Рон Еглаш за африканските фрактали

Искам да започна моята история в Германия, през 1877, с математик на име Георг Кантор. Кантор решил че ще вземе една права и ще изтрие средната и третина и взимайки двете получени прави ще повтори същото действие - рекурсивен процес. Така той започва с една права, след това две, после четири, шестнайсет и така нататък. И ако направи това безкрай много пъти, което е позволено в математиката, той получава безкраен брой прави, всяка от тях съдържаща безкрай много точки. Така той осъзнал че има множество, чийто брой на елементите бил по-голям от безкрай. И това му отнесло ума. Буквално. Той постъпил в санаториум. (Смях) Когато излязъл от санаториума, той бил убеден, че е бил изпратен на Земята да основе теорията на трансфинитните множества, защото най-голямото безкрайно множество би бил самия Господ. Той бил доста религиозен човек. Математик с мисия.

И други математици са правили същото нещо. Шведски математик, фон Кох, решил че вместо да изважда прави, ще ги добавя. И така получил тази красива крива. Няма конкретна причина защо трябва да започнем с тази начална форма; може да използваме каквато си искаме форма. Ще пренаредя това и ще запратя това някъде -- там долу, добре -- и сега при итерация, тази начално форма се разгръща в съвсем различно изглеждаща структура. тези всичките притежават свойството самоподобие: частта прилича на цялото. Това е същият модел в много различни мащаби.

Така, математиците смятали че това е много странно, защото като смаляваш линията, измерваш все по-голяма дължина. И тъй като те минали през итерациите безкрай много пъти, както линията се смалявала до безкрай, дължината стигнала до безкрай. В това нямало никакъв смисъл, затова те запратили тези криви на гърба на книгите за математика. Казали, че това са патологични криви и ние не трябва да ги обсъждаме. (Смях) Това вършило работа стотина години.

И тогава през 1977, Беноа Манделброт, френски математик, осъзнал че ако се направи компютърна графика и се използват тези форми, които той нарекъл фрактали, се получават формите на природата. Получават се човешки бели дробове, получават се акациеви дървета, получава се папрат, получават се тези красиви природни форми. Ако погледнете палеца и показалеца си точно където се срещнат -- хайде, направете го сега -- -- и си отпуснете ръката, ще видите извивка, и след това гънка в извивката, и извивка в гънката. Нали така? Тялото ви е покрито с фрактали. Математиците които казвали че това са патологично безполезни форми? Те са изричали тези думи с фрактални дробове. Много иронично. И тук ще ви покажа малко природна рекурсия. Отново, само взимаме тези прави и рекурсивно ги заменяме с цялостната форма. И ето я втората итерация, и третата, четвъртата и така нататък.

Ето че природата има тази самоподобна структура. Природата използва самоорганизиращи се системи. И така, през 80-те, случайно забелязах че ако погледнете небесна фотография на африканско село, ще видите фрактали. И си помислих, "Това е удивително! Интересно ми е защо?" И разбира се трябваше да отида в Африка и да попитам местните защо. Така че получих Фулбрайт стипендия само за да пътувам из Африка за една година, питайки хората защо строят фрактали, което е прекрасна работа ако можеш да я получиш. (Смях)

И така най-после стигнах до този град, и бях направил малък фрактален модел за града само за да видя как би се разгърнал -- но когато стигнах дотам, отидох до двореца на вожда, и френския ми не е много добър; казах нещо от сорта на: "Аз съм математик и бих желал да застана на покрива ви." Но той го прие спокойно и ме заведе там горе, и поговорихме за фрактали. И той каза: "О, да, да! Ние знаем за правоъгълника в правоъгълник, знаем всичко за това." И както се оказа, кралската емблема има правоъгълник в правоъгълника, и пътя през двореца е всъщност ето тази спирала тук. И вървейки по пътя, трябва да бъдете все по-любезни и по-любезни. Така че те нанасят социалния статут върху геометрията; това е съзнателен модел. Той не е несъзнателен като фрактала при термитниците.

