رون اغلاش في كسريات افريقية

أود أن أبدأ قصتي من ألمانيا,تحديدا في سنة 1877, مع عالم رياضيات يدعى جورج كانتر. حيث قرر كانتر أن يرسم خطا ثم يمحو ثلثه الأوسط, ثم يعيد نفس العملية مع الخطين الحاصلين, طريقة عودية. فبدأ مع سطر واحد ، ثم اثنين ، ثم اربع, ثم 16, وهلم جرا. و اذا استطاع أن يكرر هذا الى ما لا نهاية, وهذا ممكن في الرياضيات, فانه سينتهي مع عدد لا حصر له من الخطوط ، كل منها يحتوي على عدد لا حصر له من النقاط. لذلك أدرك أن بحوزته مجموعة يفوق تعداد مكوناتها اللانهاية. وقد فجر هذا رأسه. بكل ما للكلمة من معنى. فقد التحق بمصحة. (ضحك) و عندما غادر المصحة, كان على قناعة أنه وجد فوق الأرض ليكتشف نظرية المجموعات اللامتناهية, لأن أكبر مجموعة لامتنهاية ستكون الله نفسه. كان شخصا شديد التدين. كان عالم الرياضيات في مهمة.

و قد قام علماء رياضيات آخرين بالشىء ذاته. عالم رياضيات سويدي, فان كوخ, قرر أنه عوضا عن محو الخطوط, فانه سيجمعها. و قد حصل على هذا المنحني الجميل. و ليس هنالك من سبب معين للبدأ بهذا الشكل الأساسي, بامكاننا البدأ بأي شكل أساسي نريد. سأقوم باعادة تشكيل هذا و الصاق هذا أينما أريد -- هنا مثلا, جيد -- و الآن مع التكرار, يتطور هذا الشكل الأساسي الى تركيب ذو شكل مختلف تماما. و كل هذه لديها خاصية التشابه الذاتي : الجزء يبدو كالكل. هو النموذج نفسه و لكن في مقاييس مختلفة.

الآن ، يعتقد علماء الرياضيات أن هذا كان غريبا جدا ، لأنه كلما تقلص القياس, كنت تحصل على أطوال أكبر. و بما أنهم ذهبوا بالتكرار الى ما لا نهاية, كلما تقلص القياس الى ما لا نهاية, وصل الطول الى ما لا نهاية. لم يكن هذا منطقيا بالمرة, فقاموا بتهميش هذا النوع من المنحنيات. و ادعوا ان هذه المنحنيات مرضية ، و ليس من المفروض مناقشتها. (ضحك) و استمر الأمر كذلك مئات السنين.

و في سنة 1977, اكتشف بنوا مندلبورت, وهو عالم رياضيات فرنسي, أنه اذا استعملنا الحاسوب في رسم هذه الاشكال التي أطلق عليها اسم الكسريات فسنحصل على أشكال طبيعية. يمكنك الحصول على رئتي انسان, أو شجرة أكاسيا, أو نبات السرخس, ستحصلون على هذه الأشكال الطبيعية الرائعة. إذا أخذت الإبهام والسبابة ، ونظرت في مكان التقائهما -- بامكانكم القيام بذلك الآن -- -- اجعلوا أيديكم مرتخية و ستترون التجاعيد, وبعد ذلك تجعد في تغضن ، وتغضن من داخل تجعد. أليس كذلك؟ جسمك مغطى بالكسريات. علماء الرياضيات الذين قالوا ان هذه الأشكال كانت مرضية غير مجدية؟ كانوا يتنفسون تلك الكلمات برئات ذات أشكال كسرية. هذا يدعو للسخرية. و سأريكم عودية طبيعية صغيرة هنا. مجددا, كل ما نفعله هو أخذ خطوط و استبدالها بشكل متكرر بكامل الشكل. اذا لدينا هنا التكرار الثاني ، والثالث والرابع وهلم جرا.

