بُنْوَا مانديلبروت: الكسوريات وفن الخشونة

شكرا جزيلا. أرجو المعذرة لكوني جالسا، فأنا رجل مُسنّ. (ضحك) حسنا، إنّ الموضوع الذي سأناقشه هو أحد المواضيع الذي هو بمعنى ما في غاية الغرابة لأنّه قديم جدا. الخشونة هي جزء من حياة الإنسان منذ الأزل وإلى الأبد. ولقد كتب المؤلّفون القدماء حول هذا الموضوع. ولم يكن من السّهل كشف خفاياه. وبمعنى ما، بدا وكأنّه في منتهى التعقيد، مجرد فوضى، فوضى وفوضى. هناك أنواع عديدة مختلفة من الفوضى. الآن ، في الواقع ، مع شكل سمكيّ كامل،(fluke) أمضيت سنوات عديدة مضت في دراسة هذا الشكل من التعقيد. ووسط دهشتي المطلقة، وجدت آثارا -- آثارا قوية جدا ، يجب أن أقول -- من النظام في تلك الخشونة. ولذلك بِوِدِّي أن أقدِّم لكم اليوم بعض الأمثلة لما يمثّله هذا. انا افضل كلمة الخشونة على كلمة عدم الإنتظام لأنّ عدم الإنتظام-- بالنّسبة لشخص درس اللاتينية طوال فترة شبابه الطويلة الماضية -- يعني عكس الإنتظام. ولكن هذا ليس صحيحا. الإنتظام هو عكس الخشونة لأن الجانب الأساسيّ من العالم شديد الخشونة.

لذا اسمحوا لي أن أعرض عليكم بعض الأشياء. بعضها مُصطنع. و البعض الآخر منها حقيقي، بمعنى ما. الآن هذه هي الحقيقيّة. إنها زهرة القرنبيط. ولكن لماذا زهرة القرنبيط بالذات، نوع عاديّ جدّا وقديم من الخضروات؟ لأنها بقدر ما هي قديمة وعتيقة، فإنّها معقّدة للغاية وهي بسيطة جدا في الآن نفسه. إذا حاولت أن تَزِنًه، فإنه بطبيعة الحال من السّهل فعل ذلك. وعندما تتناوله، يصبح للوزن أهميّة. ولكن لنفترض أنك أردت قياس مساحة سطحه. حسنا ، هذا أمر مثير جدّا للاهتمام. إذا قمت باستعمال سكّين حادّ لقطع إحدى الزّهور الصغيرة للقرنبيط ونظرت إليها على حدة، فستحصل على زهرة قرنبيط كاملة، ولكن في حجم أصغر. ومن ثمّ تقطع مرة أخرى، ومرّات ومرّات... وستظلّ تحصل على أزهار قرنبيط أصغر. وفي التجربة الإنسانية كان هناك دائما بعض الأشكال التي تملك هذه الخاصيّة الغريبة، وهي أنّ كل جزء هو مثل الكلّ، ولكن بحجم أصغر. الآن ، ماذا يمكن أن يقدّم ذلك للإنسانيّة؟ القليل و القليل جدا. (ضحك)

لذلك ما فعلته هو أنّي قمت بدراسة هذه المسألة ، ولقد وجدت شيئا أدهشني. وهو أنّه يمكن قياس الخشونة بالأرقام, 2.3 ، 1.2 ، وأحيانا أكثر من ذلك بكثير. ذات يوم، قام أحد أصدقائي، بُغْية إزعاجي، قام بجلب صورة ، وقال : "ما هي قيمة الخشونة في هذا المنحنى؟" قلت : "حسنا ، أقل قليلا من 1.5". وكان 1.48. الآن، لم يستغرق ذلك منّي أيّ وقت. لقد عكفت على دراسة هذه الأشياء لفترة طويلة. وبالتالي فإن هذه الأرقام هي الأرقام التي تدل على خشونة هذه السطوح. ويجدر القول بأن هذه السطوح هي مصطنعة تماما. لقد تمّ رسمها باستعمال جهاز الكمبيوتر. وكلّ ما تستحقّه للحصول على الرّسم هو فقط ادخال عدد. وهذا العدد هو الخشونة. إلى اليسار، قمت بنسخ الخشونة من مناظر طبيعيّة كثيرة. وإلى اليمين، أخذت أعلى درجة خشونة. بحيث تتمكّن العين، بعد حين، من التمييز بينهما بشكل جيد.

