Benoit Mandelbrot: Les fractals i l'art de la rugositat

Moltes gràcies. Perdoneu-me per seure; sóc molt gran. (Rialles) Bé, el tema que vaig a exposar és un que, en certa manera, és ben peculiar perquè és molt antic. La rugositat és part de la vida humana des de sempre. Antics autors ja en van parlar. No es podia dominar. I en certa manera, semblava ser al capdamunt de la complexitat. un desori, un desori i un desori. Hi ha moltes menes diferents de desoris. Ara, de fet, per pura xamba, fa molts anys em vaig veure embolicat en un estudi d'aquest tipus de complexitat. I, contra tot pronòstic, vaig trobar indicis -- indicis prou clars, haig de dir -- d'ordre en aquella rugositat. I així avui, voldria presentar-vos uns quants exemples del que això vol dir. Prefereixo el mot rugositat al mot irregularitat perquè irregularitat -- per a algú com jo que vaig estudiar llatí en la meva joventut, ja fa molt temps -- significa el contrari de la regularitat. Però no és així. La regularitat és el contrari de la rugositat perquè l'aspecte bàsic del món és molt rugós.

Deixeu-me mostrar-vos alguns objectes. Alguns són artificials. Altres són ben reals, d'alguna manera. Això és real. És una coliflor. Per què us ensenyo una coliflor, una verdura ben normal i antiga? Perquè tan antiga cóm és, és molt complicada i és molt senzilla les dues coses alhora. Si la voleu pesar, és ben senzilla de pesar. I quan la mengeu, el pes és important. Però suposeu que voleu mesurar-ne la superfície. Bé, és molt interessant. Si talleu, amb un ganivet esmolat, un dels brots de la coliflor i el mireu separadament, us recorda la coliflor sencera, però més petita. I la talleu un altre cop, i un altre, i un altre, i un altre, i un altre, i un altre. I encara tindreu petites coliflors. Així, l'experiència de la humanitat sempre ha estat que hi ha algunes formes que tenen aquesta propietat singular, que cada part és com el tot, però més petita. I què en va fer la humanitat d'això? Ben poca cosa. (Rialles)

Doncs el que vaig fer va ser estudiar aquest problema, i em vaig trobar amb una cosa prou sorprenent. Que un pot mesurar la rugositat amb un nombre, un nombre, "2,3", "1,2" i a vegades molt més. Un dia, un amic meu, per provocar-me, va portar una foto, i em va dir, "Quina és la rugositat d'aquesta corba?" Vaig dir, "Bé, no arriba a 1,5" Era 1,48. No m'hi va costar gaire. He estat mirant aquestes coses durant molt de temps. I aquests nombres són els nombres que indiquen la rugositat d'aquestes superfícies. M'afanyo a dir que aquestes superfícies són artificials del tot. Estàn fetes amb un ordinador. I que l'única dada és un nombre. I que el nombre és la rugositat. Així a l'esquerra, agafo la rugositat semblant a la de molts paisatges. A l'esquerra, agafo una rugositat més gran. I l'ull, al cap de poc, pot distingir-ne les dues molt bé.

La humanitat havia d'aprendre a mesurar la rugositat. Això és molt rugós, i aixó és una mica suau, i aixó és totalment llis. Molt poques coses són ben suaus. Quan intentes preguntar-te: quina és la superfície d'una coliflor? Bé, mesures i mesures i mesures. I quan més a la vora arribes es fa més gran, fins arribar a distàncies molt i molt petites. Quina és la llargada de la riba d'aquests llacs? Com més a la vora ho mesures, més llarg resulta ser. El concepte de la llargada de la riba, que sembla tan natural perquè se'ns dóna moltes vegades, és, de fet, una completa fal·làcia; no existeix. S'ha de fer d'una altra manera.

Per què és bo saber aquestes coses? Bé, sorprèn força perquè és bo per molts motius. Per començar, els paisatges artificials, que d'alguna manera vaig inventar, s'utilitzen al cinema molt sovint. Veiem muntanyes en la distància. Poden ser muntanyes, però poden ser generades només per fórmules. Ara és molt fàcil de fer. Abans calia molt de temps, però ara no costa res. Ara mireu això. És un pulmó de veritat. Bé, un pulmó és una cosa ben rara. Si agafes això, ja sabeu molt bé que pesa ben poc. El volum d'un pulmó és molt petit. Però quina és l'àrea del pulmó? Els anatomistes segueixen discutint molt sobre això. Alguns diuen que un pulmó normal d'un home té una àrea com l'interior d'una pista de bàsquet. Altres diuen, no, de cinc pistes de bàsquet. Grans diferències. Perquè passa això? Perquè, de fet, l'àrea del pulmó és una cosa gens ben definida. Els bronquis es ramifiquen, es ramifiquen, es ramifiquen. I paren de ramificar-se, no per cap qüestió de principis, sinó per consideracions físiques, per la mucositat que hi ha al pulmó. El que passa és que aquesta és la manera de tenir un pulmó molt més gran, i es ramifica i ramifica, fins a mides molt semblants per a una balena, un home o un petit rosegador.

