Конрад Волфрам: Да научим децата на истинска математика чрез компютри

Имаме сериозен проблем с обучението по математика в момента. Никой не е доволен. Онези, които учат, мислят, че е непрактично, безинтересно и трудно. Работодателите смятат, че учениците не знаят достатъчно. Правителствата осъзнават, че е важно за икономиката, но не знаят как да го подобрят. Учителите също са обезсърчени. И все пак математиката е по-важна за света, отколкото когато и да било. Така, от една страна, имаме липса на интерес в обучението по математика, а, от друга, все по-математически, по-зависим от числени методи свят от всякога.

Какъв е проблемът? Защо има такава пропаст и какво можем да направим? Мисля, че отговорът е пред очите ни. Компютри. Вярвам, че правилното използване на компютри е ключът към успешното обучение по математика. За да го обясня, нека първо видим как изглежда математиката в реалния свят и как в образованието. В реалния свят с математика не се занимават само математици. Използва се от геолози, инженери, биолози, различни хора - за моделиране и симулации. Всъщност е доста популярна. Но в учебниците изглежда много различно - опростени примери, много изчисления - предимно на ръка. Много неща, които изглеждат прости, а не трудни, както в реалния живот, освен ако не ги учите. Математиката понякога изглежда като математика - като в този пример - а понякога не - например "Пиян ли съм?" Получавате количествена оценка, базирана на съвременния свят. Не бихте го очаквали преди няколко години. Но сега можете да откриете всичко за онова - за съжаление, тежа малко повече - за онова, което се случва.

Нека се абстрахираме и да се запитаме защо обучаваме хората на математика? Какъв е смисълът от това? И по-специално, защо ги учим на математика по принцип. Защо е толкова важна част от образованието, че е задължителен предмет? Мисля, че има три причини: техническите професии, важни за развитието на нашата икономика. Онова, което наричам ежедневие. За да се справяте в света днес, трябва да разбирате изчислителни техники много по-добре от преди - да разбирате ипотеките си, да сте скептични за правителствени статистики, такива неща. И трето, онова, което бих описал като тренировка на логиката, на логическото мислене. През годините сме вложили много в изграждането на логическа мисъл у хората; това е част от човешкото общество. Много е важно да се усвои. Математиката е чудесен инструмент за целта.

Нека си зададем друг въпрос. Какво е математиката? Какво имаме предвид като кажем, че се занимаваме с математика или обучаваме хората на математика? Мисля, че има четири етапа, грубо казано, които започват с формулиране на правилния въпрос. Какво искаме да попитаме? Какво се опитваме да открием? Това е нещото, което е най-сбъркано във външния свят, повече от всичко друго в математиката. Хората задават грешния въпрос и изненадващо получават грешен отговор заради това, ако не заради друго. Следващият етап е да вземем проблема и да го превърнем от реален в математически. Това е втората стъпка. След като сме го направили, идват изчисленията. Да достигнем до някакъв отговор в математическа форма. Разбира се, математиката е много добра в това. И накрая, да се върнем обратно към реалния проблем. Отговаря ли на въпроса? И да го проверим - решаваща стъпка. В момента се случва нещо странно. В обучението по математика прекарваме около 80% от времето, учейки хората да правят стъпка три на ръка, а тя е единствената, която компютрите правят по-добре от всеки човек. Вместо това, трябва да използваме компютри за третата стъпка, а учениците да влагат много повече усилия в усвояването на останалите етапи - моделиране на проблеми, прилагане на модели, усвояване на процеса с помощта на учителя.

Важен момент тук е, че математиката не е просто изчисления. Тя е много по-всеобхватен предмет. Разбираемо е, че това се е получило в резултат на стотици години. Имало е само един начин да се смята и това е било на ръка. Но през последните десетилетия това напълно се е променило. Имаме най-голямата трансформация на древен предмет, която мога да си представя, заради компютрите. Изчисленията са били ограничаващата стъпка, но сега често не е така. Мисля, че математиката вече е освободена от изчисленията, но това все още не е навлязло в обучението. Гледам на изчисленията в известен смисъл като на механиката на математиката - досадната страна. Онова, което искаш да избегнеш, което да направи машината. Това е средство, а не самата цел. Автоматизацията ни позволява да избегнем механиката. Компютрите ни го позволяват. А това не е никак малък проблем. По груба преценка само днес по целия свят сме изразходили около 106 средни човешки живота в обучение на хора как да смятат на ръка. Това е огромен човешки ресурс. По-добре да сме наистина сигурни - и, между другото, не им е интересно, или поне на повечето. Така че по-добре да сме сигурни, че знаем защо го правим и има реална цел.