على الإنسانية التمكّن من قياس الخشونة. هذه شديده الخشونة، وهذا سلس نوعا ما، وهذا سلس تماما. عدد قليل جدا من الأشياء سلسة جدا. لذا إذا حاولت طرح بعض الأسئلة : ما هي مساحة سطح زهرة القرنبيط؟ حسنا ، يمكنك أجراء العديد من القياسات. في كل مرة تُصبح فيها المساحة أكبر، تصبح القياسات أصغر فأصغر. ما هو طول الخط الساحلي لهذه البحيرات؟ كلما كان القياس أصغر، كلّما صار الحاصل أطول. مفهوم طول الخط الساحلي ، والذي يبدو أنه أمر طبيعي جدّا لأنّه معروف في كثير من الحالات، هو، في الواقع، مغالط تماما؛ ليس هناك شيء من هذا القبيل. يجب أن تفعل ذلك بطريقة مختلفة.

ما هي المصلحة من معرفة هذه الأشياء؟ حسنا، ومما يثير الدّهشة، أنها تصلح في نواح كثيرة. أوّلا، المناظر الطبيعية الاصطناعية، والتي اخترعت بعضا منها، وهي دائما ما تستخدم في السينما. نحن بصدد رؤية جبال من مسافة بعيدة. قد تكون جبالا حقّا، ولكنها قد تكون مجرّد صِيَغٍ فقط ، مجمّعة معا. الآن من السهل جدا القيام بذلك. لقد كانت تستغرق وقتا طويلا جدا، ولكن الآن الأمر تغيّر. الآن لنُلق نظرة على هذا. هذه رئة حقيقيّة. الرئة شيء غريب جدا. إذا أخذنا هذا الشيء، تعلمون جيدا جدا أنّ وزنها قليل جدا. حجم الرّئة صغير جدا. ولكن ماذا عن مساحة الرّئة؟ يتجادل علماء التشريح في ذلك كثيرا. البعض يقول أنّ رئة رجل عاديّ تبلغ مساحتها من الداخل مساحة كرة سلّة. ويقول آخرون، لا، خمس كرات سلّة. خلاف هائل. لماذا؟ لأنه ، في الواقع ، منطقة الرئة شيء غير محدّد تماما. فروع للشُّعَبِ الهوائية، وفروع ، وفروع ثمّ تتوقّف عن التفرّع، ليس بسبب خلل ما في المبدأ، ولكن لإعتبارات فيزيائيّة، المخاط ، الذي يوجد داخل الرّئة. لذلك ما يحدث هو أن هذه هي الطريقة للحصول على رئة أكبر بكثير، ولكن إذا كانت متكوّنة من فروع و فروع، تصل إلى مسافات تكون نفسها لدى الحيتان، أو الإنسان أو القوارض الصغيرة.

الآن ، ما هي المصلحة في معرفة ذلك؟ حسنا، من المذهل، والمثير للدهشة، أنّ علماء التشريح كانوا يعلمون القليل عن بنية الرئة حتى وقت قريب جدا. وأعتقد ما قدّمته من رياضيّات، ومن المدهش، قدّم عونا كبيرا للجراحين الذين يقومون بدراسة أمراض الرئة وأمراض الكلى أيضا ، وجميع تلك النظم ذات الفروع، التي لم يكن يشملها علم الهندسة. وهكذا وجدت نفسي ، وبعبارة أخرى ، بصدد إنشاء هندسة، هندسة لأشياء لم يشملها من قبل علم الهندسة. والجانب المثير للإستغراب فيه هو أنّه في كثير من الأحيان، تكون قواعد الهندسة قصيرة للغاية. لديك الصيغ الطويلة. وتقوم بتطبيقها عدة مرات. مرارا وتكرارا في بعض الأحيان ، ومرة تلو أخرى تكرّر نفس الشىء. وتحصل في النهاية على أشياء من هذا القبيل.