Ara bé, per a què és bo que això sigui així? Bé, és ben sorprenent i ben curiós, que els anatomistes no en tinguessin ni idea de l'estructura del pulmó fins fa ben poc. I penso que les meves matemàtiques, de forma sorprenent, han ajudat molt els cirurgians que estudien les malaties pulmonars i també les dels ronyons. Tots aquests sistemes ramificats, per als quals no hi havia cap geometria. I em vaig trobar, en altres paraules, construïnt una geometria, una geometria de les coses que no tenien geometria. I un aspecte curiós d'això és que molt sovint, les regles d'aquesta geometria són molt poques. Tens fórmules d'aquesta mida. I les utilitzem moltes vegades. De vegades repetidament, un cop i un altre, i un altre. La mateixa repetició. I al final obtens coses com aquesta.

Aquest núvol és completament, 100 % artificial. Bé, 99,9 %. I l'unica cosa que és natural és un nombre, la rugositat del núvol, que l'hem pres de la natura. Una cosa tan complicada com un núvol, tan inestable, tan canviant, havia de tenir una senzilla regla al darrere. Ara bé, aquesta regla senzilla no explica els núvols. L'observador de núvols hauria de tenir-ho en compte. No sé com són d'avançades aquestes fotos, ja són antigues. Vaig estar molt involucrat en això, però llavors em vaig fixar en un altre fenomen.

Bé, hi ha una altra cosa que és ben interessant. Un d'aquests moments clau en la història de les matemàtiques, que no és valorada per molta gent, va passar fa uns 130 anys, 145. Els matemàtics van començar a crear formes que no existien. Els matemàtics es van felicitar, fins a un punt que era realment sorprenent, pel fet que l'home pogués inventar coses que no hi havia a la natura. En particular, que poguessin inventar coses com una corba que omple el pla. Una corba és una corba i un pla és un pla, i no es poden barrejar. Doncs bé, s'hi barregen. Un home que s'anomenava Peano va definir aquesta mena de corbes, i va esdevenir l'objecte d'un interès extraordinari. Era molt important, però sobretot interessant perquè era una mena de trencament, una separació entre les matemàtiques provinents de la realitat d'una banda i les noves matemàtiques provinents purament de la ment humana. Bé, em va saber greu observar que la ment pura de l'home havia, de fet, trigat molt a adonar-se d'allò que havia estat veient feia molt temps. I ara us ensenyaré una cosa, el conjunt de rius d'una corba que omple un pla. I bé, és una història en si mateixa. Això va ser entre 1875 i 1925, un període extraordinari en què les matemàtiques es van preparar per separar-se del món. I els objectes que s'empraven com a exemples, quan era nen i estudiant, del trencament entre les matemàtiques i la realitat visible -- aquells objectes, els vaig capgirar completament. Jo els emprava per descriure alguns aspectes de la complexitat de la natura.

Bé, el 1919, un home anomenat Hausdorff va introduir un nombre que era un acudit matemàtic. I vaig trobar que aquest nombre era una bona mesura de la rugositat. Quan ho vaig dir per primer cop als meus amics matemàtics van dir, "No siguis ridícul. És només una cosa [ridícula]." Bé, de fet, no va resultar tan ridícul. El gran pintor Hokusai ja ho sabia. El que hi ha al terra són algues. No coneixía aquestes matemàtiques; encara no existien. I era un japonès que no havia tingut contactes amb Occident. Però la seva pintura durant molt de temps va tenir un caire fractal. Podria parlar d'això molta estona. La Torre Eiffel té un aspecte fractal. I vaig llegir el llibre que el Sr. Eiffel va escriure sobre la seva torre. I de fet era sorprenent tot el que hi entenia.

Això sí que és un desori total, la corba browniana. Un dia vaig decidir que, al mig de la meva carrera, estava lligat per tantes coses a la feina, que vaig decidir posar-me a prova. Podia mirar alguna cosa que tothom ja havia estudiat molt de temps i trobar alguna cosa completament nova? Bé, em vaig fixar en aquestes coses anomenades moviment brownià -- només es mou. Vaig estar jugant-hi per un temps, i vaig tornar a començar. Vaig dir-li al meu assistent, "No hi veig res. Podries pintar-ho?" I ho va pintar, cosa que vol dir que va pintar tot l'interior. Em va dir: "Bé, això és el que ha sortit..." I vaig dir-li, "Atura't! Atura't! Atura't! Ja ho veig, és una illa." I va ser sorprenent. El moviment brownià, que té un nombre de rugositat 2, ja queda definit. El vaig mesurar, 1,33. Un cop i un altre, i un altre. Llargues mesures, grans moviments brownians, 1,33. El problema matemàtic: com provar-ho? Els meus amics van trigar 20 anys. Tres d'ells en tenien proves incomplertes. S'hi van trobar, i junts van obtenir-ne la prova. I van rebre la gran medalla [Fields] de les matemàtiques, una de les tres medalles que la gent ha rebut per demostrar coses que jo ja havia vist però no havia estat capaç de demostrar.