Мисля, че трябва да използваме компютри за изчисленията и да смятаме на ръка само когато наистина има смисъл в това. Мисля, че има такива случаи. Например смятане наум. Все още го ползвам, предимно за груба оценка. Хората казват, ако това и това е така, а аз казвам, че не съм сигурен и че ще го пресметна грубо. Все още е по-бързо така и по-практично. Така че практичността е един от случаите, заради които си заслужава да учим хората да смятат така. Има и определени концептуални неща, които биха могли да се възползват от смятането на ръка, но мисля, че са малко на брой. Едно от нещата, за които често говоря, е древногръцкият и как се връзва. Онова, което правим сега, е да караме насила хората да учат математика. Това е основен предмет. Искам да кажа, че ако хората се интересуват от изчисления на ръка или искат да следват собствените си интереси в предмет, колкото и странен да е - трябва да го направят. Така е правилно - хората да следват интересите си. Бях заинтересован от древногръцкия, но не мисля, че трябва да караме насила цялото население да учи подобен предмет. Не мисля, че е оправдано. Правя разграничение между това, което караме хората да правят и предмета, който е основен и предмета, който хората биха следвали заради собствения си интерес, а може би биха били вдъхновени от него.

Кои са проблемите, които се споменават? Един от тях е, че трябва първо да се разберат основите. Не трябва да се използва машината, преди да се разберат основите на предмета. Обичайният ми въпрос е какво се има предвид под основи? Основи на какво? Сред основите на шофирането ли е да се научим да ремонтираме колата? Основа за това да пишем ли е да се научим да острим перо? Не мисля. Мисля, че трябва да разграничим основите на онова, което целим, от това как се постига и от механизма, чрез който се прави. Автоматизацията позволява това разделение. Преди сто години е било вярно, че за да караме кола, е трябвало в известен смисъл да знаем механизма на действие, как е работило запалването и други подобни неща. Но автоматизацията в колите позволява разделение, така че шофирането сега е отделен предмет, така да се каже, от създаването на колата или от обучението за ремонт. Автоматизацията позволява това разделение а и също - в случая с шофирането, както и вярвам в бъдещото на математиката - демократичен подход на действие. Може да достигне до повече хора, които да се възползват.

Има още нещо, свързано с основите. Според мен хората не разграничават реда на изобретяване на инструментите от реда, по който трябва да се използват за преподаване. Просто защото хартията е изобретена преди компютрите, не означава, че човек се доближава до основите на предмета като използва хартия вместо компютър за преподаване на математика. Дъщеря ми ми даде много добър пример за това. Тя обича да прави неща, които нарича "хартиени лаптопи". (смях) Един ден й казах: "Когато бях на твоята възраст, не правех подобни неща. Знаеш ли защо?" След като го обмисли внимателно, отвърна: "Нямало е хартия?" (смях) Ако си роден след компютрите и хартията, няма значение в какъв ред ще се използват за преподаване, просто искаме най-добрия инструмент.

Друго възражение е, че компютрите прекалено опростяват математиката. Сякаш, ако използваме компютър, всичко е безсмислено натискане на бутони, но ако го направим на ръка, е интелектуално. Това ме дразни, да си призная. Наистина ли вярваме, че математиката, която повечето хора изучават в училище днес, е нещо повече от прилагане на процедури към проблеми, които не разбират, поради причини, които не са им ясни? Не мисля така. И което е по-лошо, нещата, които учат, вече дори не са полезни. Може би са били преди 50 години, но не и сега. Когато завършат училище, ще смятат на компютър. Наистина мисля, че компютрите могат да помогнат с този проблем, да направят задачите по-концептуални. Разбира се, като всеки добър инструмент, те също могат да бъдат използвани безумно, като например да се превръща всичко в мултимедийно шоу като примера, който ми показаха за решаване на уравнения на ръка, където компютърът беше учителят и показваше на ученика как да решава на ръка. Това е безумно. Защо използваме компютри, за да покажат на учениците как да решат нещо на ръка, което компютърът би трябвало да решава? Процесът е обърнат.

Нека ви покажа, че можем да направим задачите по-сложни за пресмятане. Обикновено в училище се решават квадратни уравнения, но когато използваме компютър, можем да ги променим. Да го направим от четвърта степен, за да е по-трудно за пресмятане. Същите принципи, но по-трудни изчисления. А задачите в реалния свят изглеждат точно толкова шантави и ужасни. Заплетени са като спагети. Не са опростени като нещата, които виждаме в училищната математика. Помислете за външния свят. Наистина ли вярваме, че технологиите, биологията и всички други неща, които използват компютри и математика, по някакъв начин са били омаловажени заради употребата на компютри? Не мисля така, дори напротив. Така че проблемът в обучението по математика не е, че компютрите ще опростят нещата, а това, че вече използваме опростени задачи. Друг аспект, който се споменава, е, че по някакъв начин процесът на смятането на ръка помага за разбирането. Така че, ако човек реши много примери ще намери отговора - ще разбере по-добре основите на системата. Мисля, че в това има известна доза истина и тя е, че разбирането на процедурите е важно, но днес има прекрасен начин за това. Нарича се програмиране.

