen die Zahl hat. OK? Wenn Sie das Ergebnis als Fakultät berechnet haben, haben, müssen Sie die Fakultäten erweitern. Also, wenn Sie jetzt mitspielen wollen, stehen Sie bitte auf, ja? Wenn Sie ungefähr schätzen können, wie viele Stellen – OK – hier haben wir schon jemanden – Wenn die anderen alle sitzen bleiben, ist er automatisch der Gewinner. OK. Ausgezeichnet. Wir haben vier, fünf, sechs. Großartig. Ausgezeichnet. Das sollte für den Anfang reichen. Gut.

Alle mit fünf oder weniger Stellen, bitte setzen. Sie haben sich nach unten verschätzt. Fünf oder weniger Stellen. Wenn Sie also etwas in den Zehntausendern haben, bitte setzen. Sechzig Stellen oder mehr, bitte setzen. Sie haben sich nach oben verschätzt. Zwanzig Stellen oder weniger, setzen. Wie viele Stellen hat Ihre Zahl? Zwei? Dann hätten Sie sich schon früher setzen müssen. (Lachen im Publikum) Also nochmal die anderen, die sich während der Zwanziger gesetzt haben, OK? Wenn ich also gesagt habe, zwanzig oder weniger, bitte wieder aufstehen. Hier, ich glaube, hier gab es Einige. Die, die sich als letzte gesetzt haben.

OK, wie viele Stelle hat Ihre Zahl? (Lacht) Einundzwanzig. OK, gut. Und wie viele bei Ihnen? Achtzehn. Damit hat diese Dame hier gewonnen. Einundzwanzig ist am nächsten dran. Die Zahl – also die Anzahl der Symmetrien eines Zauberwürfels – hat fünfundzwanzig Stellen Jetzt muss ich dem Objekt einen Namen geben. Wie heißen Sie? Ich brauche Ihren Nachnamen. Symmetrische Objekte haben grundsätzlich – Bitte buchstabieren Sie ihn für mich. G-H-E-Z Nein, SO2 ist schon besetzt in der Sprache der Mathematik. Das können Sie nicht bekommen. Also Ghez, bitte schön. Dies ist Ihr neues symmetrisches Objekt. Jetzt sind Sie unsterblich. (Applaus)

Und wenn auch Sie ein symmetrisches Objekt besitzen möchten, ich betreibe ein Projekt, mit dem ich Gelder für Guatemala sammele. Ich werde die ganze Nacht aufbleiben und mir für Sie ein Objekt ausdenken, für einen Spende zugunsten dieser Einrichtung, die Kindern in Guatemala den Weg ins Bildungssystem ebnet. Ich denke, was mich als Mathematiker antreibt, sind die unsichtbaren Dinge, die, die wir noch nicht entdeckt haben. Es sind all die unbeantworteten Fragen, die die Mathematik zu etwas Lebendigem machen. Und ich werde immer wieder auf dieses Zitat aus den „Betrachtungen aus der Stille‟ verweisen: „In allen Dingen ist Gleichförmigkeit nicht wünschenswert. Etwas unvollendet zu lassen, macht es erst interessant, und gibt einem das Gefühl, dass Raum bleibt für Wachstum.‟ Danke. (Applaus)