Беноа Манделброт: Фракталите и изкуството на неравността

Много благодаря. Моля, извинете, че седя; много съм стар. (Смях) Е, темата, която ще обсъждам, е в известен смисъл много чудата, защото е много стара. Неравността е част от човешкия живот за вечни времена. И древни автори са писали за нея. Била до голяма степен неконтролируема. И в известен смисъл изглеждала крайността на сложността, просто бъркотия, бъркотия и бъркотия. Има много различни видове бъркотия. А всъщност, поради чист късмет, преди много години се захванах с проучване на тази форма на сложност. И за свое дълбоко изумление открих следи... много сериозни следи, трябва да кажа... от ред в тази неравност. И така, днес бих искал да ви представя няколко примера какво представлява това. Предпочитам думата неравност пред думата неправилност, защото неправилност... за човек, който е учил латински в отдавна отминалата си младост... означава обратното на правилност. Но не е така. Правилността е обратното на грапавината, защото основният аспект на света е много неравен.

Да ви покажа няколко обекта. Някои от тях са изкуствени. Други от тях са много реални, в известен смисъл. Това е реалното. Карфиол. А защо показвам карфиол, много обикновен и древен зеленчук? Защото, колкото и да е стар и древен, е много сложен и много прост едновременно. Ако се опиташ да го претеглиш, разбира се, много е лесно да се претегли. А когато го ядеш, теглото е от значение. Но да предположим, че се опиташ да измериш повърхността му. Е, много е интересно. Ако срежеш, с остър нож, една от розичките на карфиол и я разгледаш отделно, се сещаш за цял карфиол, но по-малък. А после режеш пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и продължаваш да получаваш малки карфиоли. Преживяването на човечеството винаги е било, че има някои форми, които имат това чудато свойство, че всяка част е като цялото, но по-малко. А какво е правило човечеството с това? Много, много малко. (Смях)

Онова, което всъщност направих, е да проуча този проблем, и открих нещо доста изненадващо. Че неравността може да се измери чрез число, число, 2,3,1,2 и понякога много повече. Един ден мой приятел, за да ме дразни, донесе една картина и попита: "Каква е неравността на тази крива?" Отвърнах:" Ами, малко под 1,5." Беще 1,48. Изобщо не се забавих. Толкова отдавна разглеждам тези неща. Тези числа са числата, които обозначават неравността на тези повърхности. Бързам да кажа, че тези повърхности са напълно изкуствени. Направени са на компютър. И е въведено единствено число. Това число е неравност. И така, вляво взех неравността, копирана от много пейзажи. Вдясно взех по-висока неравност. Окото, след известно време, може да различава двете много добре.

Човечеството е трябвало да се научи да измерва неравността. Това е много неравно, това е някак гладко, а това - идеално гладко. Много малко неща са много гладки. Тогава, ако се опиташ да задаваш въпроси: каква е повърхността на един карфиол? Е, мериш, мериш и мериш. Всеки път, щом се приближиш, става по-голяма, до много, много малки разстояния. Каква е дължината на бреговата линия на тези езера? Колкото по-отблизо измерваш, толкова е по-голяма. Понятието за дължина на бреговата линия, което изглежда толкова естествено, защото се дава в много случаи, всъщност е пълна заблуда; няма такова нещо. Трябва да се прави различно.

Какъв смисъл има, да се знаят тези неща? Е, доста изненадващо, е добре в много отношения. За начало, изкуствени пейзажи, които някак изобретих, се използват постоянно в киното. Виждаме планини в далечината. Може да са планини, но може да са само формули, просто лъкатушещи. Много е лесно да се прави. Някога беше много времеемко, но сега е нищо работа. А сега, погледнете това. Истински бял дроб. Белият дроб е нещо много странно. Ако вземеш това нещо, много добре знаете, че тежи много малко. Обемът на белия дроб е много малък. А повърхнината на белия дроб? Анатомите много спорят за това. Някои казват, че един нормален мъжки бял дроб има вътрешна повърхнина, колкото вътрешната част на баскетболна топка. А други казват - не, пет баскетболни топки. Огромни несъгласия. Защо така? Защото всъщност повърхнината на белия дроб е нещо много зле дефинирано. Бронхите се разклоняват, разклоняват, разклоняват и спират да се разклоняват не заради някакъв принцип, а по физически съображения, слузта, която е в белия дроб. Онова, което се случва, е, че по този начин имаш много по-голям бял дроб, но ако той се разклонява и разклонява, до разстояния, приблизително едни и същи за кита, за човека и за един малък гризач.

