Маркъс дю Сотой: Симетрията, загадката на реалността

На 30-ти май 1832 г. бил чут един изстрел, отекнал из цяла 13-та община в Париж. (Изстрел) Един селянин, който отивал на пазара онази сутрин, се затичал към мястото, откъдето дошъл изстрелът, и намерил млад мъж да се превива в агония на пода, явно застрелян при дуел. Името на младежа било Еварист Галоа. Той бил известен революционер в Париж по онова време. Галоа бил отведен в местната болница, където починал на следващия ден в ръцете на брат си. Последните думи, които казал на брат си, били: "Не плачи за мен, Алфред. Нужен ми е целият кураж, който мога да събера, за да умра на 20-годишна възраст."

Всъщност, не заради революционна политика бил известен Галоа. Няколко години по-рано, още като ученик, той всъщност направил стъпка за решаването на един от големите математически проблеми от онова време. Писал до всички академици в Париж, опитвайки се да обясни теорията си. Но академиците не разбирали нищо от онова, което пишел. (Смях) Така пишел повечето от своята математика.

През нощта преди онзи дуел той осъзнал, че това вероятно е последният му шанс да се опита да обясни голямото си откритие. Останал буден цяла нощ, захласнат в писане, опитвайки се да обясни идеите си. На зазоряване, когато тръгнал да срещне съдбата си, той оставил този куп книжа на масата за следващото поколение. Може би фактът, че останал буден цяла нощ, занимавайки се с математика, бил причината да е толкова лош стрелец онази сутрин и да го убият.

Но вътре в онези документи се съдържал един нов език - език за разбиране на едно от най-фундаменталните понятия в науката - а именно, симетрията. Симетрията е почти природен език. Тя ни помага да разберем толкова много различни частици от научния свят. Например, молекулярната структура. Какви кристали са възможни, можем да разберем чрез математиката на симетрията.

В микробиологията всъщност не искате да получите симетричен обект. Защото те като цяло са доста противни. Вирусът на свинския грип в момента е симетричен обект. И използва ефикасността на симетрията, за да може да се размножава толкова добре. Но в един по-голям биологичен мащаб, всъщност симетрията е много важна, защото всъщност комуникира генетична информация.

Снимал съм два кадъра тук и съм ги направил изкуствено симетрични. Ако ви попитам кой от тях смятате за по-красив, вероятно ще бъдете привлечени към долните два. Защото е трудно да се прави симетрия. И ако можеш да направиш себе си симетричен, изпращаш знак, че имаш добри гени, отгледан си добре и поради това от теб ще стане добър партньор. И така, симетрията е език, който може да помогне за комуникация на генетична информация.

Симетрията може също да ни помогне да обясним какво се случва с Големия адронов ускорител в Европейската организация за ядрени изследвания (ЕОЯИ). Или какво не се случва с Големия адронов ускорител в ЕОЯИ. За да можем да правим предвиждания за фундаменталните частици, които можем да видим там, изглежда, че всички те са страни от някаква странна симетрична форма в пространство от по-високо измерение.

Мисля, че Галилео е резюмирал много добре мощта на математиката за разбиране на научния свят около нас. Той пише: "Вселената не може да бъде разчетена, докато не научим езика и не започнем да познаваме символите, с които е написана. Тя е написана на математически език. А буквите са триъгълници, кръгове и други геометрични фигури - без тях означава, че е невъзможно за човека да схване дори една дума."

Но не само учените се интересуват от симетрията. Хората на изкуството също обичат да си играят със симетрията. Те също имат малко по-двусмислено отношение с нея. Тук Томас Ман говори за симетрия във "Вълшебната планина". Един негов герой описва снежинката. И казва, че "потръпва от съвършената й прецизност, намира я за мъртвешка, самата същност на смъртта."

Но онова, което правят хората на изкуството, е да създават очаквания за симетрия, а после да ги нарушават. Един красив пример за това всъщност открих, когато посетих един мой колега в Япония, професор Курокава. Той ме заведе в храмовете в Никко. Точно след като бе направена тази снимка, се изкачихме по стълбите. А портата, която виждате отзад, има осем колони с красива симетрична украса върху тях. Седем от тях са напълно еднакви, а осмата е обърната с главата надолу.

Казах на професор Курокава: "Уау - архитектите наистина трябва да са се вбесили, когато са осъзнали, че са направили грешка, като са обърнали една с главата надолу." А той отвърна: "Не, не, не. Това е било напълно съзнателно действие." И ми спомена този прекрасен цитат от японските "Есета за бездействие" от XIV век. В тях есеистът пише: "Във всичко еднообразието е нежелателно. Да оставиш нещо незавършено го прави интересно и дава на човек усещането, че има място за растеж." Дори когато строят императорския дворец, те винаги оставят едно място незавършено.