فالطبيعة لديها هذا الشكل المتكرر ذاتيا. الطبيعة تستخدم أجهزة ذاتية التنظيم. في الثمانينيات, لاحظت أنه اذا نظرت الى صورة جوية لقرية افريقية, سترى كسريات. وفكرت : "هذا أمر رائع! ولا ندري لماذا؟" و بالطبع كان علي الذهاب الى افريقيا و أسأل الناس عن السبب. لذلك حصلت على منحة فولبرايت للسفر في ربوع افريقيا لمدة سنة سائلا الناس عن السبب وراء بنائهم الكسريات. وهي وظيفة رائعة اذا أمكنك الحصول عليها. (ضحك)

أخيرا ذهبت الى هذه المدينة, و رسمت نموذجا كسريا لها فقط لنرى كيف يمكن ان تتكشف -- لكنني عند وصولي, اتجهت الى قصر الزعيم, و بما اني لا أتقن اللغة الفرنسية, قلت ما يشبه, "أنا عالم رياضيات و أود أن أصعد على سقف منزلك." لكنه كان حقا لطيفا، وأخذني هناك الى أعلى، و دار بيننا حديث حول الكسريات. و قد قال, "أجل ، أجل! كنا نعرف عن مستطيل داخل مستطيل ، نعرف كل شىء عن ذلك." واتضح أن شارة الملك تتكون من مستطيل داخل مستطيل داخل مستطيل ، وأن الطريق خلال هذا القصر هو في الواقع على شكل هذه الدوامة. و كلما تقدمت في هذا المسار, عليك أن تكون رفيعا أكثر فأكثر. انهم يرسمون السلم الاجتماعي على شكل السلم الهندسي, انه نمط واع. وليس من اللاوعي مثل كسورية تل النمل الأبيض.

هذه قرية في جنوب زمبيا. أنشأت قبيلة "الباللا" هذه القرية بقطر يبلغ 400 متر. انها حلقة ضخمة. الحلقات التي تمثل حاضنات الأسر تصبح أوسع فأوسع كلما عدت الى الخلف, ثم نجد الحلقة الخاصة بالزعيم هنا في الخلف ثم العائلة المقربة من الزعيم في تلك الحلقة. لدينا هنا نموذجا كسريا لها. لدينا هنا بيت يضم المذبح مقدس, و هنا مجمع البيوت, العائلة المقربة, مع البشر هنا حيث المذبح المقدس, و هنا منظر عام للقرية -- حلقة من حلقات حلقة مع العائلة الموسعة للرئيس هنا ، وأسرة الرئيس المباشر هنا ، وهنا توجد قرية صغيرة فقط بهذا الحجم. علينا الآن أن نتساءل ، كيف يمكن لهؤلاء الناس التأقلم في قرية صغيرة فقط بهذا الحجم؟ ذلك لانهم شعب ذو روح. انهم الاجداد. وبطبيعة الحال فان شعب ذو روح يملك قرية مصغرة في قريتهم ، أليس كذلك؟ لذلك الأمر تماما كما قال جورج كانتور ، العودية تستمر إلى الأبد.

هذه جبال ماندارا ، بالقرب من الحدود النيجيرية في الكاميرون موكولاك. شاهدت هذا المخطط الذي رسمه مهندس فرنسي ، و قلت في نفسي, "واو! يا لها من كسورية جميلة!" لذلك حاولت أن آتي بالشكل الأساسي, و الذي, عند تكراره ، سيتحول الى هذا الشكل. أتيت هنا بهذا الشكل. دعونا نرا, الاعادة الاولى, الثانية, الثالثة, الرابعة. الآن, بعد أن قمت بالمحاكاة, أدركت أن القرية بأكملها متكونة من اللوالب حولها ، تماما مثل هذا ، وهنا هذا الخط المتكرر -- خط ذاتي التكرار والذي يتحول الى كسورية. حسنا ، لاحظت أن الخط يوجد حول مكان المبنى الوحيد في ساحة القرية. لذلك عندما وصلت الى القرية, فقلت : "هل تستطيع أن تأخذني إلى البناء المربع؟ وأعتقد أن شيئا ما يحدث هناك ". فقالوا : "حسنا ، يمكننا أخذك هناك ، ولكن لا يمكنك الدخول لأن هذا هو المذبح المقدس ، حيث نقوم بتقديم القرابين كل عام للحفاظ على تلك الدورات السنوية للخصوبة في الحقول ". و بدأت حينها أدرك أن دورات الخصوبة تلك كانت تماما مثل الدورات المتكررة في الخوارزمية الهندسية التي تبني هذا. والعودية في بعض هذه القرى تصل الى مستوى صغير جدا.