هذه السحابة هي بالكامل، 100 في المئة اصطناعيّة. حسنا، لِنَقُلْ 99.9 في المئة. والجزء الوحيد الذي هو طبيعي هو الرقم الدّالّ على مدى خشونة السّحاب، وهو مأخوذ من الطبيعة. شيء ما مثل غيمة على هذه الدّرجة من التّعقيد، على هذه الدّرجة من عدم الإستقرار،على هذه الدّرجة من التّفاوت، تنتج عن قاعدة بسيطة. هذه القاعدة البسيطة لا تُقدّم تفسيرا للسّحب. على عرّاف السحب أن يأخذها في الاعتبار. أنا لا أدري كم هي متقدمّة هذه الصُّوَرْ ، إنّها قديمة. كان لدي الكثير من الإهتمام بها، لكن اِسْتَرْعَت بعد ذلك ظواهر أخرى إنتباهي.

الآن، لدينا هنا شيء آخر وهو مهمّ الى حد ما. إحدى الأحداث المثيرة في تاريخ الرياضيات ، وهي ليست موضع تقدير من قبل أناس كثيرين، وقعت منذ ما يقرب من 130 سنة مضت، أو 145 سنة مضت. حينها بدأ علماء الرياضيات بخلق أشكال لم تكن موجودة. توصّل علماء الرياضيات وسط إعجاب بالنّفس إلى إضافة مثيرة للدّهشة فحواها أنّ بإمكان الإنسان أن يخترع أشياء لا تعرفها الطّبيعة. وعلى وجه الخصوص ، يمكنه أن يخترع أشياء مثل منحنى يمكنه مَلْء مستوى. المنحنى منحنى، والمستوى مستوى، ولا يمكن المزج بينهما. حسنا بالإمكان المزج بينهما. قام رجل يُدعى "بيانو" بتحديد هذه المنحنيات، وأصبح هذا أمرا مثيرا للإهتمام. وكان أمرا مهمّا جدا، ولكن سبب الأهمّ في كونه مثيرا للاهتمام هو وجود نوع من القطيعة، أو الفصل بين الرياضيات القادمة من الواقع من جهة ، والرياضيات الجديدة القادمة من عقل الإنسان المحض. حسنا، أنا آسف جدا لأنّي أشير إلى أن العقل الإنسانيّ النقيّ في الواقع ، شهد في نهاية المطاف ما كان ينتظره لفترة طويلة. وهنا أودّ أن أعرض شيئا، مجموعة من أنهار منحنى تملأ مستوى. ولكن، هذه قصة أخرى. كان ذلك في سنوات 1875 إلى 1925، كانت فترة استثنائية استعدّت الرياضيات فيها لتنفصل عن العالم. والأشياء التي اُسْتخدمت كأمثلة، عندما كنت طفلا وطالبا، كمثال لقطع العلاقات بين الرياضيات والواقع المرئي -- هذه الأشياء، قمت بقلبها رأسا عن عقب. استخدمتها لوصف بعض جوانب التعقيد في الطّبيعة.

حسنا، قام رجل يُدْعى "هوسدورف" في عام 1919 بعرض عدد كان مجرد مزحة الرياضية. ولقد وجدت أن هذا العدد كان يمثّل مقياسا جيّدا للخشونة. عندما أفصحت بذلك لأول مرة لأصدقائي في الرياضيات قالوا : "لا تكن سخيفا. انه لا يعدوا أن يكون شيئا سخيفا". حسنا، لم أكن سخيفا. كان الرسّام الكبير "هوكوساي" يعرف ذلك جيد جدا. الأمور على أرض هي كالطّحالب. إنه لم يعرف الرياضيات ،لم تكن موجودة حتى ذلك الوقت. وكان يابانيّا بدون اتّصال مع الغرب. ولكن الكسوريّات كانت حاضرة في لوحاته . يمكن أن أتحدث عن ذلك لفترة طويلة. الكسوريات حاضرة أيضا في برج "إيفل". وقد قرأت الكتاب الذي ألّفه السيد "إيفل" عن بُرجه. وكان من المدهش حقا كم هو فاهم.