Но ако трябваше да избера една сграда в света, в която да бъда изоставен на самотен остров до края на живота си, тъй като съм пристрастен към симетрията, вероятно бих избрал Алхамбра в Гренада. Това е дворец, честващ симетрията. Наскоро заведох семейството си - правим едни такива доста странни математически пътувания, които семейството ми обича. Това е синът ми Томер. Виждате, че наистина се радва на математическото ни пътуване до Алхамбра. Но исках да опитам да го обогатя. Мисля, че един от проблемите с училищната математика е, че тя не разглежда това как математиката е вградена в света, в който живеем. Исках да му отворя очите за това колко много симетрии има в Алхамбра.

Вече го виждате. Веднага щом влезете, огледалната симетрия във водата. Но тя е по стените, където се случват всички вълнуващи неща. Мавърските художници са били лишени от възможността да рисуват неща с душа. Затова са изследвали едно по-геометрично изкуство. И така, какво е симетрия? Алхамбра някак задава всички тези въпроси. Какво е симетрия? Когато [има] две от тези стени, дали те имат едни и същи симетрии? Можем ли да кажем дали те са открили всички симетрии в Алхамбра?

Галоа създал език, който е в състояние да отговори на някои от тези въпроси. За Галоа симетрията - за разлика от Томас Ман, при когото тя била нещо неподвижно и мъртвешко - за Галоа симетрията била изцяло свързана с движение. Какво можеш да направиш с един симетричен обект, да го преместиш нанякъде, така че да изглежда същият, както преди да го преместиш? Обичам да го описвам като магически трикови движения. Какво може да се направи с нещо? Затворете очи. Правя нещо и отново го оставям. Изглежда, както преди да започна.

Например, стените в Алхамбра, мога да взема всички тези плочки, да ги поставя на жълтото място, да ги завъртя на 90 градуса, да ги върна отново всички, и те съвършено прилягат там долу. И ако отворите пак очи, няма да разберете, че са се преместили. Но това е движението, което всъщност характеризира симетрията вътре в Алхамбра. То е свързано също и със създаването на език за описание на това. Силата на математиката често е да променя едно нещо в друго, да променя геометрията в език.

Ще ви преведа през... може би ще ви окажа малко математически натиск... така че се дръжте... ще ви тласна малко към разбирането как работи този език, което ни позволява да уловим какво е симетрия. Да вземем тези два симетрични обекта тук. Да вземем усуканата шестолъчна морска звезда. Какво мога да направя с морската звезда, след което тя да изглежда същата? Е, тук я завъртях с една шеста оборот, и все още изглежда, както преди да започна. Бих могъл да я завъртя с една трета от оборота или с половин оборот, или да я върна към образа й, или две трети оборот. И една пета симетрия - мога да я завъртя с пет шести от оборота. Това са нещата, които мога да направя със симетричния обект, които да му придават вид, както преди да започна.

За Галоа всъщност имало и шеста симетрия. Може ли някой да се сети какво друго бих могъл да направя с това, което би го оставило във вида, отпреди да започна? Не мога да го преобърна, защото съм го завъртял малко, нали? Няма огледална симетрия. Но онова, което мога да направя, е просто да я оставя, където си е, да я вдигна и да я оставя отново. А за Галоа това било като нулевата симетрия. Всъщност, цифрата нула е много модерно понятие, от седми век преди новата ера, изобретено от индийците. Изглежда лудост да се говори за нищо. Това е същата представа. Това е симетрично... Всичко има симетрия, когато просто го оставите, където си е.

И така, този обект има шест симетрии. Ами триъгълникът? Е, мога да завъртя с една трета от оборота по часовниковата стрелка или една трета оборот обратно на часовниковата стрелка. Но сега това има известна огледална симетрия. Мога да го отразя през линията през Х, или линията през Y, или линията през Z. Пет симетрии, а после, разбира се, нулевата симетрия, където просто го вземам и го оставям, където е. Така че тези два обекта имат шест симетрии. Аз силно вярвам, че математиката не е спорт за зрители и че трябва да се занимаваш донякъде с математика, за да я разбереш наистина.

Ето малък въпрос към вас. Ще дам награда в края на разговора на човека, който се приближи най-много до отговора. Кубът на Рубик. Колко симетрии има един куб на Рубик? Колко неща мога да направя с този обект и да го сглобя, така че още да изглежда като куб? Става ли? Искам да помислите по тази задача, докато продължаваме, и да преброите колко симетрии има. Ще има награда за човека, който стигне най-близо накрая.