هذه قرية نانكاني في مالي. تستطيعون رؤية, يمكنكم الولوج داخل حاضنة الأسرة -- يمكنكم الولوج داخلها, وهنا الأواني في الموقد ، مكدسة بشكل متكرر. و هنا الأواني التي كان عيسى يرينا اياها, وهي مكدسة بشكل متكرر. الآن, الآنية الأصغر هنا تحوي روح المرأة. و عندما تفارق الحياة, يقومون بطقوس حيث يقومون بكسر هذه الكومة المسماة زلنغا فتذهب روحها الى الخلود. مرة أخرى, نرى أهمية اللانهاية.

الآن, قد تخطر ببالك ثلاثة أسئلة في هذه المرحلة. أليست هذه النماذج المتكررة تشمل جميع الهندسات المعمارية للسكان الأصليين؟ وكانت تلك في الواقع فرضيتي الأصلية. عندما شاهدت هذه الكسريات الافريقية لأول مرة, فقلت في نفسي, "واو, اذا فان أي مجموعة من السكان الأصليين و التي لا تملك مجتمع حكم, هذا الشكل من التسلسل الهرمي, ينبغي أن تكون له هذه الهندسة المقلوبة ". و لكن تبين أن هذا الأمر ليس بصحيح.

بدأت بجمع صور فضائية لفن العمارة لسكان أمريكا الأصليين و جنوب المحيط الهادي, وحدها العمارة الافريقية كانت تحوي كسريات. وإذا فكرت في ذلك ، فان جميع هذه المجتمعات المختلفة تملك تصاميم هندسية مختلفة تستخدمها. فسكان أمريكا الأصليون استخدموا مزيجا من الدوائر المتناظرة و تناظرا رباعيا. يمكن رؤية ذلك في الخزفيات و في الأحذية. هذه صورة فضائية الى احدى آثار قبيلة الاناسازي يمكنك ان ترى انها دائرية في النطاق الأوسع ، لكنها مستطيلة في النطاق الأصغر ، أليس كذلك؟ وليس النمط نفسه على المستويين المختلفين.

ثانيا, يمكنك أن تسأل, "حسنا, دكتور اغلاش, ألست تتجاهل تنوع الثقافات الأفريقية؟" وبكل تأكيد, الجواب هو لا. أولا وقبل كل شيء ،أنا أتفق مع كتاب مودنبي الرائع "اختراع افريقيا" أن أفريقيا هي اختراع مصطنع أولا للاستعمار، ثم لحركات المعارضة. لا ، لأن استعمال تصميم مشترك على نطاق واسع لا يعني بالضرورة وحدة الثقافة -- وهي بالتأكيد ليست في الحمض النووي. وأخيرا ، فان للكسريات تشابها ذاتي -- لذا فانها مشابهة لنفسها ، لكنها ليست بالضرورة مشابهة لبعضها البعض -- لدينا استعمالات عدة للكسريات. انها تقنية مشتركة في افريقيا.

وأخيرا ، أيضا ، أليس هذا مجرد تخمين؟ ليس هذا جزءا من علوم الرياضيات. لا يمكن أن يكون الأفارقة استعملوا هندسة الكسريات, أليس هذا صحيحا؟ لم تكن اكتشفت حتى سبعينيات القرن الماضي. حسنا, صحيح أن بعض الكسريات هي كما أتوقع مجرد تخمين. بالضبط كهذه الأشياء, كنت أتجول في شوارع داكار سائلا الناس ، "ما هي الخوارزمية؟ ما هي القاعدة لرسم هذا؟" فكان جوابهم, "حسنا, نحن نرسمه على هذا الشكل لأنه يبدو جميلا, غبيا." (ضحك) و لكن أحيانا, لا يكون الأمر كذلك. في بعض الحالات ، يكون هناك في الواقع خوارزميات ، وخوارزميات متطورة للغاية. في منحوتات منغيتو، يمكنك مشاهدة هذه الهندسة العودية. في الصلبان الاثيوبية، تشاهد هذا الاستعمال الرائع للشكل .