هذه هي الفوضى، فوضى، فوضى، حلقة "براونية". في يوم من الأيام قرّرت في منتصف الطريق في حياتي المهنية، وكنت منشغلا بأشياء كثيرة في عملي، قررت اجراء اختبار لنفسي. هل يمكنني أن أنظر إلى شيء ما دأب الجميع على النظر إليه لفترة طويلة والعثور على شيء جديد كُليّا؟ حسنا، لذلك قمت بالنظر إلى هذه الأشياء المسمّاة بالحركة براونية -- ظهرت للتوّ. اشتغلت عليها لفترة من الوقت، ثمّ أعدتها إلى الأصل. ثم قلت لمساعدي، "أنا لا أرى أي شيء، هل يمكنك رسمه؟" فقام برسمه، وهذا يعني أنه وضع كل شيء في الداخل. ثمّ قال : "حسنا، هذه هي النّتيجة". فقلت : "توقف! توقف! توقف! هاهي ذي ، إنّها جزيرة ". وهي مدهشة. لذا فإنّ الحركة البراونية، الذي صادف أن كان العدد الممثّل للخشونة فيها اثنين، ظهرت للتوّ. قمت بقياسها، 1.33. مرة أخرى ،ثمّ مرة أخرى ،ثمّ مرة أخرى. قياسات عديدة، حركات براونية كبيرة، 1.33. أمّا المشكل الرّياضي فكان: كيف يمكن إثبات ذلك؟ واستغرق ذلك من أصدقائي 20 عاما. حصل ثلاثة منهم على أدلّة غير كاملة. اجتمعوا سويا ، ومعا كانت لديهم الدليل على ذلك. ولذلك حصلوا على الجائزة الكبرى في الرياضيات، إحدى الميداليات الثلاث التي تحصّل عليها الجماعة لإثبات أشياء كنت قد رأيتها من قبل دون أن أتمكّن من إثباتها.

الآن الجميع يسألني عند نقطة أو أخرى، "كيف بدأ كلّ ذلك؟ مالذي اقحمك في ذلك الإختصاص الغريب؟ " مالذي جعلني أكون، في نفس الوقت، مهندسا ميكانيكيّا، عالم جغرافيّا عالم الرياضيات وهلم جرا، وفيزيائي؟ حسنا، بدأت أوّلا، ومن الغريب، دراسة أسعار الأسهم في السوق. وحتى هذا الوقت كانت لي هذه النظرية، وقد ألّفت العديد من كتب حول هذا الموضوع ، زيادة الأسعار المالية. إلى اليسار ترى البيانات على مدى فترة طويلة. إلى اليمين، إلى الأعلى، ترى النظرية التي تتسّم بالحداثة. كانت نظريّة سهلة جدا ، ويمكنك تأليف العديد من الكتب سريعا حول هذا الموضوع. (ضحك) وهناك الآلاف من الكتب حول هذا الشأن. الآن قارن ذلك مع زيادات الأسعار الحقيقية. وأيّهما يمثّل زيادات السعر الحقيقي؟ حسنا ، هذه الخطوط الأخرى تشمل بعض زيادات السعر الحقيقي وبعض التزوير التي قمت به. لذلك كان الفكرة هناك يجب على المرء ان يتمكن من -- كيف يمكنك قول ذلك؟ -- خلق نموذج لتباين الأسعار. وقد طابق ذلك الواقع بشكل جيد طوال 50 عاما. كان الناس يزدرونني طوال 50 سنة لأنه كان بإمكانهم فعل ذلك بطريقة أسهل بكثير. لكني اقول لكم ، أنّ في تلك المرحلة ، كان النّاس ينصتون لما أقول. (ضحك) هذه المنحنيات تمثّل المعدّلات. تمثّل الزرقاء "ستاندرد آند بورز". وتمثّل الحمراء أيضا "ستاندرد آند بورز". أمّا الثّغرات الخمسة الأكبر فقد تمّ حذفها. تمثّل الثغرات مصدر ازعاج. ويتمّ في العديد من الدراسات للأسعار، وضعهم جانبا. "حسنا ، ليس لنا الخيار. ولديك القليل من التّشويش إلى اليسار. هنا أيضا ليس لنا الخيار." في هذه الصورة لدينا خمسة مواضع لا نملك فيهم الخيار لا تقل أهمية عن أي شيء آخر. وبعبارة أخرى ، ليست أمورا قسريّة ينبغي لنا أن نُنَحيّها جانبا. تلك هي صميم هذه المشكلة. إذا كنت تُتقن هذه، فستتقن الأسعار. وإذا كنت لا تتقن هذه ، يمكنك إتقان ذلك ضجيج الصّغير، بقدر ما تستطيع، ولكنها ليست مهمة. حسنا ، ها هي منحنياتها.