Но да се върнем към симетриите, които имам за тези два обекта. Това, което осъзнал Галоа: не става дума само за индивидуалните симетрии, а за начина, по който взаимодействат една с друга, който всъщност характеризира симетрията на един обект. Ако направя едно магическо триково движение, последвано от друго, комбинацията е трето магическо триково движение. И тук виждаме как Галоа започва да развива език, за да се види същината на невижданите неща, онзи вид абстрактна представа за симетрията, лежаща в основата на този физически обект. Например, какво ще стане, ако завъртя морската звезда с една шеста оборот, а после с една трета от оборота?

Дадох им имена. Главните букви A, B, C, D, E, F са имената на ротациите. В, например, завърта малката жълта точка към В на морската звезда. И така нататък. Ами ако направя В, което е една шеста от оборота, последвано от С, което е една трета от оборота? Е, да направим това. Една шеста от оборота, последвана от една трета от оборота, комбинираният ефект е, като че ли току-що съм завъртял с половин оборот наведнъж. Малката таблица тук записва как работи алгебрата на тези симетрии. Правя едното, последвано от другото, и отговорът е ротация D, половин оборот. Ами ако го направя в обратен ред? Ще има ли някакво значение? Да видим. Да направим първо една трета от оборота, а после една шеста от оборота. Разбира се, няма никаква разлика. Пак се завърта с половин оборот.

Има известна симетрия тук в начина, по който симетриите взаимодействат една с друга. Но това е напълно различно от симетриите на триъгълника. Да видим какво се случва, ако направим две симетрии с триъгълника, една след друга. Да направим ротация с една трета оборот обратно на часовниковата стрелка и да отразим в линията чрез Х. Е, комбинираният ефект е, като че ли току-що съм направил отражение в линията чрез Z, като начало. А сега, да го направим в различен ред. Да направим първо отражението в Х, последвано от ротация с една трета оборот обратно на часовниковата стрелка. Комбинираният ефект е, че триъгълникът се оказва на съвсем различно място. Като че ли е отразен в линията чрез Y.

Сега има значение в какъв ред се извършват операциите. И това ни позволява да различим защо симетриите на тези обекти... и двата имат шест симетрии. Тогава защо не трябва да казваме, че имат едни и същи симетрии? Но начинът, по който симетриите взаимодействат, ни дава възможност... сега имаме език, с който да различаваме защо тези симетрии са различни в основата си. Може да опитате това дори когато отидете в кръчмата по-късно. Вземете една подложка за бирена халба, завъртете я с една четвърт завъртане, а после я преобърнете. После го направете в обратен ред. И картинката ще бъде обърната в противоположна посока.

Галоа е създал някои закони за това как тези таблици, как симетриите взаимодействат. Това е почти като таблици за Судоку. Не виждате нито една симетрия два пъти в никой ред или колона. С помощта на тези правила той е могъл да определи, че всъщност има само два обекта с шест симетрии. И те ще бъдат същите като симетриите на триъгълника, или симетриите на шестолъчната морска звезда. Мисля, че това е изумително развитие. Почти като понятието за число, което се развива за симетрия. Тук отпред седят един, двама, трима души, седнали на един, два, три стола. Хората на столовете са много различни, но числото, абстрактната идея за числото, е едно и също.

Виждаме това сега: връщаме се към стените в Алхамбра. Ето две много различни стени, много различни геометрични картини. Но чрез езика на Галоа можем да разберем, че абстрактните симетрии, лежащи в основата на тези неща, всъщност са едни и същи. Например, да вземем тази красива стена с леко усукани триъгълници. Може да ги завъртите на една шеста оборот, ако игнорирате цветовете. Не търсим съвпадение на цветове. Но формите съвпадат, ако завъртя с една шеста оборот около точката, където се срещат всички триъгълници. Ами центъра на триъгълника? Мога да завъртя на една трета оборот около центъра на триъгълника и всичко съвпада. Има едно интересно място на половината разстояние по ръба, където мога да завъртя на 180 градуса. И тогава всички плочки отново съвпадат. Значи, завъртате на половината по ръба, и всички съвпадат.

А сега, да се преместим на една много различно изглеждаща стена в Алхамбра. Намираме същите симетрии тук и същото взаимодействие. Така, имаше една шеста оборот. Една трета оборот, където се срещат Z парченцата. А половин оборот е на половината разстояние между шестте островърхи звезди. И въпреки че тези стени изглеждат много различни, Галоа е създал език, който казва, че всъщност симетриите в основата на тези неща са напълно еднакви. Това е симетрия, която наричаме 6-3-2.