في أنغولا, يرسم شعب التشوكوي خطوطا في الرمال, و هذا ما يطلق عليه عالم الرياضيات الألماني أولر اسم الرسم البياني, نحن نسميه الآن مسار أولر -- لا يمكنك أبدا رفع قلمك من على السطح لا يمكنك المرور فوق نفس الخط مرتين. لكنهم يفعلون ذلك بشكل متكرر ، و يقومون بذلك باستعمال نظام أصناف عمرية, فيتعلم الاطفال الصغار هذا، و يتعلم الاطفال الاكبر سنا هذا, ثم مع بداية الصنف العمري الموالي, تتعلم هذا. ومع كل تكرار لتلك الخوارزمية, تتعلم تكرار الأسطورة. تتعلم المستوى التالي من المعرفة.

وأخيرا ،و في جميع أنحاء أفريقيا ، يمكنك مشاهدة هذه اللعبة. يدعونها في غانا, حيث درستها, أواري, هنا في الساحل الشرقي تدعى منكالا, و باو في كينيا, و سوغو في أماكن أخرى. حسنا ، سترى أنماط التنظيم الذاتي التي تحدث بصورة تلقائية في هذه اللعبة. ويعرف الناس في غانا عن هذه الأنماط ذاتية التنظيم ويستخدمونها من الناحية الاستراتيجية. لذلك فهذه معرفة واعية جدا.

هذه كسورية رائعة. حيثما انتقلت في منطقة الساحل ، سترى هذا الزجاج. وبطبيعة الحال تكون الاسوار في مختلف أنحاء العالم كافة متعامدة الشكل, جميعها متكونة فقط من الخطوط. ولكن هنا في أفريقيا, لدينا هذه الأسوار غير الخطية. لذا تتبعت احد الذين بنوا هذه الأشياء, رجلا من مالي بعيدا قليلا عن باماكو, و سألته, "كيف يمكنم انشاء هذه الأسوار الكسورية؟ لأنه لا أحد غيركم يفعل ذلك". و كان جوابه مثيرا للاهتمام. قال : "حسنا, إذا كنت تعيش في الغابة, عليك استخدام صفوف طويلة من القش فقط, لأنها سريعة الاستعمال, و ثمنها بخس انها لا تستدعي الكثير من الوقت, و لا تستهلك الكثير من القش. قال : "ولكن الرياح والغبار يمران خلالها بكل سهولة. الآن ، الصفوف الضيقة في الأعلى, يمكنهم حقا صد الرياح والغبار. لكنها تستغرق الكثير من الوقت ، وتستهلك الكثير من القش ، لأنها ضيقة جدا ". "الآن" ,قال : "نحن نعرف من التجربة أنه كلما ابتعدت عن الأرض, كلما هبت الريح أقوى". أليس كذلك؟ انها يشبه تحليل التكاليف والفوائد. و لقد قمت بقياس أطوال القش, وضعته على رسم بياني لوغارتمي, حصلت على الأس, وقد طابق بالضبط تقريبا أس العلاقة بين سرعة الرياح والارتفاع في كتيب هندسة الريح. كان هؤلاء الرجال على حق في هدفهم في استخدام تكنولوجيا التسلسل.