Ara tothom em pregunta en un moment o altre: "Com va començar tot plegat? Què us va portar cap a aquest camp tant estrany?" Què em va portar a ser, alhora, enginyer mecànic, geògraf i matemàtic i encara més: físic? Bé, de fet vaig començar, per estrany que sembli, estudiant els preus de la borsa de valors. I llavors tenia aquesta teoria, i vaig escriure llibres sobre això, la pujada dels preus financers. A l'esquerra veieu les dades en un llarg període de temps. A la dreta, a dalt, veieu una teoria que està molt, molt de moda. Era molt senzilla, i hi pots escriure molts llibres i molt depressa. (Rialles) Hi ha milers de llibres sobre això. Ara compareu això amb els increments reals del preu. i on són els increments reals del preu? Bé, aquestes altres línies inclouen alguns increments reals de preu i alguna trampa que vaig fer. L'idea aquí era que un ha de ser capaç de -- com dir-ho? -- modelar la variació de preu. I va funcionar prou bé fa uns 50 anys. Durant 50 anys la gent se'n fotia de mi perquè ho podien fer d'una manera molt més fàcil. Però ja us dic que, ara mateix, la gent m'escolta. (Rialles) Aquestes dues corbes són mitjanes. Standard & Poor, la blava. I la vermella és la de Standard & Poor, de la que s'han tret les cinc discontinuïtats més grans. Ara les discontinuïtats són una llauna. Per això en molts estudis de preus, un les deixa de banda. "Be, són imprevistos. I et quedes amb una cosa sense sentit. Imprevistos. En aquesta imatge cinc imprevistos són tant importants com qualsevol altra cosa. En altres paraules, no són els imprevistos el que hauríem de treure. Aquest és realment el fons del problema. Si els arribes a dominar, domines el preu. I si no els arribes a dominar, pots dominar el petit soroll tan bé com puguis, però no és important. Bé, aquí hi ha les corbes per a això.

Ara, ja arribo a la conclusió, que és el conjunt que porta el meu nom. D'alguna manera es tracta de la història de la meva vida. La meva adolescència va passar durant l'ocupació alemanya de França. I com pensava que podria desaparèixer el dia o la setmana següent, Tenia grans somnis. I després de la guerra, Em vaig retrobar amb un oncle. El meu oncle era un matemàtic molt notable i em va dir, "Mira, hi ha un problema que no vaig poder resoldre fa 25 anys, i que ningú pot resoldre. És l'obra d'un home anomenat [Gaston] Julia i d'en [Pierre] Fatou. Si poguessis trobar alguna cosa nova, qualsevol cosa, ja hauries fet carrera." Molt senzill. I hi vaig cercar, i com els milers de persones que ho van intentar abans que jo, no hi vaig trobar res.

Però van arribar els ordinadors. I vaig decidir d'aplicar-hi els ordinadors, no als nous problemes de les matemàtiques -- com aquest trencaclosques, això és un problema nou -- sinó als vells problemes. I vaig anar dels anomenats nombres reals, que són punts en una línia, als nombres complexos, els imaginaris, que són punts en un pla, que és el que un hauria de fer. I va aparèixer aquesta figura. Aquesta figura és extraordinàriament complicada. L'equació és amagada allà, z es transforma en z al quadrat més c. És tan senzilla, tan eixuta. És tan poc interessant. Però si l'apliques un cop, dos, dos, apareixen meravelles. Vull dir que surt això. No vull explicar aquestes coses. Això és el que surt. Això és el que surt. Figures que són tan complicades, amb tanta harmonia i bellesa. Això surt repetidament, un cop i un altre. I un dels meus descobriments més importants va ser trobar que aquestes illes eren iguals que l'illa gran, més o menys. I tens tota aquesta extraordinària decoració barroca per tot arreu. Tot això surt d'aquesta petita fórmula, que conté nomès, cinc simbols. I també aquesta altra. S'hi va afegir el color per dos motius. Primer perquè aquestes figures són tan complicades, que un no trobaria el sentit dels nombres. I si els dibuixes, has de triar algun sistema. I el meu principi ha estat sempre presentar les figures amb diferents acoloriments, perquè alguns acoloriments posen de relleu això, i d'altres això o allò. És molt complicat.

(Rialles)

El 1990, vaig anar a Cambridge, UK a rebre un premi de la universitat. I tres dies després, un pilot volant per sobre els camps es va trobar això. D'on venia això? Òbviament, dels extraterrestres. (Rialles) Bé, doncs el diari de Cambridge va publicar un article sobre aquell "descobriment" i l'endemà va rebre 5.000 cartes de gent dient, "Però si nomès és el conjunt de Mandelbrot, però ben gran."

Bé, deixeu-me acabar. Aquesta figura va aparèixer d'un exercici de matemàtica pura. Les meravelles insondables surten de regles ben senzilles, que es repeteixen sense fi.

Moltes gràcies.

(Aplaudiments)