الآن، أَصِل على الأمر الأخير، والذي هو المجموعة الذي إرتبط بها إسمي. بطريقة ما إنّها تمثّل قصة حياتي. قضيت فترة المراهقة أثناء الإحتلال الألماني لفرنسا. ولأنني إعتقدت أنني قد أختفي في غضون يوم أو أسبوع، كانت لديّ أحلام كبيرة جدا. وبعد الحرب ، إلتقيت عمّي مرة أخرى. كان عمي عالم رياضيات بارز للغاية وقال لي، "انظر، هناك مشكلة لم أستطع حلّها قبل 25 عاما، ولم يستطع أحد أن يحلّها. هذا بناء لرجل يدعى "[غاستون] جوليا" و"[بيار] فاتو". إذا كان باستطاعتك العثور على شيء جديد ، أي شيء ، فإنّك تكون قد حقّقت بذلك النّجاح في حياتك المهنية. " بكلّ بساطة. فألقيت نظرة، ومثل الآلاف من الناس الذين حاولوا من قبل ، لم أجد شيئا.

ولكن بعد ذلك جاء الكمبيوتر. وقررت استعمال الكمبيوتر، ليس لحلّ مشاكل جديدة في الرياضيات -- مثل هذا التذبذب الصّغير، وهذه مشكلة جديدة -- ولكن لحلّ المشاكل القديمة. وانتقلت ممّا يسمّى الأرقام الحقيقية، والتي تمثّل نقطة على السطر، إلى الأعداد المركّبة، التخيّليّة، وهي تمثّل نقطة على سطح ، وهو ما ينبغي لأحد أن يقوم به. فظهر هذا الشكل. هذا الشكل على درجة عالية من التعقيد. المعادلة مخفيّة فيه، z = z^2 + c انها بسيطة جدا وجافة جدا. وهي ليست بذلك القدر من الأهمية. الآن يمكنك أن تضاعفها مرة، مرتين، مرتين، فتظهر الأعجوبة. أقصد أنّ هذا يظهر. لا أريد شرح هذه الأمور. يظهر هذا. أشكال على هذه الدّرجة من التّعقيد، والإنسجام والجمال. يظهر هذا مرارا وتكرارا ، ومرّات و مرّات وكان ذلك أحد أهمّ إكتشافاتي أي إكتشاف أنّ هذه الجزر هي مثل الشكل الكبير بأكمله، أكثر أو أقل بقليل. ثم يمكنك الحصول على هذه الزخرفات الإستثنائية في كل مكان. كل ذلك من هذه الصيغة الصّغيرة، والتي تحوي فقط خمسة رموز. ثم هذه. تمت إضافة الألوان وذلك لسببين. أولا وقبل كل شيء ، لأن هذه الأشكال معقدة جدا ، بحيث لا يمكن للمرء أن لا يفهم أي معنى للأرقام. وإذا قمت برسمها، يجب عليك اختيار بعض النّظم. وهكذا كان مبدئي دائما تقديم الأشكال مع ألوان مختلفة، لأنّ بعض الألوان تسلّط الضوء على ذلك الجانب وأمّا الألوان الأخرى فذلك أو ذلك. إنّها معقدة جدّا.

(ضحك)

في عام 1990، كنت في "كامبردج" في "بريطانيا" للحصول على جائزة من الجامعة. وبعد ذلك بثلاثة أيام ، قام طَيّار بالتّحليق فوق مساحة ووجد هذا الشيء. فمن أين جاء هذا الشّيء؟ من الواضح، من سكّان الكواكب الأخرى. (ضحك) حسنا، لذلك قامت صحيفة في "كامبردج" بنشر مقال حول هذا "الإكتشاف" وتلقّت في اليوم التالي 5000 رسالة من الناس يقولون فيها، "هذه مجرد مجموعة 'ماندلبروت' بحجم كبير جدا".

حسنا ، دعوني أختم. حصلنا على هذا الشكل فقط من تمرين في الرياضيات البحتة. عجائب رائعة تَنْتُجُ من قواعد بسيطة، وتتكرّر من دون نهاية.

شكرا جزيلا.

(تصفيق)