Това е село в южна Замбия. Ба-Ила построили това село около 400 метра в диаметър. Има голям пръстен. Пръстените които представляват семейните ограждения стават все по-големи и по-големи като вървите към задната част, и после стигате до кръга на вожда тук към края и близките на вожда в този пръстен. Ето малък фрактален модел за него. Ето една къща със свещен олтар, това е къщата на къщите, семейното ограждение, със хората тук, където би бил свещеният олтар, а ето и селото като цяло -- пръстен от пръстен от пръстени с разширеното семейство на вожда тук, близките на вожда тук, и ето тук е малко село, само толкова голямо. Сега може би се чудите, как могат хора да се вместят в такова дребно селце? Това е защото те са духове. Това са предците. И разбира се духовете имат малко миниатюрно селце вътре в тяхното, нали така? Точно както Георг Кантор е казал, рекурсията продължава завинаги.

Това е в планините Мандара, близо до нигерийската граница в Камерун, Нокоулек. Видях тази диаграма нарисувана от френски архитект, и си помислих: "Леле! Какъв красив фрактал!" И така се опитах да измисля начална форма, която, при итерация, ще се разгърне в това нещо. Измислих ето тази структура. Да видим, първа итерация, втора, трета, четвърта.. Сега, след като направих симулацията, осъзнах, че цялото село някак си върви в спирала, ето така, и я има тази копираща се права -- самокопираща се права, която се разгръща във фрактала. Ами, забелязах че тази права е точно където се намира единствената квадратна сграда в селото. Когато стигнах до селото казах: "Може ли да ме заведете до квадратната сграда? Мисля че нещо се случва там." И те казаха: "Ами, може да те заведем там, но ти не можеш да влезеш вътре, защото това е свещения олтар, където ние правим жертвоприношения всяка година, за да поддържаме тези годишни цикли на плодородие за полетата." И аз започнах да осъзнавам, че циклите на плодородие са точно като рекурсивните цикли в геометричния алгоритъм, който построява това. И рекурсията в някои от тези села продължава надолу до много малки мащаби.

Ето едно нанканинско село в Мали. Както можете да видите, като влезете в семейното ограждение -- влизате и ето тук са гърнета в огнището, натрупани рекурсивно. Ето кратуни, които Исса току що ни показваше, и те са натрупани рекурсивно. Най-малката кратуна съдържа душата на жената. Kогато тя умре, те имат церемония, при която чупят тази купчина наречена заланга и нейната душа отива към вечността. Отново безкрайността е важна.

Сега, може би бихте се запитали три въпроса в този момент. Не са ли тези мащабируеми модели универсални за цялата туземска архитектура? И това всъщност беше първоначалната ми хипотеза. Когато за пръв път видях тези африкански фрактали си помислих: "Леле, тогава всяка туземска група която няма държавно общество, този тип йерархия, трябва да има такава архитектура." Но това се оказва невярно.

Започнах да събирам небесни фотографии на индианска и южнотихоокеанска архитектура; само африканските бяха фрактали. И ако се замислите, всички тези различни общества имат различни геометрични теми. Индианците ползват комбинация от кръгова симетрия и четирипластова симетрия. Можете да видите това на керамичните изделия и кошниците. Ето въздушна фотография на една от Анасазийските руини; можете да видите, че е кръгла в най-големия мащаб, но става правоъгълна в по-малък мащаб, нали? Това не е същия модел в два различни мащаба.

Второ, може да попитате, "Добре, д-р Еглаш, не игнорирате ли многообразието на африканските култури?" И три пъти, отговорът е не. Най-напред, съгласен съм с прекрасната книга на Мудимбе, "Изобретяването на Африка,” че Африка е изкуствено изобретение на първоначалния колониализъм, и след това опозиционните движения. Не, защото широко споделени дизайнерски практики не гарантират единна култура -- и определено не е в ДНК-то. И накрая, фракталите имат самоподобие -- така че те са подобни на себе си, но не са задължително подобни един на друг -- може да видите много различни приложения на фрактали. Това е споделена технология в Африка.

И най-накрая, ами, не е ли това просто интуиция? Това не са наистина математически знания. Африканците няма как да използват фрактална геометрия, нали? Тя не е била измислена до 70-те. Ами, вярно е, че някои африкански фрактали са доколкото ми е известно чиста интуиция. Така че за някои от тези неща, обикалям из улиците на Дакар питайки хората: "Какъв е алгоритъмът? Какво е правилото за изработване на това?" И те казват: "Ами, ние прости ги правим по този начин, понеже изглеждат красиво, глупчо." (Смях) Но понякога, ситуацията не е такава. В някои случаи всъщност ще има алгоритми, и то много изтънчени алгоритми. В Мангету скулптурата, ще видите тази рекурсивна геометрия. В етиопските кръстове, виждате това прекрасно разгръщане на формата.