А какъв смисъл има да се знае това? Ами, доста изненадващо, доста изумително анатомите имаха много лоша представа за структурата на белия дроб съвсем доскоро. А мисля, че моята математика, доста изненадващо, е била в огромна помощ на хирурзите, проучващи белодробните заболявания, както и бъбречните заболявания, всички тези разклоняващи се системи, за които нямаше геометрия. Така че, с други думи, се оказа, че конструирам геометрия, геометрия на неща, които нямаха геометрия. Един изненадващ аспект от това е, че много често правилата на тази геометрия са изключително кратки. Има формули, толкова дълги. И го огъваш няколко пъти. Понякога многократно - отново, отново и отново. Същото повторение. И накрая се получават такива неща.

Този облак е напълно, 100 процента изкуствен. Е, 99,9. А единствената част, която е естествена, е число, неравността на облака, която е взета от природата. Нещо толкова сложно като облак, толкова нестабилно, толкова вариращо, трябва да има просто правило зад себе си. Това просто правило не е обяснение за облаците. Пророкът по облаците трябва да отговаря за това. Не знам доколко са напреднали тези снимки, стари са. Занимавах се много с това, но после обърнах вниманието си към други феномени.

Ето нещо друго, което е доста интересно. Едно от разтърсващите събития в историята на математиката, което не се оценява от много хора, се случва преди около 130 години, преди 145 години. Математици започват да създават форми, които не съществували. Математиците се заели със самовъзхвали до степен, която била напълно изумителна, че човекът може да изобретява неща, непознати в природата. Особено, че може да изобретява неща като крива, която изпълва равнината. Кривата си е крива, равнината си е равнина и двете нямат нищо общо. Ами, смесват се. Един човек, казвал се Пеано, дефинирал такива криви и това станало обект на изключителен интерес. Било много важно, но най-вече интересно поради един вид пробив, разделение между математици, идващи от реалността, от една страна, и нови математици, идващи от чистия човешки ум. Е, с голямо съжаление изтъкнах, че чистият човешки ум, всъщност, най-сетне е видял онова, което се е виждало отдавна. И така, тук представям нещо, набор от реки на равнинно изпълваща крива. Е, добре, това е история сама по себе си. От 1875-а до 1925-а, изключителен период, през който математиката се подготвяла да се отцепи от света. И обектите, които бяха използвани като примери, когато бях дете и студент за разцепление между математика и видима реалност... тези обекти, напълно ги преобърнах. Използвах ги за описание на някои от аспектите на сложността на природата.

Един човек на име Хаусдорф през 1919 г. въвел едно число, което било само математическа шега. Открих, че това число е добра мярка за неравност. Когато за пръв път го казах на приятелите си математици, те казаха: "Не ставай глупав. То е просто нещо [глупаво]." Е, всъщност не бях глупав. Художникът Хокусай го знаел много добре. Нещата на земята са водорасли. Не е разбирал от математика; тя още не е съществувала. И е бил японец, без никакви контакти със Запада. Но дългогодишното рисуване имало фрактална страна. Бих могъл дълго да говоря за това. Айфеловата кула има фрактален аспект. Прочетох книгата, която г-н Айфел е написал за кулата си. И наистина беше изумително колко много е разбирал.

Това е бъркотия, бъркотия, бъркотия, браунова примка. Един ден реших, че по средата на кариерата си ме задържат толкова много неща в работата ми и реших да се изпитам. Можех ли просто да разгледам нещо, което всички са гледали дълго време, и да открия нещо напълно различно? И така, разгледах тези неща, наречени брауново движение... просто се движи наколо. Играх си с него известно време и го накарах да се върне към произхода. После казах на асистента си: "Не виждам нищо. Може ли да го нарисуваш?" И така, той го нарисува, тоест сам постави всичко вътре. Каза: "Ами, ей това излезе ..." А аз казах: "Спри! Спри! Спри! Виждам, остров е." Изумително. Значи, Брауново движение, което случайно има неравност с число две, върти се наоколо. Изберих го, 1,33. Пак, и пак, и пак. Дълги мерки, големи Браунови движения, 1,33. Математическа задача: как да се докаже? На приятелите ми им трябваха 20 години. Трима от тях имаха непълни доказателства. Събраха се, и заедно намериха доказателството. Затова получиха големия медал по математика [Филдс], един от трите медала, които хората са получавали за доказване на неща, които съм виждал, без да съм в състояние да ги докажа.