Това е начинът, по който повечето процедури се описват в наши дни, и освен това е страхотен подход за увличане на учениците и за проверка на вникването в материала. Ако искате да проверите дали разбирате математика, напишете програма, която решава задачи. Мисля, че програмирането е начинът, по който трябва да го правим. Това, което намеквам, е, че имаме уникална възможност да направим математиката по-практична и едновременно с това по-задълбочена. Не се сещам за друг предмет, при който това скоро да е било възможно. Обикновено съществува избор между практическото и интелектуалното, но в случая мисля, че можем да постигнем и двете наведнъж. Освен това се откриват много нови възможности. Могат да се решават много повече задачи. Това, което печелим от този метод, е, че учениците придобиват интуиция и опит в по-големи количества, отколкото когато и да било. При това опит с по-трудни задачи - възможност да взаимодействат с математиката, да я усетят. Искаме хората инстинктивно да усещат математиката. Компютрите ни позволяват да го постигнем.

Освен това можем изцяло да пренаредим учебния план. Традиционно редът е според това колко е трудно пресмятането, но сега можем да пренаредим нещата според това колко е трудно да се разберат концепциите, без значение колко са трудни изчисленията. Математическият анализ се преподава много късно. Защо? Защото е ужасно трудно да се направят изчисленията. В действителност много от идеите са достъпни в много по-ранна възраст. Това е пример, който направих за дъщеря си. Съвсем елементарен е. Коментирахме какво се случва когато увеличим броя на страните на многоъгълник до много голямо число. Разбира се, превръща се в кръг. Между другото, тя много настояваше да може да се променя цветът, това е важна част от демонстрацията. Можете да видите, че това е ранна стъпка към граници и диференциално смятане и какво се случва, когато вземем екстремални случаи: много малки страни и голям брой на страните. Много простичък пример. Това е една идея, която хората обикновено виждат много години по-късно, а тя е много важна и практична. Една от спънките, които имаме, при въвеждането на този подход, са изпитите. В крайна сметка, ако изпитваме върху задачи на ръка, не може да се промени начинът на преподаване, така че да се използват компютри по време на учебния срок.

Така че това е важна причина - много е важно да се провеждат изпити на компютър. Тогава можем да задаваме въпроси, истински въпроси, като например коя застрахователна полица е най-добре да изберем? Истински въпроси, които хората си задават в ежедневието. Както виждате, това вече не е някаква опростена задача. Това е реалистичен модел, в който можем да оптимизираме резултата. Колко годишна полица ми трябва? Какво се случва с вноските и с лихвения процент? Не искам да кажа, че това е единственият тип въпроси, който трябва да се задава на изпитите, но мисля, че е основен тип, който в момента е напълно пренебрегнат, а е от изключителна важност за хората.

Мисля, че ни е нужна реформа по отношение на компютрите в математиката. Трябва да се уверим, че можем да придвижим икономиката и обществото напред на базата на идеята за интуитивно разбиране на математиката. Това не е допълнителна възможност. Държавата, която успее първа, по мое мнение, ще изпревари останалите в достигането на нова икономика, по-добра икономика, с по-добри перспективи. Всъщност, дори говоря за промяна от това, което наричаме икономика на познанието, към онова, което можем да наречем икономика на изчислителното познание, където висшата математика е неразделна част, както в момента е познанието. Можем да привлечем много повече ученици с това, като на тях същевременно им доставя удоволствие. И нека да разберем, че това не е постепенна промяна. Опитваме се да прекосим пропастта между училищната и истинската математика. А знаете, че ако се опитате да минете през пропаст, е по-лошо, отколкото ако въобще не тръгнете - катастрофа. Това, което предлагам, е да се засилим, да увеличим скоростта си дотолкова, че след като отскочим от едната страна, да стигнем другата. Като, разбира се, сме пресметнали диференциалното уравнение много внимателно.

(смях)

Искам да видя напълно обновен учебен план по математика, изграден върху факта, че компютрите не просто съществуват, а са на практика навсякъде. Изчислителните машини са навсякъде и ще стават все повече в близките години. Дори не съм сигурен, че трябва да наричаме този предмет математика, но съм сигурен, че това ще е основният предмет на бъдещето. Нека го направим. И докато се занимаваме с това, нека се позабавляваме - ние, учениците, и тук, на TED.

Благодаря.

(аплодисменти)