المثال الأكثر تعقيدا التي حصلت عليها لمقاربة خوارزمية للكسريات لم تكن في الواقع هندسية, بل كانت شفرة رمزية, وكانت هذه بامانا عرافة الرمال. ويمكن العثور على نظام العرافة نفسها في جميع أنحاء أفريقيا. يمكنك العثور عليها على الساحل الشرقي, وكذلك الساحل الغربي, وغالبا ما تكون الرموز محفوظة بشكل جيد, يتكون كل رمز من هذه الرموز من أربع بت -- انها كلمة ثنائية ذات أربع بتات -- ترسم هذه السطور في الرمال بشكل عشوائي, ومن ثم تقوم بعدها, اذا كان العدد فرديا, تضع خطا واحدا, و أما ان كان العدد زوجيا, تضع خطين اثنين. و هم يقومون بذلك بشكل سريع, ولم أتمكن من فهم أين كانوا يلتقون -- كل ما كانوا يقومون به هو الأربع مرات العشوائية فقط -- لم أستطع أن أفهم من أين كانوا يحصلون على 12 رموزا الأخرى. و لم يشاؤوا اخباري بذلك. قالوا : "لا, لا, لا استطيع اخباركم بذلك." وقلت : "حسنا انظر, سوف أدفع لك, يمكنك أن تكون أستاذي, و سوف آتي كل يوم و أدفع لك." قالوا : "لا ليست مسألة مال, انها مسألة دينية."

و أخيرا, و لما استيأست منه, قلت, "حسنا, دعني أخبرك عن جيورج كنتور في سنة 1877." و شرعت في شرح سبب تواجدي في افريقيا, و قد كانوا شديدي الاهتمام عندما شاهدوا مجموعة كنتور. ثم قال أحدهم, "تعال. أعتقد أنه بامكاني مساعدتك في هذا." و من ثم أخذني عبر طقوس تعليم كاهن بامانا. و بطبيعة الحال, انحسر اهتمامي بالرياضيات, كان طوال الوقت, يقوم بهز رأسه, "أنت تعرف ، أنا لم أتعلم بهذه الطريقة." ولكن اضطررت الى النوم مع عروق الجوز بجانب سريري, مدفونا في الرمل, ومنح سبع قطع نقدية لسبعة مرضى بالجذام وهلم جرا. و أخيرا,كشف لي حقيقة المسألة. و اتضح أنه مولد أعداد شبه عشوائي باستخدام الفوضى القطعية. اذا كان لديك رمز رباعي البتات, تضعه اذا مع آخر بمحاذاته. اذا زوجي مع فردي النتيجة فردي.  فردي مع زوجي النتيجة فردي. زوجي مع زوجي النتيجة زوجي .فردي مع فردي النتيجة زوجي. هذا يمثل جمع باقي القسمة على 2, تماما مثل البت التكافؤ للتثبت المستعمل في جهاز الكمبيوتر. و من ثم تأخذ هذا الرمز, و تستعمله مجددا فهذا يمثل مولدا ذاتيا لرموز متنوعة. انهم يستخدمون حقا نوعا من الفوضى القطعية للقيام بذلك. الآن, و لأنه رمز ثنائي, يمكنك تطبيق هذا في جهاز -- يالها من أداة تدريس رائعة في مدارس الهندسة الافريقية.

والشيء الأكثر إثارة للاهتمام الذي اكتشفته حولها كان تاريخيا. في القرن الثاني عشر، جلبها هوغو أوف سنتالا من المسلمين الصوفيين في إسبانيا. و هناك تم ادراجها في مجمع العلوم تحت مسمى جيومنسي : النبوءة من خلال كوكب الأرض. هذا شكل جيومنتي تم رسمه للملك رتشارد الثاني في سنة 1390. لبنيتس, عالم الرياضيات الألماني, تحدث عن الجيومنسي في أطروحته بعنوان "De Combinatoria". وقال : "حسنا ، بدلا من استخدام خط واحد او خطان, لنقم باستعمال الواحد و الصفر, و يمكننا الحساب باستعمال قوى العدد اثنان." أليس كذلك؟ الآحاد والأصفار, الرمز الثنائي. أخذ جورج بول رمز لايبنتز الثنائي وأنتج الجبر البولي, وأخذ جون فون نيومان الجبر البولي, وأنتج جهاز الكمبيوتر الرقمي. لذلك كل هذه المساعدات الشخصية الرقمية وأجهزة الكمبيوتر المحمول -- في كل الدوائر الرقمية في العالم -- بدأت في أفريقيا. أعرف أن بريان إينو يقول أنه ليس هناك ما يكفي من أفريقيا في أجهزة الكمبيوتر, تعلمون, أنا لا أعتقد أن هناك ما يكفي من التاريخ الأفريقي في بريان إينو. (تصفيق)