Сега всеки ме пита в един или друг момент: "Как започна всичко? Какво ви накара да се захванете с този странен бизнес?" Какво ме накара да бъда едновременно механичен инженер, географ, математик и така нататък, физик? Е, странното е, че всъщност започнах, като изучавах цените на стоковата борса. И така, имах една теория и пишех книги за нея, Прираст на финансовите цени. Отляво виждате данни за дълъг период. Вдясно горе виждате една теория, която е много, много модна. Беше много проста, и за нея може да се пишат много книги много бързо. (Смях) Има хиляди книги за това. Сравнете сега това с реалните ценови прирасти. А къде са реалните ценови прирасти? Е, онези други редове включват някои реални ценови прирасти и малко фалшификация, която направих. Идеята там беше, че човек трябва да може... как се казва?... да моделира ценова вариация. Мина много добре преди 50 години. 50 години хората някак ме потупваха по рамото, защото можеха да го правят много, много по-лесно. Но ви казвам, на този етап хората ме слушаха. (Смях) Тези две криви са средни. Стандартно и Лошо, синята. А червената е Стандартно и Лошо, за което са извадени петте най-големи непоследователности. Непоследователностите са неудобство. Затова в много проучвания на цените човек ги оставя настрана. "Е, божа работа." И остават малко глупости. Божа работа на тази картина... Пет божи работи са толкова важни, колкото и всичко друго. С други думи, не божите работи трябва да оставяме настрана. Това е същността, проблемът. Ако ги усвоиш, усвояваш цената. А ако не ги усвоиш, можеш да усвояваш дребния шум колкото можеш по-добре, но той не е важен. Е, ето кривите за това.

Сега стигам до последното, което е наборът, към който е прикачено името ми. В известен смисъл това е историята на живота ми. Израстнах по време на германската окупация на Франция. И тъй като смятах, че може да изчезна до ден или седмица, имах много големи мечти. След войната отново видях един свой чичо. Чичо ми беше много изтъкнат математик и ми каза: "Виж, ето една задача, която не можах да реша преди 25 години и която никой не може да реши. Това е конструкция на един човек на име [Гастон] Джулия и [Пиер] Фату. Ако можеш да откриеш нещо ново, каквото и да било, ще направиш кариера." Много просто. И така, погледнах, и като хилядите хора, опитвали преди, не открих нищо.

Но после дойде компютърът. И реших да приложа компютъра, не към нови задачи в математиката... като това мърдане, това е нов проблем... а към стари задачи. И преминах от това, което се наричат реални числа, които са точки в една линия, към въображаеми, сложни числа, които са точки в равнина, това трябва да се прави там. И произлезе тази форма. Тази форма е с изключителна сложност. Уравнението е скрито там, z минава в z на квадрат, плюс с. Толкова рпосто, толкова сухо. Толкова безинтересно. Сега завърташ манивелата веднъж, два пъти, два пъти, и стават чудеса. Искам да кажа, излиза това. Не искам да обяснявам тези неща. Това излиза. Това излиза. Форми, които са с такава сложност, такава хармония и такава красота. Това произлиза повторяемо, отново и отново, и отново. Това беше едно от основните ми открития - че тези острови бяха същите като голямото цяло, повече или по-малко. А после се получават изключителни барокови декорации навсякъде. И всичко това - от тази малка формула, в която има - колко, пет символа. А после - това. Цветът е добавен по две причини. Първо, защото тези форми са толкова сложни, че човек изобщо не би могъл да проумее числата. А ако ги включиш, трябва да се избере някаква система. Затова моят принцип е винаги да представям формите с различни оцветявания, защото някои оцветявания подчертават това, а други са това или онова. Толкова е сложно.

(Смях)

През 1990-та бях в Кеймбридж, Великобритания, за да получа една награда от университета. След три дни един пилот летял над околността и намерил това нещо. А откъде е дошло? Очевидно, от извънземни. (Смях) Затова вестникът в Кеймбридж публикувал статия за това "откритие" и на следващия ден получили 5000 писма от хора, които пишели: "Но това е просто Манделброт, в много голям размер."

Да довърша. Тази форма тук току-що произлезе от едно упражнение по чиста математика. Бездънни чудеса извират от прости правила, които се повтарят безкрайно.

Много благодаря.

(Аплодисменти)