В Ангола, хората Чокуе рисуват линии в пясъка, и те са това, което немският математик Ойлер нарекъл граф; ние сега го наричаме Ойлеров път -- не може да си вдигаш писеца от повърхността и не може да повтаряш една и съща линия два пъти. Но те го правят рекурсивно и го правят с възрастова система, така че малките деца научават този, а след това по-големите деца научават този, после при следващото посвещаване, научаваш този. И със всяка итерация на този алгоритъм, научаваш итерациите на мита. Научаваш следващото ниво на познание.

И накрая, навсякъде из Африка, ще видите тази игра на дъска. Нарича се Овари в Гана, където аз я изучавах; нарича се Манкала тук на източното крайбрежие, Бао в Кения, Сого другаде. Ами, виждате самоорганизиращи се мотиви които спонтанно се появяват в тази игра. И местните в Гана знаеха за тези самоорганизиращи се мотиви и биха ги използвали стратегически. Така че това е много съзнателно знание.

Ето един прекрасен фрактал. Навсякъде където отидете в Сахел ще видите тази ограда. И разбира се оградите по света са всичките декартови, всички стриктно праволинейни. Но тук в Африка има тези нелинейни мащабируеми огради. Така че аз проследих един от местните, който прави тези неща, един човек в Мали точно пред Бамако, и го попитах: "Защо правите фрактални огради? Никой друг не ги прави." И отговора му беше много интересен. Той каза: "Ами, ако живеех в джунглата, щях да използвам само дългите редове от слама, защото е бързо, а и те са много евтини. Не отнема много време, не отнема много слама." Той каза: "Но вятъра и праха влизат сравнително много лесно. От друга страна, плътните редове на самия връх, те наистина задържат вятъра и прахта. Но отнема много време и отнема много слама, защото те са наистина плътни." "Така," той каза, "ние знаем от опит че колкото по-нагоре от земята се изкачваш, толкова по-силно духа вятъра." Нали? Това е точно като анализ на цена към изгода. Измерих дължините на сламата, поставих ги на логаритмична диаграма, получих мащабируема експонента, и тя почти точно съвпада с експонентата за връзката между скорост на вятъра и височина в наръчника за вятърно инженерство. Така че тези хора са уцелили в десетката, относно практическата употреба на мащабируеми технологии.

Най-сложният пример за алгоритмичен подход към фракталите, който аз открих, беше всъщност не в геометрията, а в символен код, и това беше банамското гадаене по пясъка. Същата система за гадаене съществува навсякъде из Африка. Можете да я намерите на източното крайбрежие, а също и на западното, и често символите са много добре запазени. И така, всеки от тези символи има четири бита -- той е четири битова двоична дума -- рисуваш тези линии в пясъка на случаен принцип, след това броиш и ако е нечетно число, поставяш една черта, а ако е четно число, поставяш две черти. И те правеха това много бързо, и аз не можех да разбера накъде са се запътили -- Те правеха случайното избиране само четири пъти -- Не можех да разбера откъде взимат останалите 12 символа. И те не искаха да ми кажат. Те казаха: "Не, не, не мога да ти кажа това." И аз казах: "Виж, ще ти платя, можеш да ми бъдеш учител," ще идвам всеки ден и ще ти плащам." Те казаха: "Това не е въпрос на пари. Това е религиозен въпрос."

И накрая, от отчаяние, казах, "Ами, нека да ви обясня за Георг Кантор през 1877." И започнах да им обяснявам защо съм в Африка, и те много се развълнуваха като видяха множеството на Кантар. Един от тях каза, "Ела тук. Мисля че мога да ти помогна." И така той ме преведе през ритуала за посвещение за бамански свещеник. И разбира се, аз се интересувах само от математиката, така че през цялото време, той клатеше глава повтаряйки: "Да знаеш, аз не го научих по този начин." Но аз трябваше да спя с ядка от кола до леглото ми, заровена в пясъка, и да дам седем монети на седемте прокаженици и така нататък. Най-накрая, той разкри истината около това нещо. Оказа се, че това е псевдослучаен генератор за числа, използващ детерминистичен хаос. Когато имате четири битов символ, го поставяте заедно с още един обърнат настрани. Четно плюс нечетно дава нечетно. нечетно плюс четно дава нечетно. Четно плюс четно дава четно. Нечетно плюс нечетно дава четно. Това е сбор по остатък от делене с 2, точно както проверката за равенство на битовете във вашия компютър. И след това взимате този символ и го връщате вътре, така че това е самогенериращо се разнообразие от символи. Те наистина използват един вид детерминистичен хаос правейки това. Сега, понеже това е двоичен код, може лесно да се осъществи в хардуера -- какъв фантастичен инструмент за обучение би било това в африканските училища по инженерство.