لذا اسمحوا لي أن أختتم بكلمات قليلة عن التطبيقات التي وجدنا لهذا الغرض. و بامكانكم الدخول الى موقعنا الالكتروني, التطبيقات كلها مجانية, يتم تشغيلها في المتصفح فقط. بامكان أي كان حول العالم استعمالها. المؤسسة الوطنية للعلوم وتوسيع نطاق المشاركة في برنامج الحوسبة حصلنا مؤخرا على منحة لتقديم نسخة من أدوات التصميم هذه القابلة للبرمجة , لذلك نأمل أنه في غضون ثلاث سنوات, سوف يكون أي شخص قادرا على الذهاب على الانترنت وخلق نماذج المحاكاة الخاصة بها وأعماله الفنية. لقد ركزنا في الولايات المتحدة على الطلاب الأميركيين الأفارقة ، وكذلك الأمريكيين الأصليين واللاتينيين. لقد لمسنا تحسنا ذات دلالة إحصائية مع الأطفال باستخدام هذا البرنامج في أقسام الرياضيات بالمقارنة مع مجموعة مراقبة لم تستخدم هذا البرنامج. اذا كان أمرا ناجحا جدا تدريس أطفال لديهم هذا التراث من علوم الرياضيات, ليس فقط عن الغناء والرقص. بدانا برنامجا رائدا في غانا, حصلنا على منحة الصغيرة, فقط لمعرفة ما اذا كان الناس على استعداد للعمل معنا على هذا, نحن متحمسون للغاية بشأن الاحتمالات المستقبلية لذلك.

نحن نعمل أيضا في التصميم. لم أضع اسمه هنا -- زميلي, كيري, في كينيا, لقد جاء بهذه الفكرة الرائعة لاستخدام هيكل كسوري كعنوان بريدي في القرى التي لديها بنية كسورية, لأنه إذا حاولت فرض هيكل شبكة النظام البريدي على قرية كسورية, فانها لن تكون ملائمة تماما. انتهى برنارد تشومي في جامعة كولومبيا من استخدام هذا في تصميم لمتحف الفن الأفريقي. وقد كتب ديفيد هيوز في جامعة ولاية أوهايو كتابا عن فن عمارة الافروسنتريك والتي استخدم في بعضها هذه الهياكل كسورية.

وأخيرا, أردت فقط أن أشير إلى أن هذه الفكرة من التنظيم الذاتي , كما سمعنا في وقت سابق, موجودة في الدماغ. انها في -- في محرك البحث جوجل. في الواقع ، السبب ان غوغل لاقى مثل هذا النجاح أنهم كانوا هم أول من استفاد من خصائص التنظيم الذاتي على شبكة الإنترنت. انها في البيئية المستديمة. انها في القوة التنموية لتنظيم المشاريع, السلطة الأخلاقية للديمقراطية. كما انها في بعض الأمور السيئة. التنظيم الذاتي هو السبب في أن فيروس الايدز ينتشر بسرعة كبيرة. وإذا كنت لا تعتقد أن الرأسمالية, التي هي تنظيم ذاتي, يمكن أن يكون لها آثار مدمرة, فانك لم تفتح عينيك بما فيه الكفاية. لذلك نحن بحاجة للتفكير ، كما قيل في وقت سابق ، في الأساليب التقليدية الأفريقية للقيام بالتنظيم الذاتي. انها خوارزميات قوية. انها طرق للقيام بالتنظيم الذاتي -- القيام المشاريع -- معتدلة, فيها من المساواة. لذلك إذا كنا نريد إيجاد طريقة أفضل للقيام بذلك النوع من العمل ، نحتاج فقط أن ننظر ليس أبعد من أفريقيا للعثور على خوارزميات التنظيم الذاتي القوية هذه. شكرا لكم.