Ето още един пример в Алхамбра. Това е стена, таван и под. Всички те изглеждат много различни. Но този език ни позволява да кажем, че са представяния на един и същ симетричен абстрактен обект, който наричаме 4-4-2. Няма нищо общо с футбола, а заради факта, че има две места, където може да се завърта с една четвърт оборот, и едно с половин оборот.

Тази мощ на езика е дори нещо повече, защото Галоа може да каже: "Дали мавърските художници са открили всички възможни симетрии на стените в Алхамбра? Оказва се, че е било почти така. Може да се докаже, с помощта на езика на Галоа, че всъщност има само 17 различни симетрии, които може да се направят в стените в Алхамбра. А те, ако се опитате да изградите различна стена с тази 18-та, ще трябва да има същите симетрии като една от тези 17.

Но това са нещата, които можем да видим. А мощта на математическия език на Галоа е, че той ни позволява да създаваме също и симетрични обекти в невиждания свят, отвъд двуизмерното, триизмерното, чак до четири-, пет- или безкрайно-мерното пространство. Там работя аз. Създавам математически обекти, симетрични обекти чрез езика на Галоа, в многомерни пространства. Мисля, че това е страхотен пример за невиждани неща, които мощта на математическия език позволява да се създават.

И аз като Галоа стоях буден снощи до сутринта, за да създам един нов математически симетричен обект за вас. Имам негово изображение тук. Е, за съжаление не е точно изображение. Ако може дъската ми да се премести тук отстрани - страхотно, отлично. Ето. За съжаление, не мога да ви покажа изображение на този симетричен обект. Но ето езика, който описва как взаимодействат симетриите.

Този симетричен обект още няма име. Хората обичат нещата да се наричат на тяхно име - на кратери на Луната, или нови видове животни. Затова ще ви дам възможност да наречете на свое име един нов симетричен обект, който не е имал име досега. А това нещо... видовете отмират, луните ги удрят метеори и експлодират - но този математически обект ще живее вечно. Той ще ви направи безсмъртни. За да спечелите този симетричен обект, онова, което трябва да направите, е да отговорите на въпроса, който ви зададох в началото. Колко симетрии има един куб на Рубик?

Добре, ще ви насоча. Вместо всички да викате, искам да преброите колко цифри има в това число. Става ли? Ако го имате като факториел, трябва да разширите факториелите. Добре - ако искате да играете, искам да станете, нали? Ако мислите, че знаете приблизително колко цифри, да... вече имаме един състезател тук... Ако никой от вас не стане, той го печели автоматично. Добре. Отлично. Значи имаме четири тук, пет, шест. Страхотно. Отлично. Така трябва да тръгне. Добре.

Всички с пет или по-малко цифри, трябва да седнете. Защото сте подценили. Пет или по-малко цифри. Значи, ако сте в десетките хиляди, трябва да седнете. 60 или повече цифри, трябва да седнете. Надценили сте. 20 цифри или по-малко - седнете. Колко цифри има във вашето число? Две? Значи трябваше да седнете по-рано. (Смях) Нека другите, които седнаха по време на 20, отново станат. Съгласни? Ако ви кажа 20 или по-малко, станете. Защото този... Мисля, че имаше няколко там. Хората, които току-що седнаха.

Добре, колко цифри имате в своето число? (Смее се) 21. Добре. А вие колко имате в своето? 18. Значи отива при онази дама там. 21 е най-близкото. Всъщност има... броят на симетриите в куба на Рубик има 25 цифри. А сега трябва да дам име на този обект. Как се казвате? Трябва ми презимето ви. Симетричните обекти като цяло... Кажете ми го буква по буква. Г-Х-Е-З Всъщност в математическия език вече е бил използван СО2. Затова не може да е така. Така че, Гхез, ето. Това е вашият нов симетричен обект. Вече сте безсмъртна. (Аплодисменти)

А ако бихте искали своя собствен симетричен обект, имам един проект, с който набирам средства за благотворителност в Гватемала, по който стоя буден цяла нощ и измислям обект за вас, срещу дарение за това благотворително дружество, подпомагащо децата да получат образование в Гватемала. Мисля, че онова, което ме движи като математик, са онези невиждани неща, нещата, които не сме открили. Всички въпроси без отговор, които правят математиката жив предмет. И винаги ще се връщам към този цитат от японските "Есета за бездействие: "Във всичко еднообразието е нежелано. Да оставиш нещо незавършено го прави интересно и дава на човек усещането, че има място за растеж." Благодаря. (Аплодисменти)