Най-интересното нещо което открих за това е историческо. През 12-ти век, Хюго Санталия го донесъл в Испания от ислямски мистици. И там го въвел в средите на алхимиците като геомантика: гадаене чрез земята. Това е геомантична схема нарисувана за крал Ричард II през 1390. Лайбниц, немският математик, говорел за геомантика в неговата дисертация наречена "Де Комбинатория." Той казал: "Ами, вместо да използваме една черта и две черти, нека използваме една и нула, и така можем да броим със степени на двойката." Нали? Единици и нули, двоичният код. Джордж Бул взел двоичния код на Лайбниц и създал булевата алгебра, и Джон ван Нюман взел булевата алгебра и създал дигиталния компютър. Така че всички тези малки PDA и лаптопи -- всяка дигитална схема в света -- започнала в Африка. И аз знам, че Брайън Ино казва, че няма достатъчно от Африка в компютрите; знаете ли, не мисля че има достатъчно африканска история в Брайън Ино. (Аплодисменти)

Нека да завърша със само няколко думи, за приложението които открихме за това. Можете да отидете на нашият уеб сайт, всичките аплети са безплатни; те просто вървят в браузъра. Всеки по света може да ги използва. Програмата на Националната Научна Фондация - "Разширяване на участието в компютъризацията" - наскоро ни награди със субсидия за изработване на програмируема версия на тези дизайнерски инструменти и да се надяваме, че след три години всеки ще може да отиде в интернет и да създаде свои собствени симулация и свои собствени творения. Ние се концентрираме в САЩ върху афроамерикански ученици, а също така и индианци и латиноамериканци. Намерихме статистически значително подобрение при деца, използващи софтуера в часове по математика, в сравнение с контролна група, която нямаше софтуера. Така че наистина е успешно да учиш децата, че имат наследство, свързано с математиката, а не само песни и танци. Започнахме пилотна програма в Гана, като получихме малка начална субсидия, само за да видим дали местните ще желаят да работят с нас; много сме развълнувани за бъдещите възможности в това отношение.

Също работихме и по дизайн. Не поставих името му тук -- мой колега, Кери, в Кения, измисли прекрасна идея за използването на фрактални структури за пощенски адреси в села, които имат фрактална структура, защото ако се опитате да наложите мрежова пощенска структура на фрактално село, не е много подходящо. Бернард Чуми от Колумбийския университет използва това при дизайна на музей за африканско изкуство. Дейвид Хюз от Щатския университет на Охайо написа учебник за начинаещи по афроцентрична архитектура, в който той е използвал някои от тези фрактални структури.

И накрая, искам само да отбележа, че тази идея за самоорганизация, както чухме по рано, тя е в мозъка. Тя е -- тя е в системата за търсене на Гугъл. Всъщност, причината, поради която Гугъл бяха толкова успешни е защото те бяха сред първите възползвали се от самоорганизиращите свойства на мрежата. Тя е в екологичното постоянство. Тя е в еволюционната сила на предприемачеството, нравствената сила на демокрацията. Тя е също в някои лоши неща. Самоорганизацията е причината, поради която вирусът на СПИН се разпространява толкова бързо. И ако не си мислите че капитализмът, който е самоорганизиращ се, може да има деструктивни ефекти, не сте си отворили достатъчно очите. Така че трябва да помислим относно, както казах по-рано, традиционните африкански методи за създаване на самоорганизация. Те са силни алгоритми. Това са начини за създаване на самоорганизация -- на предприемачество -- които са нежни, които са егалитарни. Така че, ако искаме да намерим по-добър начин за вършене на такъв вид работа, не трябва да търсим по-далеч от Африка, за да намерим силни самоорганизиращи се алгоритми. Благодаря ви.